アナレマ

天文学において、アナレンマ（/ ˌ æ n ə ˈ l ɛ m ə / ;古代ギリシャ語の ἀνάλημμα (analēmma)  「支え」に由来）^[a]は、地球上の一定の場所から見た、一年を通して同じ平均太陽時における太陽の位置を示す図です。位置の変化は、太陽が恒星に対して取る軌道の天空の角度（黄道）のシフトの結果です。この図は8の字に似ています。 地球儀では、アナレンマが太陽の 赤緯に対する均時差（「太陽の速さ」）の2次元図として表示されることがよくあります。

アナレンマの南北成分は、地球が太陽の周りを公転する際の自転軸の傾きによる太陽の赤緯の変化から生じます。東西成分は、地球の軸の傾きと軌道の離心率の複合効果によって決まる太陽の赤経の不均一な変化率から生じます。^[1]

アナレンマを撮影するには、カメラを固定した位置と向きに保ち、一年を通して常に同じ時間帯（夏時間を無視）に複数回の露出撮影をします。

アナレンマ（現代的な意味での）は、18世紀から日時計と組み合わせて、見かけの太陽時と平均太陽時を変換するために使用されてきた。それ以前は、この用語はより一般的な意味を持ち、現在では正射投影として知られている、 3次元の物体を2次元で表現するグラフィック手法を指していた。^{[2] [3]}

アナレンマという用語は通常、地球の太陽アナレンマを指しますが、他の天体にも 適用できます。

アナレンマは、地球上の固定された位置から、1 年間毎日同じ時刻に太陽の位置をプロットするか、均時差に対する太陽の赤緯のグラフをプロットすることによって追跡できます。結果として得られる曲線は、一方の葉がもう一方の葉よりもはるかに大きい、細長い 8 の字に似ています。この曲線は、通常、陸地がほとんどない唯一の大きな熱帯地域である東太平洋にある地球儀に印刷されています。困難ではありますが、カメラを 1 年間固定した位置に置き、24 時間間隔 (またはその倍数) で画像をスナップすることで、アナレンマを撮影できます。以下のセクションを参照してください。

図の長軸（アナレンマの最北点と最南点を結ぶ線分）は、天の赤道によって二等分され、ほぼ垂直になり、黄道の傾斜の 2 倍、つまり約 47° の「長さ」を持ちます。太陽の見かけの動きのうちこの軸に沿った成分は、年間を通じて太陽の赤緯が季節的に変化するよく知られた結果です。図の「幅」は均時差によるもので、その角度範囲は、この時間差が 1 時間あたり 15° の割合、つまり 24 時間で 360° の角度に関連付けられている場合の、地方太陽時と地方平均時との最大の正と負の偏差の差です。アナレンマのこの幅は約 7.7° なので、図の長さは幅の 6 倍以上になります。 8の字形の葉の大きさの違いは、主に近日点と遠日点が春分点から遠く離れた場所で起こることから生じます。近日点と遠日点は、夏至と冬至の数週間後に起こるため、8の字形がわずかに傾き、左右非対称になります。

アナレンマの大きさと形に影響を与えるパラメータは 3 つあります。黄道傾斜、離心率、北半球の春分点と近点の間の角度です。完全に円軌道で軸の傾きがない物体から見ると、太陽は 1 年を通して同じ時刻に空の同じ位置に現れ、アナレンマは点になります。円軌道だが軸の傾きが大きい物体の場合、アナレンマは北半球と南半球の大きさが同じ 8 の字になります。離心軌道だが軸の傾きがない物体の場合、アナレンマは天の赤道に沿った東西の直線になります。^[1]

アナレンマの南北成分は、太陽の赤緯、天球上の緯度、または太陽が真上にある地球上の緯度を示します。東西成分は、均時差、つまり太陽時と地方平均時の差を示します。これは、太陽 (​​またはアナレンマ式日時計) が時計の時間と比較してどれだけ「進んでいる」か「遅れている」かとして解釈できます。また、太陽が平均位置と比較してどれだけ西または東にあるかを示します。アナレンマは、太陽の赤緯と均時差が互いにプロットされたグラフと考えることができます。アナレンマの多くの図には、時間という3番目の次元も含まれており、年間を通じてかなり狭い間隔でさまざまな日付での太陽の位置を表すマークで示されています。

