日時計

世界の一部の地域では夏時間が実施されており、これにより公式時刻が通常1時間変更されます。日時計の時刻を公式時刻に合わせるには、この時間差を加算する必要があります。

標準タイムゾーンはおおよそ経度15度をカバーしているため、そのゾーン内の基準経度（一般的に15度の倍数）上にない地点では、1度あたり4分の標準時との差が生じます。例えば、タイムゾーンの西端では、東端に比べて日の出と日の入りの時刻が「公式」にはかなり遅くなります。例えば、基準経度から西に5度の経度に日時計が設置されている場合、太陽は 1時間に15度ずつ地球の周りを公転しているように見えるため、日時計の時刻は20分遅れます。これは年間を通して一定の補正です。赤道儀、球面儀、ランベルト儀などの等角日時計の場合、日時計の針を固定する位置や向きを変えずに、経度の差と同じ角度だけ日時計の表面を回転させることでこの補正を行うことができます。しかし、水平日時計などの他の日時計ではこの方法は使えず、補正は観測者が行う必要があります。

しかし、政治的および実務的な理由から、タイムゾーンの境界線は歪められています。極端な場合、タイムゾーンによって、夏時間を含む公式の正午が最大3時間早く到来することがあります（この場合、太陽は公式の時計時刻である午後3時に子午線上にあります）。これは、アラスカ、中国、スペインの極西部で発生します。詳細と例については、「タイムゾーン」を参照してください。 

太陽は地球の周りを均一に回転しているように見えますが、実際にはこの動きは完全に均一ではありません。これは、地球の軌道の離心率（地球の太陽の周りの軌道が完全な円形ではなく、わずかに楕円形であること）と、地球の自転軸が軌道面に対して傾いている（傾斜角）ためです。そのため、日時計の時刻は標準時計の時刻とずれます。1年のうち4日間は、このずれは実質的にゼロになります。しかし、他の日には、15分ほど早かったり遅かったりすることがあります。このずれの量は均時差によって表されます。このずれは世界中で同じであり、観測者の位置の緯度や経度には依存しません。ただし、地球の公転運動と自転運動の緩やかな変化のため、長期間（数世紀以上、^{[ 13 ]}）にわたって変化します。そのため、数世紀前に作成された均時差の表やグラフは、現在では著しく不正確になっています。古い日時計の読み値を修正するには、日時計が作られた時代の均時差ではなく、現在の均時差を適用する必要がある。

日時計によっては、均時差補正が日時計に貼られた情報プレートとして提供され、観測者が計算できるようになっているものもあります。より高度な日時計では、均時差補正は自動的に組み込まれています。例えば、赤道弓日時計の中には、年を定めるための小さなホイールが付属しているものがあります。このホイールが赤道弓を回転させ、時間の計測をずらします。また、時線が湾曲していたり​​、赤道弓が花瓶のような形をしていたり​​するものもあります。これは、太陽の高度が一年を通して変化することを利用して、適切な時間のずれを実現するものです。^{[ 14 ]}

ヘリオクロノメーターは、1763年頃にフィリップ・ハーンによって初めて考案され、1827年頃にアベ・ギユーによって改良された精密な日時計です。^{[ 15 ]}ヘリオクロノメーターは、見かけの太陽時を平均太陽時または他の標準時間に 補正します。ヘリオクロノメーターは通常、協定世界時に対して1分以内の精度で分を示します。

1950年代にリチャード・L・シュモイヤーによって設計されたサンクエスト日時計は、アナレムミックに着想を得たグノモンを使用して、赤道時間目盛の三日月形に光線を照射します。サンクエストは緯度と経度に合わせて調整でき、均時差を自動的に補正するため、「ほとんどの懐中時計と同じくらい正確」です。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

同様に、ミゲル・エルナンデス大学の日時計は、日時計の指針の影の代わりに、均時差のグラフと時間目盛りの交点に投影された太陽の像を利用して、時計の時刻を直接表示している。

アナレンマは、多くの種類の日時計に追加され、見かけの太陽時を平均太陽時または他の標準時間に補正します。これらは通常、均時差に従って「8の字」の形をした時線（アナレンマ）を備えています。これは、地球の軌道のわずかな偏心と地軸の傾きによって生じる、平均太陽時からの最大15分のずれを補正します。これは、より複雑な水平および垂直日時計に見られる文字盤装飾の一種です。 

正確な時計が発明される以前の17世紀半ばには 、日時計が一般的に使用されていた唯一の計時器具であり、「正しい」時刻を示すものと考えられていました。均時差は使用されていませんでした。優れた時計が発明された後も、日時計は依然として正しいと考えられ、時計は通常不正確であると考えられていました。均時差は、今日とは逆の方向に使用され、時計が示す時刻を日時計の時刻と一致させるために補正を適用しました。1720年にジョセフ・ウィリアムソンが作った時計のような精巧な「均時差時計」の中には、この補正を自動的に行う機構を組み込んだものもありました。（ウィリアムソンの時計は、差動歯車を使用した最初の装置だったかもしれません。）補正されていない時計の時刻が「正しい」と考えられ、日時計の時刻が通常「間違っている」と考えられるようになったのは、1800年頃になってからで、均時差が今日のように使用されるようになりました。^{[ 20 ]}

