一方向波動方程式

一方向波動方程式は、ベクトル波速度によって定義される方向に伝わる 1 つの波を記述する1 階偏微分方程式です。これは、反対方向の 2 つの波の重ね合わせから生じる定在波場を記述する2 階双方向波動方程式とは対照的です (2 乗スカラー波速度を使用)。 ^{[1] [2] [3]} 1 次元の場合、これは輸送方程式とも呼ばれ、^[4] 2 階微分方程式を解くという数学的な複雑さなしに波の伝播を計算できます。過去数十年間、3D 一方向波動方程式の一般的な解が見つからなかったため、1D 一方向波動方程式に基づく多数の近似法が 3D 地震およびその他の地球物理学的計算に使用されています。セクション 3 次元の場合も参照してください。^{[5] [6] [1] [7]}

定在波場を記述するスカラー2 次 (双方向) 波動方程式は、次のように記述できます。 ここで、は座標、は時間、は変位、は波の速度です。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0,}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s=s(x,t)}$${\displaystyle c}$

波の速度の方向が曖昧なため、方程式には波の方向に関する情報が含まれず、したがって、前方 ( ) と後方 ( ) の両方向に伝播する解が存在します。方程式の一般解は、これら 2 つの方向の解の合計です。 ${\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$${\displaystyle +x}$${\displaystyle -x}$$${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)+s_{-}(t+x/c)}$$

ここで、およびは、および方向 に流れる波の変位振幅です。${\displaystyle s_{+}}$${\displaystyle s_{-}}$${\displaystyle +c}$${\displaystyle -c}$

一方向の波動問題を定式化する場合、一般解の 2 つの項のうちの 1 つを保持することによって、波の伝播方向を (手動で) 選択する必要があります。

方程式の左側の演算子を因数分解すると、一方向の波動方程式のペアが得られ、一方は前方に伝播する解を持ち、もう一方は後方に伝播する解を持つ。 ^{[8] [9] [10]}

$${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right)s=\left({\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}\right)\left({\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}\right)s=0,}$$

後方および前方に伝わる波はそれぞれ次のように記述される（ の場合）、 ${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}}$$

一方向の波動方程式は、特定の音響インピーダンスから物理的に直接導くこともできます。

縦波では、比インピーダンスが圧力と粒子速度の局所的な比例関係を決定する：^[11]${\displaystyle p=p(x,t)}$${\displaystyle v=v(x,t)}$

$${\displaystyle {\frac {p}{v}}=\rho c,}$$ =密度。 ${\displaystyle \rho }$

インピーダンス方程式を変換すると次のようになる。^[3]

角周波数の縦平面波の変位は です。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle s=s(x,t)}$

圧力と粒子速度は変位（弾性係数）で表すことができる^{[12] [より良い情報源が必要]}： ${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle p:=E{\partial s \over \partial x}}$$1次元の場合、これは力学における応力 と完全に類似しており、ひずみは次のように定義される^[13]。${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$ $${\displaystyle v={\partial s \over \partial t}}$$

これらの関係を上記の式（⁎）に代入すると次のようになります。

$${\displaystyle {\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0}$$

局所的な波の速度の定義（音速）では、

$${\displaystyle c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}}$$

直接(!)一方向波動方程式の1次偏微分方程式に従います:

$${\displaystyle {{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}}$$

この波動方程式内では、波の速度は波の伝播方向に応じて 設定できます。${\displaystyle c}$${\displaystyle +c}$${\displaystyle -c}$

方向への波動伝播については、唯一の解は ${\displaystyle +c}$

$${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)}$$

そして、方向への波動伝播については、それぞれの解は^{[14]である。}${\displaystyle -c}$ $${\displaystyle s(x,t)=s_{-}(t+x/c)}$$

球座標、すなわち半径方向における単極音源の波動伝播を記述する球面一方向波動方程式も存在する。半径ナブラ演算子の修正により、球面発散とラプラス演算子間の矛盾が解決され、結果として得られる解はベッセル関数を示さない（従来の双方向アプローチの既知の解とは対照的である）。^[7]

3次元の場合の一方向方程式と解は、2次微分方程式の数学的分解（因数分解）によって、1次元の場合と同様に仮定された。^[15]実際、3Dの一方向波動方程式は、第一原理から導くことができる。a) インピーダンス定理^[3]からの導出、およびb) フィールドポイントにおけるテンソルインパルスフロー平衡からの導出である。^[7]また、2つの一方向波動演算子の合成（結合フィールド変数を使用）からベクトル双方向波動演算子を導くことも可能である。このアプローチは、双方向波動方程式または双方向波動演算子が特定の条件 ∇ c = 0、すなわち均質で異方性の媒体に使用できることを示しているが、一方向波動方程式または一方向波動演算子は不均質な媒体でも有効である。^[16]

位置に依存する弾性係数、密度、波動速度を持つ不均質媒体の場合、新しい場変数を導入することで一方向波動方程式の解析解を導くことができる。^[10]${\displaystyle E(x)}$${\displaystyle \rho (x)}$${\displaystyle c(x)}$

PDE分解法は、横波、弦波、モーンス/コルテウェグ波、曲げ波、電磁波方程式、電磁波などの他の2次または4次波動方程式にも応用できます。^[10]

• 波動方程式 – 物理学で重要な微分方程式
• 定在波 – 一定の位置に留まる波
• 連続方程式 – ある量の輸送を記述する方程式