アルバネーゼ種

数学において、アルバネーゼ多様体は 、ジャコモ・アルバネーゼにちなんで名付けられ、曲線の ヤコビ多様体の一般化です。${\displaystyle A(V)}$

アルバネーゼ多様体は、の与えられた点を の恒等写像に取る多様体によって生成されるアーベル多様体です。言い換えると、多様体 からそのアルバネーゼ多様体 への射があり、 からアーベル多様体への任意の射（与えられた点を恒等写像に取る）は を一意に因数分解します。複素多様体の場合、アンドレ・ブランシャール（1956）は、アルバネーゼ多様体を同様の方法で、 からトーラスへの射で、トーラスへの任意の射がこの写像を一意に因数分解するものと定義しました。（この場合は解析多様体であり、代数多様体である必要はありません。） ${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

コンパクトな ケーラー多様体の場合、アルバネーゼ多様体の次元はホッジ数 、つまり上の第一種微分空間の次元であり、曲面の場合、曲面 の不規則性と呼ばれる。微分形式の観点から見ると、 上の任意の正則 1 形式は、アルバネーゼ多様体上の変換不変 1 形式の引き戻しであり、 の正則余接空間の恒等元から来ている。曲線の場合と同様に、上の基点（そこから「積分」する）を選択することで、アルバネーゼ射${\displaystyle h^{1,0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$

が定義され、それに沿って 1-形式が引き戻されます。この射は、アルバネーゼ多様体上の変換を除いて一意です。正特性の体上の多様体の場合、アルバネーゼ多様体の次元はホッジ数と(等しい必要はありません) よりも小さくなることがあります。前者を確認するには、アルバネーゼ多様体がピカール多様体と双対であることに注目してください。ピカール多様体の恒等式における接空間は で与えられます。これは、参考文献の 井草純一による成果です。${\displaystyle h^{1,0}}$${\displaystyle h^{0,1}}$${\displaystyle H^{1}(X,O_{X}).}$${\displaystyle \dim \operatorname {Alb} (X)\leq h^{1,0}}$

基底体kが代数的に閉じている場合、アルバネーゼ写像は群準同型（アルバネーゼ写像とも呼ばれる） 上で因数分解できることが示される。${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$

${\displaystyle CH_{0}(V)\to \operatorname {Alb} (V)(k)}$

V上の 0 次元サイクルのChow 群からの有理点の群へ。 はアーベル多様体なので、これはアーベル群です。 ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

AA Rojtman (1980) によって導入されたRoitman の定理は、l がchar( k ) に対して素数である場合、アルバネーゼ写像はl -ねじれ部分群上に同型を誘導することを主張しています。^{[1] [2]} ねじれの順序が基本体の標数に対して素数であるという制約は、その後まもなく Milne ^[3]によって取り除かれました 。つまり、のねじれ部分群と、 Xのアルバネーゼ多様体のk -値点 のねじれ部分群は一致するのです。 ${\displaystyle \operatorname {CH} _{0}(X)}$

モチーフコホモロジー 導入後、チョウ群をススリン-ヴォヴォツキー代数特異ホモロジーに置き換えることで、モチーフの枠組みでロイトマンの定理が得られ、再定式化された。例えば、同様の結果は非特異準射影多様体に対しても成り立つ。^[4]ロイトマンの定理のさらなるバージョンは、正規スキームに対して利用可能である。^[5]実際、ロイトマンの定理の最も一般的な定式化（すなわち、ホモロジー、コホモロジー、およびボレル-ムーア）は、モチーフアルバネーゼ複体に関係しており、ルカバルビエリ-ヴィアーレとブルーノカーンによって証明されている（参考文献III.13を参照）。 ${\displaystyle \operatorname {LAlb} (V)}$

アルバネーゼ多様体はピカール多様体（V上の可逆層を分類するピカール方式のゼロの連結成分）の双対である。

${\displaystyle \operatorname {Alb} V=(\operatorname {Pic} _{0}V)^{\vee }.}$

代数曲線の場合、アーベル・ヤコビの定理はアルバネーゼ多様体とピカール多様体が同型であることを意味します。

• 中間ヤコビアン
• アルバネーゼ計画
• モティヴィック・アルバネーゼ

• バルビエリ・ヴィアーレ、ルカ; カーン、ブルーノ (2016)、「1-モチーフの導来圏について」、アステリスク、第381巻、SMF、arXiv : 1009.1900、ISBN 978-2-85629-818-3、ISSN  0303-1179、MR  3545132
• Blanchard、André (1956)、「Sur les variétés Analytiques complexes」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、Série 3、73 (2): 157–202、doi : 10.24033/asens.1045、ISSN  0012-9593、MR  0087184
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョー(1994)。代数幾何学の原理。ワイリークラシックスライブラリー。ワイリーインターサイエンス。pp . 331、552。ISBN 978-0-471-05059-9。
• 井草 純一(1955). 「ピカール多様体の理論における基本的な不等式」.米国科学アカデミー紀要. 41 (5): 317–20. Bibcode :1955PNAS...41..317I. doi : 10.1073 /pnas.41.5.317 . PMC  528086. PMID  16589672.
• パルシン、アレクセイ N. (2001) [1994]、「アルバネーゼ変種」、数学百科事典、EMS プレス