コーシー面

ローレンツ幾何学の数学分野において、コーシー面はローレンツ多様体のある種の部分多様体である。ローレンツ幾何学を一般相対性理論の物理学に応用する場合、コーシー面は通常「瞬間の時間」を定義するものとして解釈される。一般相対性理論の数学において、コーシー面はアインシュタイン方程式を解くことができる因果構造の境界条件を提供する（たとえば、 ADM形式論を使用）。

これらは、一般相対性理論のコーシー問題との関連性から、フランスの数学者オーギュスタン＝ルイ・コーシー(1789-1857)にちなんで命名されました。

通常は一般相対性理論の用語で表現されますが、コーシー面の正式な概念は、身近な言葉で理解することができます。人間の最高速度が時速 20 マイルであると仮定します。これにより、特定の人物に対して、特定の時間までに到着できる場所に関する制約が課されます。たとえば、3 時にメキシコにいる人が 4 時までにリビアに到着することは不可能です。しかし、 1 時にマンハッタンにいる人が 2 時までにブルックリンに到着することは可能です。なぜなら、2 つの場所は 10 マイル離れているからです。したがって、半正式に言えば、タイム ゾーンと移動の困難さは無視し、旅行者は永遠に生きる不死の存在であると仮定します。

4つの空欄を埋めるためのあらゆる可能な方法のシステム

「（場所 1）に（時間 1）にいる人は、（時間 2）までに（場所 2）に到着できる」

は因果構造の概念を定義します。この因果構造のCauchy 面は、場所と時間のペアの集合であり、仮想的な旅行者がどのような場合でも、その旅行者が指定された場所に指定された時間にいた場所と時間のペアが 1 つだけ存在します。

興味をそそらないコーシー面は数多くあります。たとえば、この因果構造の 1 つのコーシー面は、すべての場所を 1 時 (特定の特定の日) の時刻と組み合わせることによって得られます。これは、仮想旅行者は必ずこの時刻に特定の 1 つの場所にいたはずであり、さらに、この時刻に複数の場所にいる旅行者はいないためです。対照的に、この因果構造には、(マンハッタン、1 時) と (ブルックリン、2 時) の両方のペアを含むコーシー面は存在しません。これは、1 時にマンハッタンにいて、2 時にブルックリンにいた仮想旅行者がいる可能性があるためです。

言葉で説明するのが難しい、もっと興味深いコーシー面もいくつかある。すべての場所の集合からすべての時間の集合への関数τを定義し、 τの勾配がどこでも1マイルあたり1/20時間未満になるようにすることができる。コーシー面の別の例は、ペアの集合によって与えられる。

${\displaystyle {\Big \{}{\big (}p,\tau (p){\big )}:p{\text{ 地球上の場所}}{\Big \}}.}$

要点は、仮想的な旅行者であれば誰でも、時刻τ( p )にその旅行者がいた場所pが存在するはずであり、これは中間値定理から導かれる。さらに、場所pとq の2 つが存在し、時刻τ( p )にpにいて時刻τ( q )にqにいる旅行者が存在するということはあり得ない。なぜなら、平均値定理によれば、ある時点でその旅行者は速度⁠で移動しなければならなかったからである。分布( p , q )/|τ( p ) − τ( q )|⁠、これは τ の勾配条件により「時速 20 マイル」よりも大きくなければなりません。これは矛盾です。

特殊相対性理論と一般相対性理論の物理理論は、位置と時間が互いに明確に分離できないという例外を除いて、概略的に上記のタイプの因果構造を定義します (「旅行者は、特定の時空点から特定の時空点に到達できるか、できないかのどちらかです」)。したがって、これらの因果構造についてもコーシー面について話すことができます。

( M , g )をローレンツ多様体とする。写像c  : ( a , b ) → Mが( M , g )内の非拡張微分可能時間的曲線であるとは、次の場合を言う:

