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数学において、第一種微分は、リーマン面（より一般的には複素多様体）と代数曲線（より一般的には代数多様体）の理論において、至る所正則な微分 1 形式に対して伝統的に使用される用語である。複素多様体M が与えられた場合、第一種微分 ω は、したがって、至る所正則な 1 形式と同じものである。非特異な代数多様体V上では、それはケーラー微分の連接層Ω 1の大域切断となる。いずれの場合も、定義はアーベル積分の理論に由来する。
この同一視により、第一種微分空間の次元はホッジ数となる。
- 1,0。
第一種微分は、経路に沿って積分すると、楕円積分を複素数上のすべての曲線に一般化する積分を生じます。これには、たとえば、次のタイプの 超楕円積分が含まれます。
ここで、 Qは4以上の任意の次数の平方根のない多項式である。許容されるべき乗kは、対応する超楕円曲線上の無限遠点における可能な極の解析によって決定されなければならない。これが行われると、条件が次のようになることがわかる。
- k ≤ g − 1、
言い換えると、Qの次数が 5 または 6 の場合はk は最大で 1 、次数が 7 または 8 の場合は k は最大で 2 というように続きます ( g = [(1+ deg Q )/2] と同様)。
この例が示すように、一般的には、コンパクトなリーマン面または代数曲線の場合、ホッジ数は種数 gです。代数曲面の場合、これは従来、不規則性 qとして知られる量です。また、一般に、これはヤコビ多様体 に代わるアルバネーゼ多様体の次元でもあります。
第2種および第3種の微分
伝統的な用語には、第二種微分と第三種微分も含まれていました。この背後にある考え方は、ホッジ理論の側面からも、また可換代 数群への射の利用を通じても、現代の代数微分形式の理論によってサポートされてきました。
ワイエルシュトラスのゼータ関数は、楕円関数理論では第二種の積分と呼ばれ、シータ関数の対数微分であるため、単純な極と整数の留数を持ちます。（有理型）楕円関数を「3 種類」の部分に分解すると、（i）定数、（ii）ワイエルシュトラスのゼータ関数の平行移動の線形結合、（iii）任意の極を持つがその極に留数を持たない関数として表現されます。
同じタイプの分解は、必要な変更を加えて一般に存在しますが、用語は完全に一貫していません。代数群（一般化ヤコビアン）理論では、3 種類はアーベル多様体、代数トーラス、アフィン空間であり、分解は合成級数によって行われます。
一方、第二種の有理型アーベル微分は、伝統的にすべての極の留数がゼロであるものです。第三種の有理型アーベル微分は、すべての極が単純であるものです。ポアンカレ留数を使用した、より高次元の類似物があります。