数学的な美しさ

オイラーの等式は、美しい結果の例としてよく挙げられます。^{[ 3 ] : 1–3 [ 4 ] : 835–836 [ 5 ]}

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,.}$$

この式は、おそらく最も重要な5つの数学定数（e、i、π、1、0）と2つの最も一般的な数学記号（+、=）を結びつけています。オイラーの等式は、物理学者のリチャード・ファインマンが「我々の宝石」であり「数学で最も注目すべき公式」と呼んだオイラーの公式の特殊なケースです。^{[ 6 ]}

もう一つの例は、2 乗の和に関するフェルマーの定理で、これは、${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$は 2 つの平方数の和として表すことができます (例えば、$5=1^{2}+2^{2}}$、${\displaystyle 13=2^{2}+3^{2}}$、${\displaystyle 37=1^{2}+6^{2}}$）、 GH Hardy ^{[ 7 ] : §12}とET Bell ^{[ 8 ] : ch.4}の両方が美しい結果だと考えた。

数学者に24の定理の美しさを評価してもらった調査では、最も評価が高かった3つの定理は次のとおりでした。^{[ 9 ]}オイラーの方程式、オイラーの多面体の公式（頂点V個、辺E個、面F個を持つ多面体の場合、${\displaystyle V-E+F=2}$; そして、 素数は無限に存在するというユークリッドの定理も、ハーディが美しい定理の例として挙げたものである。^{[ 7 ]： §12}

カントールの対角線論法は、無限の自然数の集合と一対一に対応させることができない無限の集合が存在することを証明するもので、数学者^{[ 10 ]}と哲学者^{[ 11 ]}の両方から美しい証明の例として引用されている。

ピタゴラスの定理の図解による証明のような視覚的な証明や、2n - 1までのすべての正の奇数の和が平方数であることの証明など、一般的に言葉を使わない証明は美しいと考えられてきた。^{[ 12 ]}  

数学者のポール・エルデシュは、神がすべての最も美しい数学的証明を書き記した架空の無限の書物である「書物」について語った。エルデシュは、ある証明を特に高く評価したいときには、「まさに『書物』からの引用だ！」と宣言した。 ^{[ 13 ]： 35この修辞技法は、エルデシュ自身が提案したものを含む、そのような証明を集めた}『書物からの証明』の創作を促した。^{[ 14 ]： v}

プラトンの『ティマイオス』では、この対話篇における役割からプラトン立体と呼ばれる5つの正凸多面体は、「最も美しい」（「κάλλιστα」）物体と呼ばれています。 ^{[ 15 ]： 53e}『ティマイオス』では、これらの多面体は、その美しさゆえに、宇宙を創造するデミウルゴス（創造主であり職人）によって、4つの古典的な元素と天界の創造に用いられたとされています。^{[ 15 ]： 54e–55e}

ヨハネス・ケプラーは1596年の著書『宇宙の神秘』の中で、当時知られていた太陽系の惑星の軌道は、神によって五つの正多面体の同心円状の配置に対応するように定められており、それぞれの軌道は一つの多面体の外球と別の多面体の内球上に位置すると主張した。ケプラーによれば、神は五つの正多面体の美しさゆえに宇宙をそのように形作ろうとしたのであり、これが（当時の知識によれば）惑星が六つ存在する理由を説明するものであった。 ^{[ 16 ]：第3章[ 4 ]： 280-285}

より現代的な例としては、例外的な単純リー群が挙げられる。${\displaystyle E_{8}}$これは「おそらく数学全体の中で最も美しい構造」と呼ばれている。^{[ 17 ]}

科学理論、特に物理学における数学的記述は、時に数学的に美しいとみなされる。例えば、ロジャー・ペンローズは、マクスウェルの電磁気学の方程式に「特別な美しさ」があると考えた。 ^{[ 18 ]： 268}$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\,\,&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} \,\,\,&=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$