図では、アナレンマは観測者が上を見上げたときに空に見えるように描かれます。北が上にある場合、西は右側になります。これは均時差の符号に対応しており、西方向が正です。太陽が平均位置と比較して西にあるほど、時計と比較して日時計はより「速く」なります。（均時差#均時差の符号を参照してください。）アナレンマが正の偏角（北）を上向きにプロットしたグラフである場合、正の均時差（西）は右側にプロットされます。これはグラフの慣例的な方向です。アナレンマが地理地球儀にマークされている場合、アナレンマの西は右側になり、地球儀上の地理的特徴は西が左側に表示されます。この混乱を避けるために、地球儀上のアナレンマは西が左側になるように印刷することが提案されていますが、少なくとも頻繁には行われていません。実際には、アナレンマはほぼ対称なので、鏡像の形は簡単には区別できませんが、日付のマークがある場合は、反対方向になります。太陽は、至点の近くではアナレンマ上で東に移動します。これにより、アナレンマがどの方向に印刷されているかがわかります。上の画像を高倍率でご覧ください。

日食の画像を含むアナレマはトゥトゥレマと呼ばれており、これは写真家のチェンク・E・テゼルとトゥンチ・テゼルがトルコ語で日食を意味する言葉に基づいて作った造語である。 ^[4]

地球の軸の傾き（23.439°）と軌道の離心率により、毎日同じ時刻に観測した場合、地平線上の太陽の相対的な位置は日ごとに一定ではありません。^[1]観測時刻が現地時間正午でない場合、地理的な緯度に応じて、このループは異なる角度で傾きます。

このセクションの図は、地球の北半球から見たアナレンマの例です。これは、2006年のイギリス、グリニッジ天文台(北緯51.48°、西経0.0015°) における正午の太陽の位置をプロットしたものです。横軸は方位角 (180° は南向き) です。縦軸は地平線からの高度(度) です。各月の最初の日は黒で示され、至点と春分は緑で示されています。春分は高度φ = 90° − 51.5° = 38.5°でほぼ発生し、冬至は高度φ ± εでほぼ発生することがわかります。ここで、εは地球の軸の傾き23.4°です。アナレンマは幅が非常に誇張されて描かれており、わずかな非対称性を示しています (地球の軌道の遠心点と至点の間の 2 週間のずれによる)。

アナレンマは、小さい方のループが大きい方のループの北に現れるように向いています。北極では、アナレンマは完全に直立し (小さい方のループが上にある 8 の形)、上半分しか見えません。南に向かって北極圏の南に達すると、アナレンマ全体が見えるようになります。正午に見ると、アナレンマは直立したままで、南に移動するにつれて地平線からより高く昇ります。赤道では、アナレンマは真上にあります。さらに南に進むと、アナレンマは北の地平線に向かって移動し、次に大きい方のループが上にある状態で見えます。早朝または夕方にアナレンマを見ると、北極から南に移動するにつれて、アナレンマは片側に傾き始めます。赤道では、アナレンマは完全に水平です。南に進み続けると、アナレンマは回転し、小さなループが空の大きなループの下にきます。南極圏を越えると、ほぼ完全に反転したアナレマは消え始め、南極からは大きなループの50%だけが見えるようになる。^[5]

アナレンマの東西特性のより詳しい説明については、 均時差を参照してください。

アナレマの写真として初めて成功したのは、1978年から1979年にかけて、マサチューセッツ州ウォータータウンで写真家のデニス・ディ・チッコによって撮影されたものである。彼はカメラを動かさずに、1フレームのフィルムに44枚の露出写真を撮ったが、そのすべては少なくとも1週間の間隔を置いて同じ時間帯に撮影されたものである。前景画像と3枚の長時間露光画像も同じフレームに含まれており、露出写真の総数は48枚となった。^[6]

アナレマの撮影は技術的にも実用的にも難しいが、地球表面上の任意の場所について計算して3Dプロットで表示することは可能である。^[7]

この考え方は、地球の表面上の選択された点を原点とし、その方向が常に太陽の中心を指す単位ベクトルに基づいています。太陽の位置、つまり太陽の天頂角と方位角を、たとえば 1 時間ごとに 1 年間計算すると、単位ベクトルの先端は、選択された点を中心とする単位球面上に 24 個のアナレマを描きます。この単位球面は天球に相当します。右の図は、アメリカ合衆国本土の地理的中心に対して計算された「アナレマの輪」です。

