アーベル面

数学において、アーベル面は2 次元のアーベル多様体です。

1 次元の複素トーラスは単なる楕円曲線であり、すべて代数的ですが、リーマンは、リーマンの双線型関係を介して、次元 2 のほとんどの複素トーラスが代数的でないことを発見しました。本質的に、これらは複素トーラスの周期行列のパラメーター空間に対する条件であり、代数部分多様体を定義します。この部分多様体には、周期行列がアーベル多様体の周期行列に対応するすべての点が含まれます。

代数的なものはアーベル面と呼ばれ、まさに 2 次元アーベル多様体です。その理論のほとんどは、高次元トーラスまたはアーベル多様体の理論の特殊なケースです。次元 2 の複素トーラスが 2 つの楕円曲線の積 (同型まで) となるための条件を見つけることは、19 世紀に人気のあった研究テーマでした。

不変量:多種族はすべて1 です。曲面はS ¹ × S ¹ × S ¹ × S ¹に微分同相なので、基本群はZ ⁴です。

ホッジダイヤモンド：

例: 2 つの楕円曲線の積。種数 2 の曲線の ヤコビ多様体。

• ホッジ理論
• 複雑なトーラス

• バース、ウルフ P.ヒューレック、クラウス。ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004)、Compact Complex Surfaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 4、シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン、ISBN 978-3-540-00832-3、MR  2030225
• ボーヴィル、アルノー (1996)、「複素代数面」、ロンドン数学会学生テキスト、第34巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-49510-3、MR  1406314
• Birkenhake, Ch. (2001) [1994]、「アーベル面」、数学百科事典、EMS Press