繰り返し積分に対するコーシーの公式

証明は帰納法によって与えられる。n = 1 の基本ケースは自明である。なぜならそれは以下と同等だからである。$${\displaystyle f^{(-1)}(x)={\frac {1}{0!}}\int _{a}^{x}{(xt)^{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

さて、これがn の場合に真であると仮定し、 n + 1の場合にそれを証明してみましょう。まず、ライプニッツの積分法則を用いて、次の点に注意してください。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(xt)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(xt)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$ 次に、帰納仮説を適用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}\left[\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}.\end{aligned}}}$$ 角括弧内の項はn回連続積分であり、角括弧内の最も外側の積分の上限は $\displaystyle \sigma _{1}}$したがって、 n = nの場合と比較し、置き換えると、${\displaystyle x,\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{n}}$誘導ステップn = nの式で${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n+1}}$それぞれが $$\displaystyle \int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$ この式を角括弧の中に入れると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$$

• この記述は基本ケースにおいて真であることが示されています。${\displaystyle n=1}$。
• もしその記述が真ならば${\displaystyle n=k}$すると、次のことが証明される。${\displaystyle n=k+1}$。
• したがって、この命題はすべての正の整数に対して真であることが証明された。

これで証明は完了です。