• それは微分可能である
• c ( t ) は区間( a , b )内の各tに対して時間的である。
• c ( t ) はtがbに増加しても、 t がaに減少して限界に近づきません。 ^[1]

Mの部分集合Sがコーシー面と呼ばれるのは、 ( M , g )内のすべての拡張不可能な微分可能時間的曲線がSとちょうど 1 つの交点を持つ場合です。そのような部分集合が存在する場合、( M , g ) は大域的に双曲的であると呼ばれます。

コーシー面Sについては、次の式が自動的に成り立ちます。

部分集合S ⊂ Mは位相的に閉じており、Mの埋め込まれた連続部分多様体（さらにはリプシッツ部分多様体）である。任意の連続時間的ベクトル場のフローは、同相写像S × ℝ → Mを定義する。別のコーシー面への逆写像の制限を考慮すると、任意の 2 つのコーシー面が同相であることが分かる。

コーシー面の一般的な性質についてこれ以上述べることは難しい。

${\displaystyle {\Big \{}(t,x,y,z):t^{2}={\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}{\Big \}}}$

ミンコフスキー空間ℝのコーシー面として^{3,1 は}、「最も単純な」ローレンツ多様体であっても、コーシー面はどこでも微分可能ではないことがあり (この場合は原点において)、同相S × ℝ → M はC ¹ -微分同相でさえない場合があることを明らかにしています。しかし、一般的なコーシー面の場合と同じ議論から、コーシー面SがMのC ^k -部分多様体である場合、滑らかな時間的ベクトル場のフローによってC ^k -微分同相S × ℝ → Mが定義され、どちらもMのC ^k -部分多様体である任意の 2 つのコーシー面はC ^k -微分同相になることがわかります。

さらに、任意のコーシー面を考慮できないという代償を払って、滑らかなコーシー面を見つけることは常に可能です (Bernal & Sánchez 2003)。

コーシー面を持つ任意の滑らかなローレンツ多様体( M、g )が与えられたとき、 Mの埋め込まれた空間的な滑らかな部分多様体であり、S × ℝがMに滑らかに微分同相であるようなコーシー面S が存在する。

( M , g )を時間指向ローレンツ多様体とする。写像c  : ( a , b ) → Mが( M , g )における過去非拡張微分可能因果曲線であるとは、次の場合を言う:

• それは微分可能である
• c ′( t )は、区間( a , b )内の各tについて、未来指向時間的または未来指向ヌルのいずれかである。
• c ( t ) はtがaに減少しても限界に近づかない

将来拡張不可能な微分可能因果曲線も同じ基準で定義しますが、「 t がaに減少するにつれて」という表現を「 t がbに増加するにつれて」に置き換えます。 MのサブセットSが与えられた場合、Sの将来コーシー発展D ⁺ ( S )は、 Mのすべての点pで構成されると定義され、c  : ( a , b ) → Mが、 ( a , b )内のあるtに対してc ( t ) = p となるような過去拡張不可能な微分可能因果曲線である場合、 c ( s ) ∈ Sとなる( a , b )内のいくつかのsが存在します。過去コーシー発展D ⁻ ( S )も同じ基準で定義しますが、「過去拡張不可能」を「将来拡張不可能」に置き換えます。

非公式:

Sの未来のコーシー展開は、pに到着する観測者は必ずSを通過したことになるようなすべての点pから構成されます。また、 Sの過去のコーシー展開は、pから出発する観測者は必ず S を通過したことになるようなすべての点pから構成されます。

コーシー展開 D ( S )は、未来のコーシー展開と過去のコーシー展開の和集合である。

閉じた時間的曲線が存在しないとき、と は2 つの異なる領域です。時間次元がどこでも閉じて円を形成するとき、 の未来と過去は同じであり、両方が含まれます。コーシー面は、この円形時間の場合に対処するために、非拡張曲線との交差に関して厳密に定義されます。非拡張曲線は、端のない曲線です。つまり、永遠に続くか、時間的またはヌルのままであるか、または閉じて円、つまり閉じた非空間的曲線を形成します。 ${\displaystyle D^{+}}$${\displaystyle D^{-}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