アインシュタインの一般相対性理論は芸術作品として特徴づけられており、他の美的賞賛の中でも、ポール・ディラックは「偉大な数学的美しさ」^{[ 20 ] : 123 、ペンローズは「至高の数学的美しさ」 [ 21 ] : 1038}と評している。^{[ 19 ] : 148}

（科学理論の美しさは、数学的な記述だけにとどまらない。例えば、理論が視覚化可能であるか、決定論的であるかといったことが、その理論が美しいと見なされるかどうかに影響を与える可能性がある。^{[ 22 ]： 53 [ 4 ]： 873-877}）

1940年のエッセイ 『ある数学者の弁明』の中で、G・H・ハーディは、証明を含めた美しい結果には「必然性」「意外性」「簡潔性」という3つの「純粋に美的性質」が備わっていると述べた。彼は特に、事例の列挙を「数学的議論の中でも退屈な形式の一つ」として排除した。^{[ 7 ]： §18}

1997年、ジャン＝カルロ・ロータは、美しさの十分条件としての意外性に異議を唱え、反例を提示した。

数学の定理の多くは、初めて発表されたときには驚くべきものに思える。例えば、約20年前（1977年）には、高次元球面上に非同値な微分可能構造が存在するという証明は驚くべきものと考えられていたが、当時も今も、そのような事実を美しいと呼ぶ人はいなかった。^{[ 2 ]： 172}

それに対し、モナスティルスキーは2001年に次のように書いている。

ミルナーによる7次元球面上の様々な微分構造の美しい構成に匹敵​​する発明を過去に見つけるのは非常に難しい。ミルナーの元の証明はあまり構成的ではなかったが、後にE.ブリスコーンはこれらの微分構造が極めて明確かつ美しい形で記述できることを示した。^{[ 24 ]： 44}

この意見の相違は、数学的な美しさが、他の一般的な美の形態と同様に主観的な性質を持つこと、そしてそれが数学的な結果と関連していることを示している。この場合、それは異質な球体の存在だけでなく、それらの特定の実現方法とも関連している。

ハーディが証明と結果の両方に適用した「予期せぬこと」「必然性」「簡潔さ」といった特性に加え、数学者たちは伝統的に、短くてシンプルな証明を美しいと考えてきた。^{[ 25 ]： 22}

数学者は、洗練された証明を探求する中で、結果を証明するさまざまな独立した方法を探すことが多い。最初に見つかった証明は、しばしば改良できるからである。最も多くの異なる証明が発見された定理はおそらくピタゴラスの定理であり、数百もの証明が発表されている。^{[ 26 ]}さまざまな方法で証明されたもう1つの定理は、 2次相互性の定理である。実際、カール・フリードリヒ・ガウスだけでもこの定理の8つの異なる証明があり、そのうち6つを発表した。^{[ 27 ]}

対照的に、論理的に正しいものの、骨の折れる計算や多くの場合の検討を伴う結果は、通常美しいとは見なされず、醜い、あるいは不器用とさえ言われることがある。例えば、ケネス・アッペルとヴォルフガング・ハーケンによる四色定理の証明は、1000を超える場合のコンピュータによる検証を利用した。フィリップ・J・デイビスとルーベン・ハーシュは、この証明について初めて聞いたとき、「その美しさが私の一日を変える」ような新たな洞察が含まれていることを期待したが、証明が場合の列挙とコンピュータによる検証によるものだと知らされて落胆したと述べている。^{[ 28 ]： 384} ポール・エルデシュは、この証明は定理が真である理由についての洞察を与えていないため、「美しくない」と述べた。^{[ 29 ]： 44}

