モーデル・ヴェイユの定理

数学において、モーデル・ヴェイユの定理は、数体上のアーベル多様体 に対して、のK有理点の群は、モーデル・ヴェイユ群と呼ばれる有限生成アーベル群であることを述べています。楕円曲線と有理数体の場合は、モーデルの定理であり、1901年頃にアンリ・ポアンカレによって提起されたと思われる質問に回答しています。これは、1922年にルイ・モーデルによって証明されました。これは、ディオファントス幾何学とアーベル多様体の算術の基礎定理です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle A(K)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$

接弦過程（3次曲線上の加法定理の1つの形式）は、17世紀にまで遡って知られていました。フェルマーの無限降下の過程はよく知られていましたが、モーデルは、証明の大きなステップとなる商群の有限性を確立することに成功しました。確かに、この群の有限性は、が有限生成されるための必要条件であり、階数が有限であることを示しています。これが本質的な難しさであることが判明しました。これは、 E上の点の倍加を直接分析することで証明できます。 ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$

数年後、アンドレ・ヴェイユがこのテーマを取り上げ、1928年に出版された博士論文^{[1]で、任意の数体上の高種数}曲線のヤコビアンへの一般化を提示しました。同じ基本構造を持つ証明を実行するには、より抽象的な方法が必要でした。証明の後半では、の点の「サイズ」を制限するための、ある種の高さ関数が必要です。座標の何らかの尺度で十分です。高さは対数であるため、（大まかに言えば）同次座標の集合を書き下すのに何桁必要かという問題になります。しかし、アーベル多様体については、射影多様体としてのアプリオリに好ましい表現はありません。 ${\displaystyle A(K)}$

証明の両半分は、降下に適用されたガロアコホモロジーや、最適な高さ関数（二次形式） の研究など、その後の技術的進歩によって大幅に改善されました。

この定理には、まだ答えられていない疑問がいくつか残っています。

• ランクの計算。これは依然として計算上の困難な問題であり、必ずしも効果的な解決策があるわけではありません。
• ランクの意味: Birch と Swinnerton-Dyer の予想を参照してください。
• 可能な捩れ部分群: バリー・マズールは 1978 年に、モーデル・ヴェイユ群には有限個の捩れ部分群しか存在しないことを証明しました。これは、楕円曲線における捩れ予想の場合です。
• ヤコビ多様体の曲線 に対して、との交差は無限大になることができますか?ファルティングスの定理により、 でない限り、これは誤りです。${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A(K)}$${\displaystyle C=A}$
• 同じ文脈で、は の無限個のねじれ点を含むことができますか? ミシェル・レイノーによって証明されたマニン・マンフォード予想により、楕円曲線の場合を除いてこれは誤りです。${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$

• 算術幾何学
• モーデル・ヴェイル群

• アンドレ・ヴェイユ(1929)。 「数学的数学」。アクタ・マセマティカ。 Vol. 52、いいえ。 1. 281 ～ 315 ページ。土井：10.1007/BF02592688。MR1555278  。
• モーデル、ルイス・ジョエル (1922)。「3次および4次の不定方程式の有理解について」。ケンブリッジ哲学会紀要第21巻第21号、pp.179-192。
• シルバーマン、ジョセフ H. (1986)。楕円曲線の算術。数学の大学院テキスト。第 106 巻。Springer-Verlag。doi : 10.1007 / 978-0-387-09494-6。ISBN 0-387-96203-4MR  2514094 。