コーシー境界条件

数学において、コーシー（フランス語: [koʃi]）境界条件は、常微分方程式または偏微分方程式に、境界上で解が満たさなければならない条件を追加する。理想的には、唯一の解が存在することを保証する。コーシー境界条件は、領域の境界上の関数値と正規導関数の両方を指定する。これは、ディリクレ境界条件とノイマン境界条件の両方を課すことに相当する。これは、19世紀の多作なフランスの数学アナリスト、オーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられた。

コーシー境界条件は2階常微分方程式では単純かつ一般的である。

${\displaystyle y''(s)=f{\big (}y(s),y'(s),s{\big )},}$

ここで、唯一の解が存在することを保証するために、与えられた点における関数の値と導関数の値を指定することができる。すなわち、 ${\displaystyle y(s)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle s=a}$

${\displaystyle y(a)=\alpha ,}$

そして

${\displaystyle y'(a)=\beta ,}$

ここで、 は境界または初期点です。パラメータは通常時間であるため、コーシー条件は初期値条件、初期値データ、または単にコーシーデータと呼ばれることもあります。このような状況の例として、ニュートンの運動の法則が挙げられます。ニュートンの運動の法則では、加速度は位置、速度、および時間に依存します。ここで、コーシーデータは、初期位置と初期速度がわかっていることに対応します。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle s}$${\displaystyle y''}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle s}$

偏微分方程式の場合、コーシー境界条件は境界上の関数と正規導関数の両方を指定します。単純かつ具体的にするために、平面上の2階微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle A(x,y)\psi _{xx}+B(x,y)\psi _{xy}+C(x,y)\psi _{yy}=F(x,y,\psi ,\psi _{x},\psi _{y}),}$

ここで、は未知の解、は などに関する の導関数を表します。関数は問題を指定します。 ${\displaystyle \psi (x,y)}$${\displaystyle \psi _{x}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle A,B,C,F}$

ここで、平面の部分集合である領域 において偏微分方程式を満たす を求めます。この場合、コーシー境界条件 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \psi (x,y)=\alpha (x,y),\quad \mathbf {n} \cdot \nabla \psi =\beta (x,y)}$

すべての境界点 に対して成り立ちます。ここでは境界の法線方向の微分です。関数と はコーシーデータです。 ${\displaystyle (x,y)\in \partial \Omega }$${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \nabla \psi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

コーシー境界条件とロビン境界条件の違いに注意してください。前者では、関数と正規導関数の両方を指定します。後者では、2 つの加重平均を指定します。

境界条件によって、解が正確に1つだけ存在することを保証したいのですが、2階偏微分方程式の場合、解の存在と一意性を保証するのは常微分方程式の場合ほど簡単ではありません。コーシーデータは、開領域（例えば半平面）上の双曲型問題（例えば波動方程式）に最も直接関連しています。^[1]

• ディリクレ境界条件
• 混合境界条件
• ノイマン境界条件
• ロビン境界条件