以下の段落に示されている式を使用すると、さまざまな種類の日時計の時線の位置を計算できます。計算が簡単な場合もあれば、非常に複雑な場合もあります。多くの種類の日時計に使用でき、計算が複雑な場合に多くの作業を節約できる、時線の位置を見つけるための別の簡単な方法があります。^{[ 22 ]}これは、実際の日時計のグノモンの影の位置を1時間間隔でマークする経験的な手順です。時線の位置がマークされる時期に依存しないようにするには、均時差を考慮する必要があります。これを行う簡単な方法は、時計または腕時計を「日時計時間」^{[ b ]}を表示するように設定することです。これは、標準時間^{[ c ]}に問題の日の均時差を加えたものです 。^{[ d ]} 日時計の時線は、時計が整数時間を示しているときの柱の影の位置を示すようにマークされており、その時間の数字が記されています。たとえば、時計が5時を示しているときは、柱の影がマークされ、「5」（またはローマ数字で「V」 ）と記されます。時線が1日ですべてマークされていない場合は、均時差の変化を考慮するために、時計を1日または2日ごとに調整する必要があります。

赤道時計（分点時計とも呼ばれる）の特徴は、影を受ける平面が、日時計の針軸に正確に垂直であることです。^{[ 25 ]}この平面は、地球と天球の赤道に平行であるため、赤道面と呼ばれます。日時計の針が固定され、地球の自転軸に揃っていると、地球の周りを太陽が回転することで、日時計の針から均一に回転する影のシートが投影され、赤道面上に均一に回転する影の線ができます。地球は24時間で360°回転するため、赤道時計の時線はすべて15°間隔（360/24）で配置されます。

${\displaystyle H_{E}=15^{\circ }\times t{\text{ (時間)}}~.}$

間隔が均一であるため、このタイプの日時計は簡単に製作できます。文字盤の材質が不透明な場合は、冬は下から、夏は上から影が落ちるため、赤道儀の両面に目盛りを付ける必要があります。半透明の文字盤（ガラスなど）の場合は、太陽に面した側にのみ時角をマークすれば十分ですが、太陽に面した側と太陽の裏側では時間の表記が異なるため、時を示す数字（使用する場合）は文字盤の両面に付ける必要があります。

この文字盤のもう一つの大きな利点は、均時差（EoT）と夏時間（DST）の補正を、文字盤を毎日適切な角度だけ回転させるだけで行えることです。これは、時角が文字盤の周囲に等間隔に配置されているためです。このため、文字盤が公共の場で展示され、ある程度の精度で真の現地時間を表示することが望ましい場合、赤道儀文字盤はしばしば有用な選択肢となります。EoT補正は、次の関係式によって行われます。

$\displaystyle \text{補正値}^{\circ }={\frac {{\text{EoT (分)}}+60\times \Delta {\text{DST (時間)}}}{4}}~.}$

春分と秋分の頃、太陽は赤道面とほぼ同じ円軌道上を移動するため、これらの時期には赤道時計盤上に明確な影ができない。これは設計上の欠点である。

赤道日時計には、時を示す目盛りであるノドゥスが追加されることがあります。ノドゥスの影は、特定の日には赤道面上の円上を移動し、その円の半径は太陽の赤緯を表します。ノドゥスとしては、日時計の針の両端、またはその長さに沿った何らかの特徴が使用されることがあります。古代の赤道日時計にはノドゥス（柱）のみがあり、同心円状の時線はクモの巣のように見えるように配置されています。^{[ 26 ]}

水平日時計（庭園日時計とも呼ばれる）では、影を受ける面は、赤道日時計のように柱に垂直ではなく、水平に配置されます。^{[ 27 ]}そのため、影の線は文字盤上で均一に回転するのではなく、時間線は規則に従って間隔が取られます。^{[ 28 ]}

${\displaystyle \ \tan H_{H}=\sin L\ \tan \left(\ 15^{\circ }\times t\ \right)\ }$

言い換えれば：

${\displaystyle \ H_{H}=\tan ^{-1}\left[\ \sin L\ \tan(\ 15^{\circ }\times t\ )\ \right]}$

ここで、Lは日時計の地理的な緯度（および日時計の指針が文字盤となす角度）であり、${\displaystyle \ H_{H}\ }$は、平面上の特定の時刻線と正午の時刻線（常に真北を指す）との間の角度であり、 tは正午の前後の時間数です。たとえば、角度は${\displaystyle \ H_{H}\ }$3 pm時線の はsin Lの逆正接に等しくなります。なぜなら tan 45° = 1 だからです。 ${\displaystyle \ L=90^{\circ }\ }$（北極では）、水平日時計は赤道日時計になります。スタイルは真上（垂直）を指し、水平面は赤道面と一致します。時間線の式は次のようになります。${\displaystyle \ H_{H}=15^{\circ }\times t\ ,}$赤道日時計について。地球の赤道にある水平日時計は、${\displaystyle \ L=0^{\circ }\ ,}$水平方向に持ち上げられた（隆起した）スタイルが必要となり、極日時計の一例となるでしょう（下記参照）。

水平日時計の主な利点は、読みやすいことと、一年を通して太陽光が文字盤を照らすことです。すべての時間線は、日時計の指針の軸が水平面と交わる点で交差します。指針は地球の自転軸と一直線に並んでいるため、指針は真北を指し、水平面との角度は日時計の地理的な緯度Lに等しくなります。ある緯度 用に設計された日時計は、緯度の差に等しい角度だけ基部を上下に傾けることで、別の緯度で使用できるように調整できます。たとえば、緯度 40° 用に設計された日時計は、日時計の面を 5° 上向きに傾け、指針を地球の自転軸と一直線にすることで、緯度 45° で使用できます。

