対称関数

数学では、変数の関数は、引数の順序に関係なく値が同じである場合に対称関数と呼ばれます。たとえば、2 つの引数の関数が対称関数である場合、およびがの領域内にあるすべてのおよびに対して となります。最も一般的に見られる対称関数は多項式関数で、対称多項式によって与えられます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)}$${\displaystyle \left(x_{2},x_{1}\right)}$${\displaystyle f.}$

関連する概念は、変数の交換によって符号が変わる交代多項式です。多項式関数とは別に、複数のベクトルの関数として動作するテンソルは対称になる可能性があり、実際、ベクトル空間上の対称 -テンソルの空間は、上の次数の同次多項式の空間と同型です。対称関数は、異なる種類の対称性を持つ偶関数および奇関数と混同しないでください。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V.}$

アーベル群の値を持つ変数の任意の関数が与えられた場合、引数のすべての順列にわたっての値を合計することによって対称関数を構築できます。同様に、偶数順列にわたって合計し、奇数順列にわたって合計を引くことによって、反対称関数を構築できます。これらの操作は当然可逆ではなく、非自明な関数に対して常にゼロである関数になる可能性があります。対称化と反対称化の両方がわかっている場合に を復元できる唯一の一般的なケースは のときであり、アーベル群は 2 による除算 (2 倍の逆) を許容します。この場合、 は対称化と反対称化の合計の半分に等しくなります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle f}$

• 実関数を 考えてみましょう 。定義により、変数を持つ対称関数は次のような性質を持ちます 。 一般に、関数は変数のあらゆる順列に対して同じままです。つまり、この場合、 そして同様に、すべての変数の順列に対して、$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ など}}}$$$${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$
• 関数を考える。 とを入れ替える と、関数はとなり 、元の関数と全く同じ結果となる。$${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$${\displaystyle f(x,y).}$
• ここで関数 を考えます。 とが入れ替わる と、関数 は次のようになります。 この関数は元の関数と同じではないため、非対称になります。 $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$${\displaystyle a\neq b,}$

統計学では、 - 標本統計量の対称化をブートストラップして得られる、変数の対称関数を生成する-標本統計量（変数の関数）をU 統計量と呼びます。例としては、標本平均や標本分散などがあります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

• 交代多項式
• 初等対称多項式 – 数学関数
• 偶関数と奇関数 – f(–x) が f(x) または –f(x) に等しい関数
• 交換可能なランダム変数 – 統計学の概念
• 準対称関数
• 対称関数の環
• 対称化 – n 変数の任意の関数を n 変数の対称関数に変換するプロセスフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• ヴァンデルモンド多項式 – ヴァンデルモンド行列の行列式フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• FN David、MG Kendall、DE Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables、ケンブリッジ大学出版局。
• Joseph PS Kung、Gian-Carlo Rota、およびCatherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way、§5.1 対称関数、pp 222–5、Cambridge University Press、ISBN  978-0-521-73794-4。