チャープ

線形周波数チャープ、または単に線形チャープでは、瞬時周波数${\displaystyle f(t)}$時間に対して完全に線形に変化する： $${\displaystyle f(t)=ct+f_{0},}$$ どこ${\displaystyle f_{0}}$開始周波数（時刻）${\displaystyle t=0}$） そして${\displaystyle c}$はチャープレートであり、一定と仮定する。 $${\displaystyle c={\frac {f_{1}-f_{0}}{T}}={\frac {\Delta f}{\Delta t}}.}$$

ここ、${\displaystyle f_{1}}$は最終周波数であり、${\displaystyle T}$掃き掃除にかかる時間${\displaystyle f_{0}}$に${\displaystyle f_{1}}$。

任意の振動信号の位相に対応する時間領域関数は周波数関数の積分であり、位相は次のように増加すると予想される。${\displaystyle \phi (t+\Delta t)\simeq \phi (t)+2\pi f(t)\,\Delta t}$すなわち、位相の微分が角周波数である。${\displaystyle \phi '(t)=2\pi \,f(t)}$。

線形チャープの場合、以下のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}\left(c\tau +f_{0}\right)\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi \left({\frac {c}{2}}t^{2}+f_{0}t\right),\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle \phi _{0}}$初期段階（時刻）${\displaystyle t=0}$したがって、これは二次位相信号とも呼ばれます。^{[ 4 ]}

正弦波状の線形チャープに対応する時間領域関数は、位相の正弦（ラジアン単位）です。 $${\displaystyle x(t)=\sin \left[\phi _{0}+2\pi \left({\frac {c}{2}}t^{2}+f_{0}t\right)\right]}$$

幾何学的チャープ（指数チャープとも呼ばれる）では、信号の周波数は時間とともに幾何学的な関係で変化します。言い換えれば、波形の2点を選択すると、${\displaystyle t_{1}}$そして${\displaystyle t_{2}}$、そしてそれらの間の時間間隔${\displaystyle T=t_{2}-t_{1}}$周波数比は一定に保たれ、${\displaystyle f\left(t_{2}\right)/f\left(t_{1}\right)}$も一定になります。^{[ 5 ] [ 6 ]}

指数関数的なチャープ信号では、信号の周波数は時間の関数として 指数関数的に変化します。$${\displaystyle f(t)=f_{0}k^{\frac {t}{T}}}$$ どこ${\displaystyle f_{0}}$開始周波数は (${\displaystyle t=0}$）、 そして${\displaystyle k}$は、周波数の指数関数的変化率です。

$${\displaystyle k={\frac {f_{1}}{f_{0}}}}$$

どこ${\displaystyle f_{1}}$はチャープの終了周波数です（ ${\displaystyle t=T}$)

線形チャープはチャープ性が一定であるのに対し、指数関数チャープは周波数が指数関数的に増加する。

指数関数チャープの位相に対応する時間領域関数は、周波数の積分である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi f_{0}\int _{0}^{t}k^{\frac {\tau }{T}}d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi f_{0}\left({\frac {T\left(k^{\frac {t}{T}}-1\right)}{\ln(k)}}\right)\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \phi _{0}}$初期段階（${\displaystyle t=0}$)

正弦波指数チャープに対応する時間領域関数は、位相の正弦（ラジアン単位）である。 $${\displaystyle x(t)=\sin \left[\phi _{0}+2\pi f_{0}\left({\frac {T\left(k^{\frac {t}{T}}-1\right)}{\ln(k)}}\right)\right]}$$

線形チャープの場合と同様に、指数チャープの瞬時周波数は基本周波数で構成される。${\displaystyle f(t)=f_{0}k^{\frac {t}{T}}}$追加の倍音を伴う。

双曲線チャープは、ドップラー効果によって歪められた後、最大の整合フィルタ応答を示すため、レーダーアプリケーションで使用されます。^{[ 7 ]}

双曲線チャープでは、信号の周波数は時間の関数として双曲線的に変化します。 $${\displaystyle f(t)={\frac {f_{0}f_{1}T}{(f_{0}-f_{1})t+f_{1}T}}}$$

双曲線チャープの位相に対応する時間領域関数は、周波数の積分である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi {\frac {-f_{0}f_{1}T}{f_{1}-f_{0}}}\ln \left(1-{\frac {f_{1}-f_{0}}{f_{1}T}}t\right)\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \phi _{0}}$初期段階（${\displaystyle t=0}$)

正弦波状の双曲線チャープに対応する時間領域関数は、位相の正弦（ラジアン単位）である。 $${\displaystyle x(t)=\sin \left[\phi _{0}+2\pi {\frac {-f_{0}f_{1}T}{f_{1}-f_{0}}}\ln \left(1-{\frac {f_{1}-f_{0}}{f_{1}T}}t\right)\right]}$$

チャープ変調、またはデジタル通信における線形周波数変調は、1954年にシドニー・ダーリントンによって特許が取得され、その後1962年にウィンクラーによって重要な研究が行われました。この変調方式では、瞬時周波数が時間とともに直線的に増減する正弦波形が使用されます。これらの波形は一般的に線形チャープ、または単にチャープと呼ばれます。

したがって、周波数が変化する速度はチャープ率と呼ばれます。バイナリチャープ変調では、バイナリデータはビットを反対のチャープ率のチャープにマッピングすることによって送信されます。たとえば、1ビット期間では、「1」には正のレートaのチャープが、「0」には負のレート-aのチャープが割り当てられます。チャープはレーダーアプリケーションで広く使用されており、その結果、線形チャープの送信用の高度な光源と受信用の整合フィルタが利用可能です。

もう一つの種類のチャープは、射影チャープであり、その形式は次のようになる。 $${\displaystyle g=f\left[{\frac {a\cdot x+b}{c\cdot x+1}}\right],}$$射影チャープは、a（スケール）、b（並進）、c （チャープ性）の 3つのパラメータを持つ。射影チャープは画像処理に最適であり、射影チャープレット変換の基礎となる。^{[ 3 ]}

RF発振器の安定性が低いために、モールス符号の周波数が目的の周波数から変化することをチャープといい、^{[ 13 ]} RSTシステムでは文字「C」が付加されます。