多くの装飾用日時計は、北緯45度で使用するように設計されています。大量生産された庭園用日時計の中には、時間線を正しく計算できないものがあり、修正できないものもあります。現地標準時帯は名目上15度幅ですが、地理的または政治的な境界に合わせて変更される場合があります。日時計は、その軸（天の北極を指したままにする必要があります）を中心に回転させて、現地の時間帯に調整できます。ほとんどの場合、東7.5度から西23度の範囲での回転で十分です。これにより、等時角を持たない日時計に誤差が生じます。夏時間を調整するには、文字盤に2組の数字または補正表が必要です。非公式な標準としては、夏には暖色、冬には寒色で数字を使用することです。時間角は均等間隔ではないため、文字盤をグノモン軸を中心に回転させて均時差補正を行うことはできません。これらのタイプの文字盤には、台座またはその近くに均時差補正表が刻印されているのが一般的です。水平型の文字盤は、庭園、教会墓地、公共の場所でよく見られます。

一般的な垂直日時計では、影を受ける面が垂直に配置され、通常どおり、日時計の指針は地球の自転軸に合わせられます。^{[ 29 ]}水平日時計と同様に、影の線は面上で均一に移動せず、日時計は等角ではありません。垂直日時計の面が真南を指している場合、時間線の角度は代わりに次の式で表されます。^{[ 30 ]}

${\displaystyle \tan H_{V}=\cos L\ \tan(\ 15^{\circ }\times t\ )\ }$

ここでLは日時計の地理的緯度であり、${\displaystyle \ H_{V}\ }$は、平面上の特定の時刻線と正午の時刻線（常に真北を指す）との間の角度であり、t は正午の前後の時間数です。たとえば、角度は${\displaystyle \ H_{V}\ }$午後3時線の 1 分の 1 はcos Lの逆正接に等しくなります。なぜならtan 45° = 1だからです。影は南向きの垂直ダイヤルでは反時計回りに動きますが、水平ダイヤルや赤道北向きダイヤルでは時計回りに動きます。 

地面に対して垂直な面を持ち、真南、真北、真東、または真西を向いているダイヤルは、垂直直接ダイヤルと呼ばれます。^{[ 31 ]}垂直ダイヤルは、日照時間が何時間であっても、1日に12時間以上の日光を受けることはできないと広く信じられており、信頼できる出版物にも記載されています。^{[ 32 ]}しかし、例外があります。熱帯地方の垂直日時計は、より近い極（例えば、赤道と北回帰線の間のゾーンで北を向いている）を向いている場合、 夏至の頃の短い期間、日の出から日没まで12時間以上日光を受けることがあります。例えば、北緯20度では、6月21日に、太陽は北を向いている垂直の壁に13時間21分間 照らされます。^{[ 33 ]}北半球で真南を向いていない垂直日時計は、向いている方向や季節によっては、1日に12時間よりかなり少ない日照時間しか得られない場合があります。たとえば、真東を向いている垂直日時計は午前中しか時刻を知らせることができません。午後は太陽が日時計の面に当たらないからです。真東または真西を向いている垂直日時計は極時計と呼ばれ、後述します。北を向いている垂直日時計は、春と夏の間しか時刻を知らせず、熱帯地域以外では（そして熱帯地域でも真夏の頃だけ）正午の時刻を知らせないため、一般的ではありません。真南を向いていない垂直日時計、つまり基本方位以外の方向を向いている日時計の場合、文字盤と時線の配置の計算はより複雑になります。時線は観察によってマークする方が簡単な場合もありますが、少なくとも文字盤の位置は最初に計算する必要があります。このような日時計は傾斜日時計と呼ばれます。^{[ 34 ]}  

垂直日時計は、市庁舎、ドーム、教会の塔など、遠くからでも見やすい建物の壁によく取り付けられます。場合によっては、長方形の塔の四面に垂直日時計が設置され、一日を通して時刻が表示されます。文字盤は壁に描かれている場合もあれば、象嵌細工で表示されている場合もあります。日時計の指針は、多くの場合、1本の金属棒、または剛性を高めるための金属棒の三脚です。建物の壁が南を向いていても真南を向いていない場合は、指針は正午の線上に位置せず、時線を修正する必要があります。指針の軸は地球の自転軸と平行でなければならないため、常に真北を指し、水平線との角度は日時計の地理的な緯度に等しくなります。真南の日時計では、日時計の垂直面との角度は余緯度、つまり緯度から90°を引いた値に等しくなります。 ^{[ 35 ]}

極時計では、影を受ける面は日時計の支柱と平行に配置されます。 ^{[ 36 ]} そのため、影は表面を横方向に滑り、太陽が支柱の周りを回転するにつれて、自身に垂直に移動します。日時計と同様に、時線はすべて地球の自転軸に沿って配置されます。太陽光線がほぼ平面に平行な場合、影は非常に速く移動し、時線の間隔は広くなります。東向きと西向きの時計は極時計の例です。ただし、極時計の面は垂直である必要はなく、日時計に平行であればよいのです。したがって、緯度（水平面に対する）の角度で傾斜した平面が、同様に傾斜した日時計の下にある場合、極時計となります。平面上の時線の垂直間隔Xは、次の式で表されます。

${\displaystyle X=H\ \tan(\ 15^{\circ }\times t\ )\ }$

ここで、Hは平面上の柱の高さ、tは極時計の中心時刻の前後の時間 (時間単位) です。中心時刻とは、柱の影が平面に真下に落ちる時刻です。東向きの時計の場合、中心時刻は午前6 時、西向きの時計の場合は午後6 時、そして上記の傾斜時計の場合は正午になります。tが中心時刻から ±6 時間離れると、間隔X は+∞に発散します。これは、太陽光線が平面と平行になったときに発生します。  

