フェルマーの多角数定理

加法的な整数論において、フェルマーの多角形数定理は、すべての正の整数は最大で n 個の n 角数の和であると 述べている。つまり、すべての正の整数は、 3 個以下の三角数の和、 4 個以下の平方数の和、 5 個以下の五角数の和などとして表すことができる。つまり、n角数はn次加法基底を形成する。

たとえば、数字 17 の 3 つの表現を以下に示します。

• 17 = 10 + 6 + 1 (三角数)
• 17 = 16 + 1 (平方数)
• 17 = 12 + 5 （五角数）。

この定理は、1638年に証明なしに定理を述べ、出版されることのなかった別の著書に書くと約束したピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられました。 ^[1] ジョゼフ・ルイ・ラグランジュは1770年に平方数を証明しました。これは、すべての正の数は4つの平方の和、たとえば7 = 4 + 1 + 1 + 1として表すことができるというものです。^[1] ガウスは1796年に三角形の場合を証明し、その記念として日記に「ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ」という行を書き、^[2]証明を著書「算数論」に掲載しました。このため、ガウスの結果はユーレカ定理と呼ばれることもあります。^[3]完全な多角形数定理は、 1813年にコーシーによって最終的に証明されるまで解決されませんでした。^[1]ネイサンソン（1987）の証明は、コーシーによる次の補題に基づいています。

b ² < 4 aかつ3 a < b ² + 2 b + 4となるような奇数の正の整数aおよびbに対して、 a = s ² + t ² + u ² + v ²かつb = s + t + u + vとなる 非負整数s、t、u、v を見つけることができます。

• ポロックの推測
• ウォーリングの問題

• Weisstein, Eric W.「フェルマーの多角数定理」。MathWorld。
• ヒース、サー・トーマス・リトル（1910年）「アレクサンドリアのディオファントス：ギリシャ代数学の歴史の研究」ケンブリッジ大学出版局、188ページ。
• ナサニエル、メルヴィン B. (1987)、「コーシーの多角形数定理の簡単な証明」、アメリカ数学会紀要、99 (1): 22–24、doi :10.2307/2046263、JSTOR  2046263、MR  0866422。
• ナサニエル、メルヴィン B. (1996)、加法数論 古典基底、ベルリン:シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94656-6ラグランジュの定理と多角形数定理の証明を持っています。