カルティエの二重性

数学において、 カルティエ双対性は、可換群スキームにおけるポントリャーギン双対性の類似物です。これはピエール カルティエ (1962) によって導入されました。

S上の任意の有限平坦可換群スキーム G が与えられたとき、そのカルティエ双対は指標群であり、任意のSスキームT を基底変換から群スキーム準同型のアーベル群に変換し、任意のSスキームの写像を指標群の標準写像に変換する関数として定義されます。この関数は有限平坦S群スキームで表現可能であり、カルティエ双対性は有限平坦可換S群スキームのカテゴリからそれ自体への加法的対同値性を形成します。 G が定数可換群スキームである場合、そのカルティエ双対は対角化可能群D ( G ) であり、その逆も同様です。Sがアフィンである場合、双対性関数は関数のホップ代数の双対性によって与えられます。 ${\displaystyle G_{T}}$${\displaystyle \mathbf {G'} _{m,T}}$

体上の有限可換群スキームは、有限次元の可換共可換ホップ代数に対応します。カルティエ双対性は、ホップ代数の双対を取り、乗算と共乗算を交換することに対応します。

カルティエ双対の定義は、スキーム上の結果として得られる関数がもはや群スキームとして表現されない、はるかに一般的な状況にまで有効に拡張されます。一般的なケースには、S上の可換群の fppf 層、およびその複合体が含まれます。これらのより一般的な幾何学的オブジェクトは、優れた極限挙動を持つカテゴリを扱いたい場合に役立ちます。体上の可換代数群などの中間抽象化のケースがあり、この場合、カルティエ双対性は可換アフィン形式群と反同値であるため、G が加法群であれば、そのカルティエ双対は乗法形式群であり、 Gがトーラスであれば、そのカルティエ双対はエタールかつ捩れなしになります。トーラスのループ群の場合、カルティエ双対性は局所幾何学的類体理論の tame 記号を定義します。 ^[1]${\displaystyle \mathbf {G'} _{a}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {G} }}_{m}}$

• n次巡回群のカルティエ双対は1 のn乗根です。${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mu_{n}}$
• 特性pの体上では、群スキーム( p乗をとることによって誘導される加法群の自己準同型の核) はそれ自身のカルティエ双対です。${\displaystyle \alpha_{p}}$

• カルティエ、ピエール(1962)、「グループ algébriques et groupes formels」、1962 Colloq。 Théorie des Groupes Algébriques (ブリュッセル、1962 年)、パリ大学ルーヴァン図書館: GauthierVillars、87–111 ページ、MR  0148665
• オルト、フランス(1966)、「可換群スキーム」、数学講義ノート、第 15 巻、ベルリン-ニューヨーク: Springer-Verlag、MR  0213365