傾斜ダイヤルとは、北、南、東、西などの基本方位を向いていない、水平でない平面ダイヤルのことです。^{[ 37 ]}通常通り、グノモンのスタイルは地球の自転軸に沿っていますが、時線は正午の時線に対して対称ではありません。垂直ダイヤルの場合、角度は${\displaystyle \ H_{\text{VD}}\ }$正午の時刻線と別の時刻線の間の距離は、以下の式で与えられます。${\displaystyle \ H_{\text{VD}}\ }$は、上側の垂直時角に関して時計回りの意味で正と定義され、それを等価太陽時に変換するには、それが日時計のどの象限に属するかを慎重に考慮する必要がある。^{[ 38 ]}

${\displaystyle \tan H_{\text{VD}}={\frac {\cos L}{\ \cos D\ \cot(\ 15^{\circ }\times t\ )-s_{o}\ \sin L\ \sin D\ }}}$

どこ${\displaystyle \ L\ }$は日時計の地理的な緯度、tは正午の前後の時間です。${\displaystyle \ D\ }$は真南からの偏角であり、南より東にある場合は正と定義される。${\displaystyle \ s_{o}\ }$はダイヤルの向きの切り替え整数です。部分的に南向きのダイヤルには、${\displaystyle \ s_{o}\ }$値+1  ;部分的に北向きの場合は値-1。そのようなダイヤルが南を向いている場合 (${\displaystyle \ D=0^{\circ }\ }$)、この式は、垂直南向きダイヤルの場合の上記の式に帰着します。

${\displaystyle \ \tan H_{\text{V}}=\cos L\ \tan(\ 15^{\circ }\times t\ )\ }$

日時計が方位に正しく設置されていない場合、日時計の指針のサブスタイルは正午の時刻線と一致しません。${\displaystyle \ B\ }$サブスタイルと正午の時刻線の間の距離は、式^{[ 38 ]で与えられます。}

${\displaystyle \tan B=\sin D\ \cot L}$

垂直日時計が真南または真北を向いている場合（${\displaystyle \ D=0^{\circ }\ }$または${\displaystyle \ D=180^{\circ }\ ,}$それぞれ角度${\displaystyle \ B=0^{\circ }\ }$そして、そのサブスタイルは正午の時刻線に沿って配置されている。

日時計の針の高さ、つまり針がプレートに対して作る角度は、${\displaystyle \ G\ ,}$次のように与えられます 。

${\displaystyle \ \sin G=\cos D\ \cos L~}$^{[ 39 ]}

上記の日時計は、地球の自転軸に沿って配置された日時計針を備えており、その影を平面上に投影します。平面が垂直でも水平でも赤道面でもない場合、日時計は傾斜している、または傾いていると言われます。^{[ 40 ]}例えば、このような日時計は南向きの屋根に設置されることがあります。このような日時計の時線は、上記の水平方向の式を少し修正することで計算できます。^{[ 41 ] [ 42 ]}

${\displaystyle \ \tan H_{RV}=\cos(\ L+R\ )\ \tan(\ 15^{\circ }\times t\ )\ }$

どこ${\displaystyle \ R\ }$は局所的な垂直方向に対する傾斜角度、Lは日時計の地理的な緯度です。${\displaystyle \ H_{RV}\ }$は、平面上の特定の時刻線と正午の時刻線（常に真北を指す）との間の角度であり、t は正午の前後の時間数です。たとえば、角度は${\displaystyle \ H_{RV}\ }$3pm の時刻線の はcos ( L + R )の逆正接に等しくなります。なぜならtan 45° = 1だからです。R = 0° (つまり、南向きの垂直ダイヤル)の場合、上記の垂直ダイヤルの公式が得られます。

一部の著者は、影を受ける面の向きを説明するために、より具体的な用語を使用しています。面の面が地面に向かって下向きになっている場合、傾斜していると言われ、面が地面から離れる方向を向いている場合は、傾斜していると言われます。多くの著者は、傾斜、傾斜、傾斜した日時計を総称して傾斜日時計と呼ぶこともよくあります。後者の場合、日時計の太陽側の水平面に対する傾斜角を測定することも一般的です。このようなテキストでは、${\displaystyle \ I=90^{\circ }+R\ ,}$時角の公式は、しばしば次のように表記されます 。

${\displaystyle \tan H_{RV}=\sin(L+I)\ \tan(\ 15^{\circ }\times t\ )\ }$

このタイプの日時計における、日時計の指針と文字盤Bの間の角度は次のとおりです 。

${\displaystyle B=90^{\circ }-(L+R)}$

または ：

${\displaystyle B=180^{\circ }-(L+I)}$

日時計の中には、影を受ける面が方位（真北や真南など）に向いておらず、水平でも垂直でも赤道上でもない、傾斜型と傾斜型の両方の要素を持つものがある。例えば、方位に向いていない屋根の上に設置された日時計などがこれに該当する。

このような文字盤における時線の間隔を記述する数式は、より単純な文字盤の場合よりもかなり複雑である。

回転行列の方法を用いるものや、傾斜傾斜面とその垂直傾斜面の3Dモデルを作成し、両平面上の時角成分間の幾何学的関係を抽出し、三角関数の計算を減らすものなど、さまざまな解決方法がある。^{[ 43 ]}

傾斜日時計の計算式の一つ：（フェネウィックによる）^{[ 44 ]}

角度${\displaystyle \ H_{\text{RD}}\ }$正午の時刻線と別の時刻線の間の距離は、以下の式で与えられます。${\displaystyle \ H_{\text{RD}}\ }$南向きの文字盤の場合は、ゼロ時角に対して反時計回りに進み、北向きの文字盤の場合は時計回りに進み続けます。