1970年代、アブラハム・モールズとフリーダー・ナケは、美、情報処理、情報理論の間の関連性を分析した。^{[ 34 ] [ 35 ]} 1990年代、ユルゲン・シュミットフーバーは、アルゴリズム情報理論に基づいて、観察者に依存する主観的美の数学的理論を定式化した。主観的に比較可能な対象の中で最も美しい対象は、観察者が既に知っていることに比べて、アルゴリズム的記述が短い（つまり、コルモゴロフ複雑度）という。 ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}シュミットフーバーは、美しいものと興味深いものを明確に区別している。後者は、主観的に知覚される美の一次導関数に対応する。観察者は、繰り返しや対称性、フラクタル自己相似性などの規則性を発見することによって、観察の予測可能性と圧縮可能性を継続的に改善しようとする。観察者の学習プロセス（おそらく予測型人工ニューラルネットワーク）によってデータ圧縮が改善され、観測シーケンスが以前よりも少ないビットで記述できるようになると、データの一時的な興味深さは圧縮の進捗状況に対応し、観察者の内部好奇心報酬に比例する。^{[ 39 ] [ 40 ]}

セミール・ゼキ、マイケル・アティヤ、および共同研究者らが実施した脳画像実験では、数学的美の経験は、神経相関として脳の内側眼窩前頭皮質（mOFC）のA1野の活動を示し、この活動は表明された美の強度とパラメトリックに関連していることが示されています。活動の位置は、視覚芸術や音楽など他の源からの美の経験と相関する活動の位置と似ています。^{[ 41 ]}さらに、数学者は、同僚から与えられた矛盾する意見を考慮して、数学式の美しさに関する判断を修正することに抵抗があるようです。^{[ 42 ]}

音楽における数学の使用例としては、イアニス・クセナキスの確率音楽^{[ 43 ]}、ToolのLateralusにおけるフィボナッチ数列^{[ 44 ]}、エリオット・カーターのメトリック変調^{[ 45 ]}などが挙げられる。

その他の例としては、ヨハン・セバスチャン・バッハの対位法、ポリリズム構造（イーゴリ・ストラヴィンスキーの「春の祭典」など）、アルノルト・シェーンベルクに始まるセリエリズムにおける順列理論、カールハインツ・シュトックハウゼンの「賛歌」におけるシェパードトーンの応用、デイヴィッド・ルーウィンの理論的著作における音楽の変容への群論の応用などが挙げられる。

視覚芸術における数学の使用例としては、カオス理論やフラクタル幾何学のコンピュータ生成芸術への応用、レオナルド・ダ・ヴィンチの対称性の研究、ルネサンス美術の遠近法理論の発展における射影幾何学、オプ・アートにおけるグリッド、ジャンバッティスタ・デッラ・ポルタのカメラ・オブスクラにおける光学幾何学、分析的キュビスムや未来派における多重遠近法などが挙げられる。

神聖幾何学はそれ自体が一つの分野であり、数々の芸術形式を生み出してきました。その中には、最もよく知られた神秘的なシンボルや宗教的なモチーフも含まれ、特にイスラム建築において豊かな歴史を持っています。また、瞑想や思索の手段も提供しており、例えばカバラのセフィロト（生命の樹）やメタトロンの立方体の研究、そして描画行為そのものもその例です。

オランダのグラフィックデザイナー、M.C.エッシャーは、数学的な発想から生まれた木版画、リトグラフ、メゾチントを制作した。これらの作品には、不可能な構造、無限の探求、建築、視覚的なパラドックス、そしてテセレーション（平面充填）などが特徴として描かれている。

南アフリカの彫刻家ジョンティ・ハーウィッツをはじめ、アナモルフォーシス（歪像法）の数学的原理を用いて作品を歪ませる画家や彫刻家もいる。

折り紙は紙を折る芸術であり、美的側面と多くの数学的な関連性を持っています。折り紙を広げた状態の折り目のパターンを観察することで、紙を折る数学を学ぶことができます。^{[ 46 ]}

イギリスの構成主義芸術家ジョン・アーネストは、群論に触発されたレリーフや絵画を制作した。^{[ 47 ]}アンソニー・ヒルやピーター・ロウなど、構成主義やシステム思想の学派に属する他の多くのイギリス人芸術家も、インスピレーションの源として数学モデルや構造を利用している。^{[ 48 ]}コンピュータ生成アートは数学的アルゴリズムに基づいている。