ショットキー問題

数学において、フリードリヒ・ショットキーにちなんで名付けられたショットキー問題は、代数幾何学の古典的な問題であり、アーベル多様体の中でのヤコビ多様体の特徴付けを求めるものである。

より正確には、与えられた種数の代数曲線 とそのヤコビアン を考える必要がある。そのような曲線のモジュライ空間と、主に分極化された次元のアーベル多様体、、 のモジュライ空間が存在する。射が存在する。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \operatorname {Jac} :{\mathcal {M}}_{g}\to {\mathcal {A}}_{g}}$

は点（より正確には幾何学的点）上で に同型クラスをとります。トレッリの定理の内容はが（これも点上で）単射であるということです。ショットキー問題はの像 の記述を求めており、 と表記されます。^[1]${\displaystyle [C]}$${\displaystyle [\operatorname {Jac} (C)]}$${\displaystyle \operatorname {ジャック} }$${\displaystyle \operatorname {ジャック} }$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{g}=\operatorname {Jac} ({\mathcal {M}}_{g})}$

の次元はに対して である^[2]のに対し、 の次元はg ( g + 1)/2 である。これは、 g = 0, 1, 2, 3 に対して次元が同じ (0, 1, 3, 6) であることを意味する。したがって は次元が変化する最初のケースであり、これは 1880 年代に F. Schottky によって研究された。Schottky は、ジーゲル上半空間のモジュラー形式であるシータ定数を適用して、におけるショットキー軌跡を定義した。より正確な形の問題は、 の像がショットキー軌跡と本質的に一致するかどうか (言い換えると、そこでザリスキ稠密であるかどうか) を決定することである。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle 3g-3}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$${\displaystyle g=4}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$${\displaystyle \operatorname {ジャック} }$

すべての楕円曲線はそれ自身のヤコビアンであるため、楕円曲線のモジュライスタック は のモデルとなります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$

アーベル曲面の場合、2種類のアーベル多様体がある: ^{[3]種数2の曲線のヤコビアン、または}楕円曲線のヤコビアンの積。これは、モジュライ空間

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2},{\mathcal {M}}_{1,1}\times {\mathcal {M}}_{1,1}}$

に埋め込みます。アーベル多様体はヤコビアンの積になる可能性があるため、次元 3 についても同様の記述があります。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

モジュライ空間を、アーベル多様体が依存するパラメータとして直感的に記述すると、ショットキー問題は、パラメータのどのような条件がアー​​ベル多様体が曲線のヤコビアンから生じることを意味するかを問うだけになります。複素数体上の古典的なケースは、ほとんどの注目を集めており、アーベル多様体A は、 C ^gの格子から生じる特定のタイプの複素トーラスにすぎません。比較的具体的な言葉で言えば、どの格子がコンパクトなリーマン面の周期格子であるかが問われています。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$

リーマン行列はリーマンテンソルとは全く異なることに注意する。

ベルンハルト・リーマンの大きな業績の 1 つは、複素トーラス関数とシータ関数の理論でした。リーマン シータ関数を使用して、格子C ^g上の格子に対応するトーラスが複素射影空間に埋め込まれるための必要十分条件がリーマンによって記述されました。(解釈は後になってソロモン・レフシェッツによってなされたかもしれませんが、リーマンの理論は決定的でした。) このデータは、現在リーマン行列と呼ばれるものです。したがって、複素ショットキー問題は、すべてのリーマン行列の中で、アーベル積分の基底を第 1ホモロジー群の基底の周りに積分することによって形成される、種数gのコンパクトリーマン面の周期行列を特徴付ける問題になります。これは1986 年に塩田隆宏によって解決されました。^[4]

幾何学的なアプローチは数多く存在し、この問題はソリトン理論に関連するカドムツェフ・ペトビアシビリ方程式にも関係していることが示されています。

• アーベル多様体のモジュライ

• Beauville、Arnaud (1987)、「Le problème de Schottky et la conjecture de Novikov」、Astérisque、Séminaire Bourbaki (152): 101–112、ISSN  0303-1179、MR  0936851
• デバール、オリヴィエ (1995)、「ショットキー問題: 最新情報」、複素代数幾何学の最新トピック (カリフォルニア州バークレー、1992/93)、Math. Sci. Res. Inst. Publ.、第 28 巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 57–64、MR  1397058
• ギア、G. ファン デル (2001) [1994]、「ショットキー問題」、数学百科事典、EMS プレス
• Grushevsky, Samuel (2011)、「ショットキー問題」(PDF)、Caporaso, Lucia、McKernan, James、Popa, Mihnea、他編『Current Developments in Algebraic Geometry』、MSRI Publications、第 59 巻、ISBN 978-0-521-76825-2