${\displaystyle \ \tan H_{\text{RD}}={\frac {\ \cos R\ \cos L-\sin R\ \sin L\ \cos D-s_{o}\sin R\sin D\cot(15^{\circ }\times t)\ }{\ \cos D\ \cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin D\ \sin L}}\ }$

パラメータ範囲内 ：${\displaystyle \ D<D_{c}\ }$そして${\displaystyle -90^{\circ }<R<(90^{\circ }-L)~.}$

または、傾斜角を使用することを好む場合は、${\displaystyle \ I\ ,}$傾斜ではなく、${\displaystyle \ R\ ,}$どこ${\displaystyle \ I=(90^{\circ }+R)\ }$ :

${\displaystyle \ \tan H_{\text{RD}}={\frac {\ \sin I\ \cos L+\cos I\ \sin L\ \cos D+s_{o}\cos I\ \sin D\ \cot(15^{\circ }\times t)\ }{\ \cos D\ \cot(15^{\circ }\times t\ )-s_{o}\sin D\ \sin L\ }}\ }$

パラメータ範囲内 ：${\displaystyle \ D<D_{c}~~}$そして${\displaystyle ~~0^{\circ }<I<(180^{\circ }-L)~.}$

ここ${\displaystyle \ L\ }$これは日時計の地理的な緯度です。${\displaystyle \ s_{o}\ }$は方向切り替えの整数値、tは正午の前後の時間（時間単位）、${\displaystyle \ R\ }$そして${\displaystyle \ D\ }$はそれぞれ傾斜角と偏角です。${\displaystyle \ R\ }$垂直を基準として測定されます。ダイヤルがダイヤルの後ろの地平線に向かって傾いているときは正、ダイヤルが太陽側の地平線に向かって傾いているときは負となります。赤緯角${\displaystyle \ D\ }$は、真南から東へ移動するときに正と定義されます。完全にまたは部分的に南を向いているダイヤルは${\displaystyle \ s_{o}=+1\ ,}$部分的にまたは完全に北向きのものは${\displaystyle \ s_{o}=-1~.}$ 上記の式は時角を逆正接関数として表すため、正しい時角を割り当てる前に、各時間が日時計のどの象限に属するかを十分に考慮する必要があります。

より単純な垂直傾斜日時計とは異なり、このタイプの日時計は、東西間のすべての赤緯に対して、太陽側の面に必ずしも時角を表示するとは限りません。北半球で部分的に南向きの日時計が垂直から後方（つまり太陽から離れる方向）に傾くと、真東または真西よりも小さい赤緯で、日時計の指針が日時計盤と同一平面になります。同様に、部分的に北向きの南半球の日時計も同様です。これらの日時計が前方に傾いている場合、赤緯の範囲は実際には真東と真西を超えます。同様に、部分的に北向きの北半球の日時計と、南向きで上向きの日時計が前方に傾いている場合、特定の傾斜値で可能な赤緯の範囲に同様の制限があります。${\displaystyle \ D_{c}\ }$これは、ダイヤルの傾斜角と緯度の両方の値に依存する幾何学的制約です 。

${\displaystyle \ \cos D_{c}=\tan R\ \tan L=-\tan L\ \cot I\ }$

垂直傾斜ダイヤルと同様に、グノモンのサブスタイルは正午の時刻線と一致しません。角度の一般的な公式は次のとおりです。${\displaystyle \ B\ ,}$サブスタイルと正午線の間の距離は次のように表されます 。

${\displaystyle \ \tan B={\frac {\sin D}{\sin R\ \cos D+\cos R\ \tan L}}={\frac {\sin D}{\ \cos I\ \cos D-\sin I\ \tan L\ }}\ }$

角度${\displaystyle \ G\ ,}$スタイルとプレート間の関係は次のように表されます 。

${\displaystyle \ \sin G=\cos L\ \cos D\ \cos R-\sin L\ \sin R=-\cos L\ \cos D\ \sin I+\sin L\ \cos I\ }$

注意してください。${\displaystyle \ G=0^{\circ }\ ,}$つまり、日時計の針が文字盤と同一平面上にある場合、次のようになります 。

${\displaystyle \ \cos D=\tan L\ \tan R=-\tan L\ \cot I\ }$

つまり、${\displaystyle \ D=D_{c}\ ,}$臨界偏角値。^{[ 44 ]}

影を受ける面は平面である必要はなく、日時計製作者が時間線を刻む意思さえあれば、どんな形でも構わない。日時計の形状が地球の自転軸に沿う場合、ここに示した赤道日時計のように時間線が等間隔に並ぶため、球形が都合が良い。この日時計は等角である。これが天球儀と赤道弓日時計の原理である。^{[ 45 ]}ただし、後述するランバート日時計など、他の原理に基づく等角日時計もある。

赤道弓型日時計では、グノモンは天の軸に平行な棒、溝、または張られたワイヤーです。文字盤は球の赤道に対応する半円形で、内面に目盛りが付いています。このパターンは、温度変化に強いインバー鋼で数メートル幅で作られており、第一次世界大戦前のフランスで列車の運行を時間通りにするために使用されていました。^{[ 46 ]}