閉じた時間的曲線がある場合、または閉じた非空間的曲線がある場合でも、コーシー面は依然として未来を決定しますが、未来には面自体が含まれます。これは、初期条件が制約に従い、コーシー面が未来と過去が分離している場合と同じ特性を持たないことを意味します。

閉じた時間的曲線が存在しない場合、部分コーシー面が与えられ、多様体全体である場合、 はコーシー面です。ミンコフスキー時空における定数 の任意の面はコーシー面です。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})={\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle t}$

すると、 との間のコーシー地平線が、 の情報によって完全には決定されない多様体の領域に存在します。コーシー地平線の明確な物理的例は、荷電ブラックホールまたは回転ブラックホール内の第 2 地平線です。最も外側の地平線は事象の地平線で、これを超えて情報は逃げることはできませんが、未来は依然として外部の状況によって決定されます。内側の地平線、つまりコーシー地平線の内側では、特異点が見え、未来を予測するには、特異点から何が出てくるかについての追加データが必要です。 ${\displaystyle D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})\not ={\mathcal {M}}}$${\displaystyle D^{\pm }({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

ブラックホールのコーシー地平線は、測地線が放射座標で外向きになっている領域、中心特異点が反発している領域でのみ形成されるため、それがどのように形成されるのか正確に想像することは困難です。このため、カーらはコーシー地平線は形成されず、代わりに内側の地平線は実際には空間的または時間的な特異点であると示唆しています。内側の地平線は、質量インフレーションによる不安定性に対応しています。^{[2] [3] [4]}

コーシー地平線を持つ均質時空は反ド・ジッター空間である。

• 因果構造

研究論文

• ショケ・ブルア、イヴォンヌ。ゲロック、ロバート。一般相対性理論におけるコーシー問題の大域的側面。通信数学。物理学。 14 (1969)、329–335。
• ゲロック、ロバート。依存の領域。 J. 数理物理学。 11 (1970)、437–449。
• ベルナル、アントニオ N.サンチェス、ミゲル。滑らかなコーシー超曲面とゲロッホの分割定理について。通信数学。物理学。 243 (2003)、いいえ。 3、461–470。
• Bernal, Antonio N.; Sánchez, Miguel.時間関数の滑らかさと大域的双曲時空の計量分割。Comm . Math. Phys. 257 (2005), no. 1, 43–50。

教科書

• ビーム、ジョン K.エールリッヒ、ポール E.イーズリー、ケビン L.グローバル ローレンツ幾何学。第 2 版。 Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics、202。Marcel Dekker, Inc.、ニューヨーク、1996。xiv+635 pp. ISBN 0-8247-9324-2 
• ショケ・ブリュア、イヴォンヌ。一般相対性理論とアインシュタイン方程式。オックスフォード数学モノグラフ。オックスフォード大学出版局、オックスフォード、2009年。xxvi+785頁。ISBN 978-0-19-923072-3 
• ホーキング、SW; エリス、GFR時空の大規模構造。ケンブリッジ数理物理学モノグラフ第1号。ケンブリッジ大学出版局、ロンドン-ニューヨーク、1973年。xi+391 頁。
• オニール、バレット。半リーマン幾何学。相対論への応用。純粋および応用数学、103。Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]、ニューヨーク、1983年。xiii+468 pp. ISBN 0-12-526740-1 
• ペンローズ、ロジャー。相対論における微分位相幾何学の技法。数学科学会議委員会応用数学地域会議シリーズ、第 7 号。工業応用数学協会、ペンシルバニア州フィラデルフィア、1972 年。viii+72 ページ。
• ウォルド、ロバート・M.一般相対性理論。シカゴ大学出版局、シカゴ、イリノイ州、1984年。xiii+491 pp. ISBN 0-226-87032-4 ; 0-226-87033-2