ワイルペアリング

数学において、ヴェイユのペアリングは、 楕円曲線E のnを割り切る位数の点上のペアリング(双線型形式ですが乗法表記) であり、値は 1 の n 乗根になります。より一般的には、アーベル多様体のn位数の点とその双対の間にも同様のヴェイユのペアリングがあります。これは、曲線のヤコビアンに対してアンドレ・ヴェイユ(1940)によって導入され、抽象的な代数定義が与えられました。楕円関数に対する対応する結果は知られており、ワイエルシュトラスのシグマ関数を使用して簡単に表現できます。

体K上に定義された楕円曲線Eと整数n  > 0 ( char( K ) > 0の場合、n はchar( K )と互いに素でなければならない) を選択し、 K が原始 n 乗根を含むようにします。すると、 のn乗捩れは、位数nの2 つの巡回群の直積であることが知られています。Weil ペアリングはn乗根 1 を 生成します。 ${\displaystyle E({\overline {K}})}$

${\displaystyle w(P,Q)\in \mu _{n}}$

クンマー理論によれば、任意の 2 点、ただしおよび に対して、 ${\displaystyle P,Q\in E(K)[n]}$${\displaystyle E(K)[n]=\{T\in E(K)\mid n\cdot T=O\}}$${\displaystyle \mu _{n}=\{x\in K\mid x^{n}=1\}}$

ヴェイユペアリングの現実的な構成は次のようになる。因子Kの代数閉包上のEの関数体上の関数Fを選択する。

${\displaystyle \mathrm {div} (F)=\sum _{0\leq k<n}[P+k\cdot Q]-\sum _{0\leq k<n}[k\cdot Q]。 }$

したがって、F は各点P + kQに単純な零点を持ち、これらの点がすべて異なる場合、各点kQに単純な極を持ちます。この場合、 F は定数による乗算まで明確に定義されます。G がQによるFの変換である場合、構築によりG は同じ約数を持つため、関数G/F は定数になります。

したがって、定義すると

${\displaystyle w(P,Q):={\frac {G}{F}}}$

1以外のn乗根（n回平行移動すれば必ず1になる）を持つことになる。この定義により、 wは交代かつ双線型であることが示され、 ^[1] n-ねじれに非退化な対合が生じる。

ヴェイユのペアリングは、異なるnに対するペアリングは同じではないため、すべてのねじれ点上のペアリング ( nねじれ点の直接的な極限) には拡張されません。ただし、それらは、楕円曲線 E の Tate 加群 T ℓ ( E ) ( ℓ n ねじれ点の逆極限) から乗法群のTate加_群T ℓ ( μ ₎ (ℓ n の 1 の根の逆極限)_へ^のペア^リングT ℓ ₍ E ) × T _{ℓ ( E ) →} T ℓ ( μ) を与えるために適合します。

代数的に閉じた体K上のアーベル多様体に対して、ヴェイユペアリングは非退化ペアリングである。

${\displaystyle A[n]\times A^{\vee }[n]\longrightarrow \mu _{n}}$

となる。すべてのnはKの標数と素数である。^[2]ここでAの双対アーベル多様体を表す。これは高次元のいわゆるヴェイユ対合である。Aが分極${\displaystyle A^{\vee}}$

${\displaystyle \lambda :A\longrightarrow A^{\vee}}$、

すると合成により（おそらく退化した）ペアリングが得られる

${\displaystyle A[n]\times A[n]\longrightarrow \mu _{n}.}$

C がk上の種数 ≥ 0 の射影的かつ特異でない曲線で、J がそのヤコビアンである場合、Jのシータ因子はJの主分極を誘導し、この特定のケースでは同型となる（ヤコビアン の自己双対性を参照）。したがって、 Jのヴェイユ対を分極と合成すると、非退化対が得られる。

${\displaystyle J[n]\times J[n]\longrightarrow \mu _{n}}$

すべてのnはkの標数と素です。

楕円曲線の場合と同様に、このペアリングの明示的な式はCの約数で与えることができます。

このペアリングは数論や代数幾何学で使用され、楕円曲線暗号やアイデンティティベースの暗号化にも応用されています。

• テイトペアリング
• ペアリングベースの暗号化
• ボネ・フランクリン計画
• ネットワークコーディングのための準同型署名

• アンドレ・ヴェイル(1940)、「Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini」、科学アカデミーの計算結果、 210 : 592–594、MR  0002863

• C 上の楕円曲線上の Weil ペアリング (PDF)