音響減衰

音響学において、音響減衰は音響伝達媒体を通過する音の伝搬によるエネルギー損失の尺度である。ほとんどの媒体は粘性を持つため、理想的な媒体ではない。このような媒体で音が伝搬する場合、粘性によって常に熱エネルギーが消費される。この効果は、ストークスの音響減衰の法則によって定量化できる。音響減衰は、1868年にG.キルヒホフによって示されたように、媒体の熱伝導の結果である場合もある。^{[ 1 ] [ 2 ]}ストークス・キルヒホフ減衰式は、粘性と熱伝導の両方の効果を考慮に入れている。

不均質媒体の場合、媒体の粘性に加えて、音響散乱も音響エネルギー除去の主な原因です。損失媒体における音響減衰は、医療用超音波検査、振動および騒音低減など、多くの科学研究および工学分野で重要な役割を果たしています。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

多くの実験および現場測定により、軟組織、ポリマー、土壌、多孔質岩石などの広範囲の粘弾性材料の音響減衰係数は、周波数に関して次のべき乗則で表すことができることが示されています。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle P(x+\Delta x)=P(x)e^{-\alpha (\omega )\Delta x},\,\alpha (\omega )=\alpha _{0}\omega ^{\eta }}$

どこ${\displaystyle P}$圧力は、${\displaystyle x}$そのポジション、${\displaystyle \Delta x}$波の伝播距離、${\displaystyle \omega }$角周波数、${\displaystyle \alpha (\omega )}$減衰係数、そして$\displaystyle \alpha _{0}}$周波数依存指数${\displaystyle \eta }$は、実験データに適合させることで得られる、実数で非負の材料パラメータです。${\displaystyle \eta }$0から4の範囲。水中での音響減衰は周波数の2乗に依存し、すなわち${\displaystyle \eta =2}$多くの金属や結晶材料における音響減衰は周波数に依存しない、すなわち、${\displaystyle \eta =1}$^{[ 10 ]}対照的に、${\displaystyle \eta }$粘弾性材料の指数は0から2の間です。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}例えば、指数は${\displaystyle \eta }$堆積物、土壌、岩石の指数は約 1 であり、${\displaystyle \eta }$ほとんどの軟部組織の硬度は1～2の間である。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

古典的な散逸音波伝播方程式は、減衰波方程式や近似熱粘性波方程式のように、周波数に依存しない減衰と周波数の二乗に依存する減衰に限定されます。近年、一般的なべき乗則周波数依存音響減衰を記述するための正確なモデルの開発にますます注目と努力が注がれています。^{[ 8 ] [ 11 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}これらの最近の周波数依存モデルのほとんどは、複素波数解析によって確立され、その後、過渡波伝播に拡張されます。^{[ 19 ]}多重緩和モデルは、異なる分子緩和プロセスの基礎となるべき乗則粘性を考慮します。^{[ 17 ]} Szabo ^{[ 8 ]}は、時間畳み込み積分散逸音波方程式を提案しました。一方、分数階微分粘弾性モデルに基づく音波方程式は、べき乗則周波数依存音響減衰を記述するために適用されます。^{[ 18 ]} ChenとHolmは、正の分数階微分修正Szaboの波動方程式^{[ 11 ]}と分数ラプラシアン波動方程式を提案した。^{[ 11 ]分数波動方程式とモデルべき乗則減衰を比較した論文については[ 20 ]}を参照。べき乗則減衰に関するこの書籍もこのトピックをより詳細に扱っている。^{[ 21 ]}

周波数べき乗則に従う減衰現象は、応力とひずみの間の分数構成方程式から導出される因果波動方程式を用いて記述することができる。この波動方程式には、分数時間微分が含まれる。

$${\displaystyle {\nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0.}}$$

^{[ 14 ]}およびそこに挙げられている参考文献も参照のこと。

^{このような分数階微分モデルは、多重緩和現象（Nachman ら[ 17 ]}を参照）が複雑な媒体で測定される減衰を引き起こすという、一般的に認められている仮説と関連しています。この関連性については^{[ 22 ]}およびサーベイ論文^{[ 23 ]でさらに詳しく説明されています。}

周波数帯域制限波については、文献^{[ 24 ]では、Nachmanらのフレームワーク[ 17 ]}内の離散緩和メカニズムのセットを使用して因果的べき乗則減衰を達成するモデルベースの方法が説明されています。

砂岩などの多孔質流体飽和堆積岩では、音響減衰は主に固体フレームに対する間隙流体の波動誘起流によって引き起こされ、${\displaystyle \eta }$0.5から1.5の間で変動する。 ^{[ 25 ]}

• 吸音（音響）
• 分数階微積分