議論の原則

複素解析において、引数原理（コーシーの引数原理）は、有理型関数の零点と極の数の差と、関数の対数導関数の線積分とを関連付ける定理である。

もしf ( z ) が閉路C の内部と上の有理型関数であり、f がC上に零点や極を持たないならば、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=ZP}$

ここで、ZとPはそれぞれ、輪郭線C内のf ( z )の零点と極の数を表し、各零点と極はそれぞれその多重度と次数が示す回数だけカウントされます。この定理の記述では、輪郭線Cが単純、つまり自己交差がなく、反時計回りに向いていることを前提としています。

より一般的には、f ( z ) が複素平面上の開集合Ω上の有理型関数であり、C がΩ 内の閉曲線でfのすべての零点と極を避け、 Ω 内の点に縮約可能であるとする。各点z ∈ Ω について、n ( C , z ) をCのz周りの巻き数とする。すると、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,}$

ここで、最初の合計はfのすべての零点aとその重複度で数えられ、2 番目の合計はfの極bとその次数で数えられます。

輪郭積分は、 w = f ( z ) の置換を使用して、原点の周りの経路f ( C )の巻数2π i倍として解釈できます。${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz}$

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\ 、dw}$

つまり、これはz がC の周りを回るときのf ( z )の引数の全変化のi倍であり、これが定理の名前の由来である。これは次式から導かれる。

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}}$

引数と対数の関係。

z _{Z を}fの零点とする。 f ( z ) = ( z  −  z _Z ) ^k g ( z )と書くことができる。ここでk は零点の重複度であり、したがってg ( z _Z ) ≠ 0 である。

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\! }$

そして

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}。}$

g ( z _Z ) ≠ 0なので 、 g' ( z )/ g ( z ) はz _Zで特異点を持たず、したがってz _Zで解析的であり、これはf ′( z )/ f ( z )のz _Zでの留数がkである ことを意味します。

z _{P を}fの極とします。f ( z ) = ( z  −  z _P ) ^{− m} h ( z )と書きます。ここでm は極の次数、 h ( z _P ) ≠ 0 です。すると、

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\ 、\!.}$

そして

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$

上記と同様。h ( z _P ) ≠ 0なので、 h ′( z )/ h ( z )はz _Pで特異点を持たず、 z _{Pで解析的であることがわかります。f} ′ ( z )/ f ( z )のz _Pでの留数は− mであることがわかります 。

これらをまとめると、fの重複度kの各零点z _{Z は}、留数がkであるf ′( z )/ f ( z )の単純極を作成し 、fの 順序mの各極z _Pは、留数が − mであるf ′( z )/ f ( z )の単純極を作成します。 (ここで、単純極とは、順序 1 の極を意味します。) さらに、f ′( z )/ f ( z ) には他の極がなく、したがって他の留数もないことが示されます。

留数定理により、Cに関する積分は2 πiと留数の合計の積であることがわかります。また、各零点z _Zのkの合計は零点の重複度を数えた零点の数であり、極についても同様です。こうして結果が得られます。

引数原理は、コンピュータ上で有理型関数の零点または極を効率的に見つけるために使用できます。丸め誤差があっても、式は整数に近い結果を生成します。さまざまな等高線Cに対してこれらの整数を決定することで、零点と極の位置に関する情報を得ることができます。リーマン予想の数値テストでは、この手法を使用して、臨界線と交差する長方形内のリーマン関数の零点の数の上限を取得します。引数原理は、多項式の根の根を境界付けるために使用できる ルーシェの定理を証明するためにも使用できます。${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz}$${\displaystyle \xi (s)}$

議論原理のより一般的な定式化の帰結は、同じ仮定の下で、gがΩの解析関数である場合、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}$

例えば、f が単純な輪郭C内の零点z ₁ , ..., z _{p を持つ}多項式であり、g ( z ) = z ^{k で}ある場合、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{ 1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},}$

はfの根のべき和対称多項式です。

複素積分を計算すると、別の結果が生まれます。

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz}$

gとfを適切に選択すると、アベル・プラナの公式が得られます。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,}$

これは離散和とその積分の関係を表します。

議論原理は制御理論にも応用されています。フィードバック制御理論に関する現代の書籍では、ナイキスト安定基準の理論的基礎としてよく使用されています。さらに、議論原理のより一般化された形式は、ボードの感度積分やその他の関連する積分関係を導くために使用できます。^[1]

議論の原理はすぐに一般化できる。g が領域 で解析的であると仮定する。すると ${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\,}$

ここで、最初の合計は、fのすべての零点aとその重複度でカウントされ、2 番目の合計は、fの極bとその次数でカウントされます。

フランク・スミシーズの著書( Cauchy and the Creation of Complex Function Theory、ケンブリッジ大学出版局、1997 年、177 ページ) によると、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、フランスを離れてトリノ (当時のピエモンテ＝サルデーニャ王国の首都) に自ら選んだ亡命中に、上記に似た定理を発表しました。しかし、この本によると、零点のみに言及されており、極については言及されていません。コーシーのこの定理は、何年も後の 1874 年に手書きの形式で出版されたため、非常に読みにくいものです。コーシーは、死の 2 年前の 1855 年に、零点と極の両方について議論した論文を発表しました。

• 対数微分
• ナイキスト安定基準

• ルディン、ウォルター (1986)。実数と複素数の解析 (純粋および応用数学の国際シリーズ)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-054234-1。
• アルフォース、ラース（1979年）。複素解析：1つの複素変数の解析関数の理論入門。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-000657-7。
• チャーチル、ルーエル・ヴァンス; ブラウン、ジェームズ・ワード (1989)。複素変数とその応用。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-010905-6。
• バックランド、R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann、CR Acad。科学。パリ 158、1979 ～ 1982 年。

• 「議論の原理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]