中央差分スキーム

応用数学において、中心差分法は、検討対象のパッチの中心ノードにおける微分演算子の近似を最適化し、微分方程式の数値解を与える差分法である。 ^[1]これは、積分対流拡散方程式を解き、e 面と w 面で輸送される特性 Φ を計算するために使用される方式の 1 つである。ここで、eとwは東と西の略である(計算グリッド上の方向を示すために通常使用されるコンパスの方位)。この方法の利点は、少なくとも単純な物質関係については理解と実装が容易であること、および前方差分や後方差分などの他の有限差分法よりも収束速度が速いことである。基本的に拡散項を強調する対流拡散方程式の右辺は、中心差分近似を使用して表すことができる。解と分析を簡略化するために、線形補間を論理的に使用して、対流項に他ならないこの方程式の左辺のセル面値を計算することができる。したがって、均一グリッドのセル面の値は次のように表すことができます。^[2]

$${\displaystyle \Phi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{P}+\Phi _{E})}$$ $${\displaystyle \Phi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{W}+\Phi _{P})}$$

対流拡散方程式は拡散方程式と対流方程式を総合的に表現したもので、物理システム内の粒子、エネルギー、その他の物理量の移動における対流と拡散を伴うあらゆる物理現象を記述または説明します。^[2]

$${\displaystyle \operatorname {div} (\rho u\varphi )=\operatorname {div} (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi };\,}$$ ここでГは拡散係数、Φは特性です。

制御体積上の定常対流拡散方程式の形式積分は次式を与える。

この式は、制御ボリューム内のフラックスバランスを表します。左側には正味の対流フラックスが示され、右側には正味の拡散フラックスと制御ボリューム内の特性の生成または破壊が含まれます。

ソース項方程式がない場合、次の式が成り立ちます。

連続方程式：

制御ボリュームを想定し、式 2 を制御ボリュームにわたって積分すると、次のようになります。

式3を積分すると次のようになります。

単位面積あたりの対流質量流束とセル面の拡散コンダクタンスを表す 2 つの変数を定義すると便利です。次に例を示します。 $${\displaystyle F=\rho u}$$ $${\displaystyle D=\Gamma /\delta x}$$

と仮定すると、積分対流拡散方程式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle A_{e}=A_{w}}$$${\displaystyle F_{e}\varphi _{e}-F_{w}\varphi _{w}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

そして積分連続方程式は次のようになります。 $${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$$

中心差分方式では、線形補間を使用して対流項のセル面値を計算します。

一様格子の場合、Φ特性のセル面の値は次のように 表すことができます。$${\displaystyle \varphi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{E}+\varphi _{P}),\quad \varphi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{P}+\varphi _{W})}$$

これを積分対流拡散方程式に代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle F_{e}{\frac {\varphi _{E}+\varphi _{P}}{2}}-F_{w}{\frac {\varphi _{W}+\varphi _{P}}{2}}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

並べ替えると次のようになります。 $${\displaystyle \left[\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)+(F_{e}-F_{w})\right]\varphi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)\varphi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)\varphi _{E}}$$ $${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$$

中央差分方式では、ノード 1 と 4 の周囲の制御ボリュームの境界フラックスを考慮して、各制御ボリュームを通過する正味フラックスを合計することによって全体的なフラックス バランスが得られるため、保存性が保証されます。

ノード1と4の周りの制御体積の境界フラックスは 、$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{1}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}-q_{A}\right]+\left[{\frac {\Gamma _{e_{2}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}\right]\\[10pt]+{}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{3}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{3}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}\right]+\left[q_{B}-{\frac {\Gamma _{w_{4}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}\right]=q_{B}-q_{A}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \Gamma _{e_{1}}=\Gamma _{w_{2}},\Gamma _{e_{2}}=\Gamma _{w_{3}},\Gamma _{e_{3}}=\Gamma _{w_{4}}}$

中心差分方式は有界性の最初の条件を満たします。

連続方程式より、したがって;${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$

有界性のためのもう一つの必須要件は、離散化方程式のすべての係数が同じ符号（通常はすべて正）を持つ必要があることです。しかし、これは（ペクレ数）の場合にのみ満たされます。なぜなら、一方向の流れの場合、（）は常に正であるためです。${\displaystyle F_{e}/D_{e}<2}$${\displaystyle F_{e}>0,F_{w}>0}$${\displaystyle a_{E}=(D_{e}-F_{e}/2)}$${\displaystyle D_{e}>F_{e}/2}$

ペクレ数の大きさに応じて輸送性が変化することが必要です。つまり、pe が 0 のときはすべての方向に均等に広がり、Pe が増加すると (対流 > 拡散)、あるポイントでは上流の値に大きく依存し、下流の値にはそれほど依存しなくなります。ただし、中心差分方式では、あるポイントでの Φ がすべての Pe の隣接ノードの平均であるため、より高い pe では輸送性がありません。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

中心差分方式のテイラー級数切り捨て誤差は 2 次です。中心差分方式は Pe < 2 の場合にのみ正確になります。この制限のため、中心差分は汎用フロー計算に適した離散化方法ではありません。

• これらは現在、オイラー方程式やナビエ・ストークス方程式の解法に定期的に使用されています。
• 中心差分近似を使用した結果、滑らかな領域での精度が顕著に向上することが示されました。
• 衝撃波の表現と境界層の定義は粗いメッシュで改善することができます。^[3]

• プログラミングが簡単で、ステップあたりのコンピュータ時間が短く、マルチグリッド加速技術とうまく連携します。
• 定常状態に近づくために必要な、4 次差分散逸と連動した自由パラメータを持ちます。
• ペクレ数が2未満の場合は、1次風上法よりも正確です。^[3]

• やや散逸的
• 局所ペクレ数が2より大きい場合、解の振動や発散につながる^。[4]

• 有限差分法
• 有限差分
• テイラー級数
• テイラー定理
• 対流拡散方程式
• 拡散
• 対流
• ペクレ数
• 線形補間
• 対称微分
• 対流の風上差分スキーム

• 計算流体力学：基礎と応用– ジョン・D・アンダーソン、ISBN 0-07-001685-2 
• 計算流体力学第 1 巻 – Klaus A. Hoffmann、Steve T. Chiang、ISBN 0-9623731-0-9 

• 1次元定常対流と拡散#中心差分スキーム
• 有限差分
• 中心差分法 2013年11月5日アーカイブウェイバックマシン
• ポアソン・ネルンスト・プランク方程式の保守的な差分スキーム