これまでに作られた中で最も精密な日時計の中には、ヤントラ寺院で発見された大理石製の2つの赤道弓があります。^{[ 47 ]}この日時計やその他の天文観測機器のコレクションは、マハラジャ・ジャイ・シン2世が当時新首都であったインドのジャイプールで1727年から1733年の間に建設しました。より大きな赤道弓はサムラート・ヤントラ（至高の機器）と呼ばれ、高さ27メートルで、その影は1秒間に1ミリメートル、つまり1分間に約6センチメートル（手のひらの幅）の速度で目に見えるほど移動します。   

グノモンの影を受け取るために、平面以外の表面を使用することもできる。

より洗練された代替案として、（円周に穴や切れ目を入れることで作られる）このスタイルは、対称軸の中心ではなく、円筒や球の円周上に配置される場合もある。

この場合、時間線は再び等間隔になりますが、幾何学的な内接角の定理により、通常の2倍の角度になります。これは現代の日時計の基礎となっていますが、古代にも使用されていました。^{[ e ]}

極軸に沿った円筒形の別のバリエーションとして、円筒形の文字盤を螺旋状のリボンのような表面として表現し、その中心または外周に細い日時計を配置することもできる。

普遍的な分点リングダイヤル（簡潔にリングダイヤルと呼ばれることもあるが、この用語は曖昧である）は、天球儀日時計の携帯版である^{[ 49 ]}、または航海士のアストロラーベに触発されたものである^{[ 50 ]}。おそらく1600年頃にウィリアム・オウトレッドによって発明され、ヨーロッパ全土で普及した^{[ 51 ] 。}

最もシンプルな形では、このスタイルは、太陽光線が赤道環の時線に当たるようにする細いスリットです。通常、このスタイルは地球の自転軸に合わせられます。そのためには、ユーザーはダイヤルを真北に向け、子午線環の適切な点からリングダイヤルを垂直に吊り下げます。このようなダイヤルは、単純なスリットスタイルではなく、より複雑な中央のバーを追加することで、自動調整式にすることができます。これらのバーは、ジェマのリングセットに追加されることがあります。このバーは両端を中心に回転でき、バーに刻まれた目盛りに従って月と日の位置に配置された穴の開いたスライダーを保持していました。時刻は、穴から差し込む光が赤道環に当たるようにバーを太陽の方に回転させることで決定されました。これにより、ユーザーは機器を回転させざるを得ず、その結果、機器の垂直リングが子午線に揃う効果がありました。

使用しないときは、赤道リングと子午線リングを折りたたんで小さな円盤状にすることができます。

1610年、エドワード・ライトは磁気コンパスの上にユニバーサルリングダイヤルを取り付けたシーリングを発明した。これにより、船乗りは時刻と磁気偏角を一度に測定できるようになった。^{[ 52 ]}

アナレンマティック日時計は、垂直なグノモンと楕円形に配置された時間マーカーを備えた水平日時計の一種です。文字盤には時間線はなく、時刻は楕円上で読み取ります。グノモンは固定されておらず、正確な時刻を示すために毎日位置を変える必要があります。アナレンマティック日時計は、グノモンとして人間を使用するように設計されることもあります。人間のグノモンを使用したアナレンマティック日時計は、夏の間人間の影が非常に短い低緯度では実用的ではありません。身長66インチ（170cm ）の人は、夏至の27°緯度で4インチ（10cm）の影を落とします。 ^{[ 53 ]}  

フォスター・ランバート式日時計は、可動式グノモンを備えた日時計の一種です。^{[ 54 ]}楕円形のアナレンマ式日時計とは対照的に、ランバート式日時計は円形で、等間隔の時線が刻まれており、上記の赤道式、球形式、円筒形式、円錐形日時計と同様に、等角日時計です。フォスター・ランバート式日時計のグノモンは垂直ではなく、地球の自転軸とも一致していません。むしろ、北方向に角度 α = 45° - (Φ/2) だけ傾いています。ここで、Φ は地理的な緯度です。したがって、緯度 40° にあるフォスター・ランバート式日時計では、グノモンは垂直から北方向に 25° 傾いています。正しい時刻を読み取るには、グノモンを北方向に一定距離だけ移動させる必要があります。

${\displaystyle Y=R\tan \alpha \tan \delta \,}$

ここで、Rはフォスター・ランバート式日時計の半径であり、δは再びその時期の太陽の赤緯を示す。

人間の影（または垂直な物体の影）の長さは、太陽の高度を測定し、それによって時刻を推定するために使用できます。^{[ 56 ]}尊者ベーダは、僧侶の身長が足の長さの6倍であるという仮定に基づいて、影の長さをフィート単位で推定するための表を与えました。このような影の長さは、地理的な緯度と季節によって変化します。たとえば、正午の影の長さは、夏の月には短く、冬の月には長くなります。

チョーサーは『カンタベリー物語』の中で、牧師の話のように、この手法を何度か用いている。^{[ f ]}

長さが固定された垂直の棒を使用した同等のタイプの日時計は、バックスタッフ式日時計として知られています。

羊飼いの時計盤（羊飼いの柱時計盤、^{[ 57 ] [ 58 ]}柱時計盤、円筒時計盤、またはチリンドレとも呼ばれる）は、ナイフのようなグノモンが垂直に突き出た携帯用の円筒形日時計です。^{[ 59 ]}通常はロープや紐で吊り下げて、円筒を垂直にします。グノモンを回転させて、円筒の面の月や日の表示の上に合わせることができます。これにより、均時差に合わせて日時計が補正されます。次に、円筒が垂直のまま、グノモンが太陽に向くように、日時計全体を紐で回転させます。影の先端が円筒上の時刻を示します。円筒に刻まれた時間の曲線によって時刻を読み取ることができます。羊飼いの時計盤は、使用しないときにグノモンを折り畳めるように、中が空洞になっている場合があります。

