ストークスフロー

ストークス流れ（ジョージ・ガブリエル・ストークスにちなんで名付けられた）は、クリーピング流れまたはクリーピング運動とも呼ばれ、^[1]移流慣性力が粘性力に比べて小さいタイプの流体流れです。^[2]レイノルズ数は低い、つまり です。これは、流体の速度が非常に遅い、粘度が非常に大きい、または流れの長さスケールが非常に小さい流れの典型的な状況です。クリーピング流れは、最初、潤滑を理解するために研究されました。自然界では、このタイプの流れは、微生物や精子の遊泳で発生します。^{[3]テクノロジーの世界では、}塗料、MEMSデバイス、および粘性ポリマーの流れ全般で発生します。 ${\displaystyle \mathrm {Re} \ll 1}$

ストークス流の運動方程式はストークス方程式と呼ばれ、ナビエ・ストークス方程式の線形化であるため、線型微分方程式のよく知られた方法で解くことができます。^[4]ストークス流の 主なグリーン関数はストークスレット関数で、ストークス流に埋め込まれた特異点力に関連付けられています。その導関数から、他の基本解を得ることができます。^[5]ストークスレット関数は、1927 年にオシーンによって初めて導かれましたが、1953 年にハンコックによって初めてそのように命名されました。^[6]任意の時間依存の並進運動と回転運動に関連付けられた一般化非定常ストークス流とオシーン流の 閉じた形式の基本解は、ニュートン流体^[7]とマイクロポーラ流体^[8]について導出されています。

ストークス流の運動方程式は、定常 ナビエ・ストークス方程式を線形化することで得られる。慣性力は粘性力に比べて無視できると仮定し、ナビエ・ストークス方程式の運動量バランスの慣性項を除去すると、ストークス方程式の運動量バランスに簡略化される。^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \sigma +\mathbf {f} ={\boldsymbol {0}}}$

ここで は応力（粘性応力と圧力応力の合計）、^{[9] [10]}および印加体積力である。完全なストークス方程式には質量保存の方程式も含まれており、一般的に次の形式で表されます。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mathbf {f} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

ここで、は流体の密度、 は流体の速度です。非圧縮性流れの運動方程式を得るには、密度 が定数であると仮定します。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \rho}$

さらに、時には非定常ストークス方程式を考慮することもあり、この場合には、項は運動量バランス方程式の左辺に追加される。^[1]${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$

ストークス方程式は、特に非圧縮性ニュートン流体の場合、完全なナビエ・ストークス方程式の大幅な簡略化を表す。 ^{[2] [4] [9] [10]}これらは、完全なナビエ・ストークス方程式の主要次数の簡略化であり、以下の極限で有効である。 ${\displaystyle \mathrm {Re} \to 0.}$

即時性

ストークス流は、時間依存の境界条件以外では時間に依存しません。つまり、ストークス流の境界条件が与えられれば、他の時間の流れを知らなくても流れを見つけることができます。

時間の可逆性

瞬時の直接的な結果である時間可逆性とは、時間反転したストークス フローが元のストークス フローと同じ方程式を解くことを意味します。この特性は、境界条件の線形性と対称性と組み合わせて、フローを完全に解かずに結果を導き出すために使用されることがあります。時間可逆性とは、クリープ フローを使用して 2 つの流体を混合することが難しいことを意味します。

これらの特性は非圧縮性ニュートン ストークス流には当てはまりますが、非ニュートン流体の非線形性と、場合によっては時間依存の性質により、より一般的な場合には当てはまりません。

ストークス流の興味深い性質はストークスのパラドックスとして知られています。これは、2次元の円盤の周囲に流体のストークス流は存在し得ない、あるいは、無限に長い円筒の周囲にストークス方程式の非自明な解が存在しないという事実です。^[13]

テイラー・クエットシステムは、同心円状の流体の円筒が互いに螺旋状にすれ違う層流を作り出すことができる。^[14]コーンシロップなどの高粘度の流体が2つの円筒の間の隙間を埋め、流体の色のついた部分が透明な外側の円筒を通して見える。円筒は互いに低速で回転し、流体の高粘度と隙間の薄さによってレイノルズ数が低くなるため、色の見かけ上の混合は実際には層流であり、その後ほぼ初期状態に戻すことができる。これにより、一見流体が混ざっているように見え、その後ミキサーの方向を逆にすることで混ざり合わなくなるというドラマチックなデモンストレーションが実現する。^{[15] [16] [17]}

非圧縮性ニュートン流体の一般的なケースでは、ストークス方程式は（ベクトル化された）次の形式になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &={\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

ここで、は流体の速度、は圧力の勾配、は動粘性、は適用される体積力です。結果として得られる方程式は速度と圧力に対して線形であるため、さまざまな線形微分方程式ソルバーを利用できます。^[4]${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}p}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbf {f} }$

速度ベクトルを として展開し、同様に体積力ベクトル とすると、ベクトル方程式を明示的に書くことができる。 ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

これらの式は、密度が一定であるという仮定に基づいて導き出されます。 ^[9]${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$${\displaystyle \rho }$

非圧縮ニュートンストークス流の方程式は、平面または3次元軸対称の場合に 流れ関数法で解くことができる。

非圧縮性ニュートン流体の場合のストークス方程式の線形性は、グリーン関数、が存在することを意味します。グリーン関数は、強制項を原点に作用する点力に置き換え、境界条件を無限遠で消滅させてストークス方程式を解くことで求められます。 ${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}}$

ここで はディラックのデルタ関数であり、原点に作用する点力を表す。圧力pと速度uに対する解は、| u | とp が無限大でゼロになる場合で、 ^[1]で与えられる。${\displaystyle \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)}$

は、カール・ヴィルヘルム・オーゼーンにちなんでオーゼーンテンソルと呼ばれる2階テンソル（より正確にはテンソル場）です。ここで、r r はとなる量です。^{[説明が必要]} ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\mathbf {r} \mathbf {r} )=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {r} }$

ストークスレットと点力解という用語は、 を説明するために使用されます。静電気学における点電荷と同様に、ストークスレットは原点以外のあらゆる場所で力がかかりません。原点には強さの力が含まれます。 ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

連続的な力の分布（密度）の場合、解（これも無限遠で消える）は重ね合わせによって構築できます。 ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'} }$

この速度の積分表現は次元の削減、すなわち3次元偏​​微分方程式から未知の密度に対する2次元積分方程式への削減として見ることができます。^[1]

パプコビッチ・ノイバー解は、非圧縮ニュートン・ストークス流の速度場と圧力場を 2 つの調和ポテンシャルで表します。

ストークス流における気泡の形状の変化などの特定の問題は、境界要素法による数値解法に適しています。この手法は、2 次元と 3 次元の両方の流れに適用できます。

ヘレ・ショー流は、慣性力が無視できる形状の一例です。これは、非常に接近して配置された2枚の平行板によって定義され、板間の空間は部分的に流体で占められ、部分的には板に垂直な発電機を持つ円筒形の障害物で占められています。^[9]

ストークス流における細長い物体理論は、幅に比べて長さが大きい物体の周りの非回転流れ場を決定するための簡単な近似法である。この方法の基本は、流れの特異点の分布を線に沿って選択することである（物体は細長いため）。これにより、非回転流れと均一な流れの組み合わせが、ほぼゼロ法線速度条件を満たす。^[9]

ラムの一般解は、圧力がラプラス方程式 を満たすという事実から生じ、球座標における一連の固体球面調和関数で展開できます。その結果、ストークス方程式の解は次のように表すことができます。 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

ここで、およびは次数の固体球面調和関数です。 ${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$${\displaystyle \chi _{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

および は、ルジャンドルの従属多項式です。ラムの解は、球の内部または外部の流体の動きを記述するために使用できます。たとえば、所定の表面流れを持つ球状粒子、いわゆるスクワーマーの周りの流体の動きを記述したり、球状の流体滴の内部の流れを記述するために使用できます。内部の流れの場合、 の項は省略され、外部の流れの場合、 の項は省略されます（多くの場合、外部の流れでは、負の数によるインデックス付けを回避するために という規則が想定されます）。^[1]${\displaystyle P_{n}^{m}}$${\displaystyle n<0}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle n\to -n-1}$

ストークス解としても知られる、移動する球に対する抗力について、ここでまとめる。半径 の球が、動粘性 のストークス流体中を速度 で移動するとすると、抗力は次のように表される: ^[9]${\displaystyle a}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle F_{D}}$

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

ストークス解は、同じ境界速度を持つ他のソレノイドベクトル場よりもエネルギー消費が少ない。これはヘルムホルツ最小消散定理として知られている。^[1]

ローレンツの逆定理は、同じ領域内の 2 つのストークス フローの関係を示します。表面 で囲まれた流体で満たされた領域を考えます。速度場 および が、それぞれ対応する応力場およびを持つ領域 内のストークス方程式を解きます。次の等式が成り立ちます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} '}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

は表面上の単位法線です。ローレンツの逆定理は、ストークス流が内側の閉じた表面から外側の囲む表面へ、力とトルクの合計を変えずに「伝達」することを示すために使用できます。^{[1]ローレンツの逆定理は、}シアノバクテリア などの微生物の遊泳速度を、繊毛や鞭毛による体の形状の変形によって規定される表面速度に関連付けるためにも使用できます。^{[19]ローレンツの逆定理は、弾性流体力学理論の文脈でも使用され、低}レイノルズ数 で弾性界面の表面に接して移動する固体物体に及ぼされる揚力を導き出しています。^{[20] [21]}${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle S}$

ファクセンの法則は、周囲の流れとその導関数に関して多重極モーメントを表現する直接的な関係です。この法則は、球面上の力、およびトルクを計算するためにヒルディング ファクセンによって最初に開発され、次の形式をとります。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

ここで、は動粘性、は粒子の半径、は周囲の流れ、は粒子の速度、は背景の流れの角速度、は粒子の角速度です。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {\omega } }$

ファクセンの法則は、楕円体、回転楕円体、球状滴などの他の形状のモーメントを記述するために一般化することができます。^[1]

• Ockendon, H. & Ockendon JR ( 1995) Viscous Flow、ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-45881-1。 

• UNM 物理学および天文学によるストークス流の時間可逆性のビデオデモンストレーション