羊飼いの日時計は、『ヘンリー六世 第三部』 [ ^{g ]を} はじめとする文学作品で言及されている。

円筒形の羊飼いの日時計は、平らな板状に広げることができます。シンプルなバージョンでは、^{[ 61 ]}板の表と裏それぞれに3つの列があり、太陽の赤緯がほぼ同じである月のペア（6月：7月、5月：8月、4月：9月、3月：10月、2月：11月、1月：12月）に対応しています。各列の上部には、影を落とすグノモン（ペグ）を差し込むための穴があります。下の列には、正午と午前中／午後の真ん中の2つの時刻だけがマークされていることがよくあります。

タイムスティック、時計の槍、^{[ 57 ]}または羊飼いのタイムスティック、^{[ 57 ]}は、文字盤と同じ原理に基づいています。^{[ 57 ] [ 58 ]}タイムスティックには、1 年の各時期に対応する 8 つの垂直な時間目盛りが刻まれており、それぞれに、1 年の各月の相対的な日照量に基づいて計算された時間目盛りが付いています。読み取り値は、時刻だけでなく、緯度と季節にも依存します。^{[ 58 ]} ペググノモンは、1 年の季節に対応する穴または面に上部に挿入され、影が目盛りにまっすぐ落ちるように太陽に向けられます。その先端が時刻を示します。^{[ 57 ]}

リングダイヤル（アキテーヌダイヤルまたは穴あきリングダイヤルとも呼ばれる）では、リングは垂直に吊り下げられ、太陽に向かって横向きに配置されている。^{[ 62 ]}光線がリングの小さな穴を通過し、リングの内側に刻まれた時間曲線に当たる。均時差を調整するために、穴は通常、リングの内側の緩いリングにあり、穴を調整して現在の月を反映させることができる。

カードダイヤルは高度ダイヤルの一種です。^{[ 63 ]}カードは太陽に対して横向きに配置され、光線が開口部を通って特定の場所に当たるように傾けられ、それによって太陽の高度が決定されます。カードの穴から重りのついた紐が垂直に下向きに垂れ下がり、ビーズまたは結び目が付いています。カードの時線上のビーズの位置が時刻を示します。カプチンダイヤルのようなより洗練されたバージョンでは、時線は1セットしかなく、つまり、時線は季節によって変化しません。代わりに、重りのついた紐が垂れ下がる穴の位置が季節に応じて変化します。

カプチン派の日時計は、水平式や赤道式の日時計のように直接時角を測定するのではなく、あるいは高度計や方位計のように計算された時角線を用いるのではなく、図式的に構築され、使用される。

通常のカプチン式ダイヤルに加えて、緯度に合わせて調整可能な汎用カプチン式ダイヤルも用意されている。

ナヴィクラ・デ・ヴェネティス、または「ヴェネツィアの小船」は、時刻を知るために使用された高度計で、小さな船のような形をしていた。カーソル（下げ振り付き）をマストに沿って上下にスライドさせて正しい緯度に合わせ、使用者は「船の甲板」の両端にある一対の視準孔を通して太陽を観測した。下げ振りは、その日の何時かを示した。^{[ 64 ]}

アイザック・ニュートンは、南向きの窓の敷居に小さな鏡を置く、便利で安価な日時計を考案した。^{[ 67 ]}鏡は結節のように機能し、天井に一点の光を投影する。地理的な緯度と季節に応じて、光点はペリコノンの双曲線のような円錐曲線を描く。鏡が地球の赤道と平行で、天井が水平であれば、得られる角度は従来の水平日時計と同じになる。天井を日時計の表面として使用することで、未使用のスペースを有効活用でき、日時計は非常に正確になるのに十分な大きさにすることができる。

二連式日時計は、蝶番で繋がれた2つの小さな平らな面から構成されていました。^{[ 69 ]}二連式日時計は通常、ポケットに収まる小さな平らな箱に折りたたまれていました。グノモンは2つの面の間に張られた紐でした。紐が張られていると、2つの面は垂直と水平の両方の日時計を形成しました。これらは白い象牙で作られ、黒い漆の模様が象嵌されていました。グノモンは黒い編み込みの絹、麻、または麻の紐でした。紐に結び目またはビーズを結節として付け、正しい目盛りを付けることで、二連式日時計（実際には十分な大きさの日時計であれば何でも）は作物を植えるのに十分な精度で暦を保持できます。よくある間違いとして、二連式日時計は自己整列すると説明されています。これは、面の間に紐のグノモンを使用して水平と垂直の日時計で構成される二連式日時計の場合、日時計の面の向きに関係なく正しくありません。紐のグノモンは連続しているため、影は蝶番で合わなければなりません。したがって、日時計の向きに関係なく、両方の日時計で同じ時刻が表示されます。^{[ 70 ]}

一般的な多面体日時計は、プラトン立体（正多面体）、通常は立方体の各面に日時計が付いている。^{[ 71 ]}

このように、固体物体のあらゆる面に日時計を取り付けることで、非常に装飾的な日時計を製作することができる。

日時計は、固体物体にくぼみを設けて作られる場合もあり、例えば、地球の自転軸に沿って配置された円筒形のくぼみ（縁が柱の役割を果たす）や、古代の伝統である半球形やアンティボレウムのような球形のくぼみなどがある。（上記「歴史」の項を参照。）こうした多面体の日時計は、机の上に置けるほど小さいものもあれば、大きな石造りの記念碑となっているものもある。

多面体の文字盤は、異なる時間帯の時刻を同時に表示するように設計できる。例えば、17世紀から18世紀にかけてのスコットランドの日時計は 、非常に複雑な形状の多面体、さらには凸面を持つものもあった。

プリズム文字盤は、凹多角形のプリズムの鋭いエッジがスタイルとして機能し、プリズムの側面が影を受ける極文字盤の特殊なケースです。^{[ 72 ]}例としては、墓石の三次元の十字架やダビデの星などがあります。

ベノイ式日時計は、イングランド、ノッティンガムシャー州コリンガムのウォルター・ゴードン・ベノイによって発明されました。日時計が影のシートを落とすのに対し、彼の発明は太陽光線を細いスリットに通し、細長い鏡（通常は半円筒形）で反射させ、または円筒レンズを通して集光することで、同等の光のシートを作り出します。ベノイ式日時計の例は、イギリスで次の場所で見ることができます。^{[ 73 ]}

• 北アイルランド、アントリム州、カーンファノック・カントリーパーク
• アプトン・ホール、英国時計協会、ニューアーク・オン・トレント、ノッティンガムシャー
• セント・エドマンズベリー・ヘリテージ・サービス（ベリー・セント・エドマンズ）のコレクション内^{[ 74 ]}
• ロングリート、ウィルトシャー
• ジョドレルバンク科学センター
• バーミンガム植物園
• ロンドン科学博物館（所蔵番号 1975-318）

1922年にドイツの数学者フーゴ・ミヒニクによって発明された二糸式日時計は、文字盤に平行な2本の交差しない糸を備えています。通常、2本目の糸は1本目の糸と直交しています。^{[ 75 ]} 2本の糸の影の交点が、その地域の太陽時を示します。

デジタル日時計は、太陽光が当たることで形成される数字で現在時刻を示します。このタイプの日時計は、ミュンヘンのドイツ博物館やベルギーのゲンクの日時計公園に設置されており、小型版は市販されています。このタイプの日時計には特許があります。^{[ 76 ]}

地球儀は、地球の自転軸に沿う球体で、球状の羽根が付いています。^{[ 77 ]}固定軸式の日時計と同様に、地球儀は太陽が地球の周りを公転する際の見かけ上の方位角から時刻を決定します。この角度は、羽根を回転させて影が最小になるようにすることで決定できます。

最も単純な日時計は時間を示すのではなく、 正午の正確な時刻を示します。^{[ 78 ]}数世紀前には、このような日時計は機械式時計の時刻合わせに使用されていましたが、機械式時計は1日でかなりの時間を失ったり進めたりすることがありました。最も単純な正午の目盛りには、目盛りを通過する影があります。次に、暦を使用して、現地の太陽時と日付を市民時間に変換できます。市民時間は時計の時刻合わせに使用されます。正午の目盛りの中には、均時差を表す8の字が含まれているものもあり、その場合は暦は必要ありません。

アメリカの植民地時代の家屋の中には、床や窓枠に正午の目印が彫られているものもあった。^{[ 79 ]}このような目印は現地の正午を示し、家庭で時計を合わせるための簡単で正確な時刻基準を提供した。アジアの一部の国では、郵便局が精密な正午の目印から時計を合わせていた。そして、それが社会の他の人々の時刻を知らせた。典型的な正午の目印の日時計は、アナレンマティックプレートの上にレンズが設置されていた。プレートには、均時差（上記参照）と太陽の赤緯に対応する8の字の形が刻まれている。太陽像の端が現在の月の図形の部分に触れると、正午12時であることを示す 。

日時計砲（「子午線砲」とも呼ばれる）は、正午に火薬を自動的に点火することで「音による正午の合図」を作り出すように設計された特殊な日時計です。これらは精密な日時計というよりは目新しいもので、主に18世紀後半から19世紀初頭にかけてヨーロッパの公園などに設置されました。通常、水平な日時計に、日時計針 の他に、火薬（ただし弾丸は入っていない）を装填した小型大砲の発射皿に正午に太陽光線を集中させるように設定されたレンズが取り付けられています。正しく機能させるには、レンズの位置と角度を季節ごとに調整する必要があります。^{[ 80 ]}

• Asociación Amigos de los Relojes de Sol (AARS) – スペイン日時計協会
• 英国日時計協会（BSS） – 英国日時計協会
• フランス天文学協会フランス日時計協会
• Coordinamento Gnomonico Italiano ( 2017年7月30日アーカイブ、Wayback Machine (CGI) – イタリア日時計協会)
• 北米日時計協会（NASS） – 北米日時計協会
• Societat Catalana de Gnomònica – カタルーニャ日時計協会
• De Zonnewijzerkring – オランダ日時計協会 (英語)
• Zonnewijzerkring Vlaanderen – フランドル日時計協会

• 『大理石製日時計の設置における欠陥に対する対処法』は、 1319年に書かれた、時間計測と日時計に関するアラビア語の写本である。
• 「傾斜日時計製作のための計算表に関する小論文」は、16世紀に書かれたアラビア語の写本で、日時計の製作に用いられる数学的計算について記されている。著者はシブト・アル＝マリディーニである。
• ヴォドラズスカヤ、L. 青銅器時代のアナレンマ式および水平式日時計（黒海北部沿岸）。考古天文学と古代技術1(1)、2013、68-88
• 古代エジプトの日時計の復元

• リアルサンタイム – モバイル版またはデスクトップ版の日時計
• スコットランドの日時計登録簿
• 宇宙の日時計 – 日時計ジェネレーター
• 英国日時計協会（英国の日時計登録簿を含む）
• 均時差
• 日時計入門
• 世界日時計地図