地球儀でよく見られるように、アナレンマは、太陽の赤緯に対する均時差の2次元図としてプロットされることもよくあります。隣接する図（「アナレンマ：均時差...」）は、参考文献^{[7]で提示されているアルゴリズムを使用して計算されます。}このアルゴリズムは、2019年の天文年鑑に記載されている式を使用しています。

アナレンマに太陽の位置が一定の間隔で（たとえば、毎月 1 日、11 日、21 日）マークされている場合、そのマークは、年間を通した平均位置に対する太陽の見かけの動きを示します。南北方向と東西方向に等しいスケールを持つ、日付がマークされたアナレンマの図は、太陽の位置に依存する日の出と日の入りの時刻などの量を推定するツールとして使用できます。 一般的に、これらの推定を行うには、アナレンマを空の硬い構造物として視覚化する必要があります。アナレンマは一定の速度で地球の周りを回っているため、1 日に 1 回昇って沈み、太陽は 1 年に 1 回ゆっくりとアナレンマの周りを回っています 。

このプロセスには、いくつかの近似値が含まれています。主に、天球上の位置を表す平面図の使用、数値計算の代わりに描画と測定の使用です。これらのため、推定値は完全に正確ではありませんが、通常は実用的には十分です。また、日の出と日の入りの時刻がどのように変化するかを視覚的にわかりやすく示すため、教育的価値もあります。

アナレンマは、一年で最も早い日の出と日の入りの日付と最も遅い日の出と日の入りの日付を見つけるのに使用できます。これらは、夏至と冬至の日付には発生しません。

東の空に模擬されたアナレンマの画像を参照すると、アナレンマの最低点がちょうど地平線上に昇ったところである。太陽がその点にあった場合、日の出が起こったばかりである。アナレンマ上の他のすべての点がより早く昇るため、これが一年で最も遅い日の出となる。したがって、最も遅い日の出の日付は、太陽がこの最低点にあるとき（図に示すように、北緯 50 度から見てアナレンマが傾いている 12 月 29 日）である。ただし、夏時間を採用している一部の地域では、最も遅い日の出の日付は夏時間が終了する前日になる。同様に、太陽がアナレンマの左上端近くの最も高い点にあるとき（6 月 15 日）が、一年で最も早い日の出となる。同様に、日没時には、太陽がアナレンマ上で最も低い位置、つまり西の地平線に近い位置にあるときに最も早く日没し、太陽が最高位置にあるときに最も遅く日没します。

これらの地点はいずれも、太陽が至点にあるアナレンマの端点のちょうど 1 つではありません。北半球の中緯度から見ると、図が示すように、最も早い日没は 12 月の至点の少し前、通常は 1 週間か 2 週間前、最も遅い日の出は至点の 1 週間か 2 週間後です。したがって、最も暗い夜は 12 月初旬から中旬に発生しますが、朝は新年頃まで暗くなり続けます。

正確な日付は、地平線がアナレンマに接する点に太陽がある日付であり、これはアナレンマ、またはそこを通過する南北子午線が垂直からどれだけ傾いているかによって決まります。この傾斜角は、基本的に観測者の共緯度 (90° から緯度を引いた値) です。これらの日付を数値的に計算するのは複雑ですが、適切な角度に傾けた定規をアナレンマの図に接するように置き、太陽が接触位置にある日付 (必要に応じて補間) を読み取ることで、かなり正確に推定できます。

中緯度では、緯度の絶対値が減少するにつれて、日付は至点から遠ざかります。赤道付近の緯度では、状況はより複雑です。アナレンマはほぼ水平にあるため、地平線はアナレンマの各ループの1つずつ、2つの点でアナレンマに接することがあります。そのため、太陽が隣接する日付よりも早く昇る日付が1年に2つあります。^[8]

アナレンマに基づく同様の幾何学的方法を使用すると、地球上の任意の場所（北極圏または南極圏内またはその付近を除く）の任意の日付 の日の出と日の入りの時刻を見つけることができます。

アナレンマの原点は、太陽の赤緯と均時差がともにゼロであり、観測者の緯度に関係なく、年間を通じて毎日、現地時間で午前 6 時と午後 6 時に昇り、沈みます。 (この推定では、大気の屈折は考慮されていません。) アナレンマを図に描き、観測者の緯度に応じて適切な角度に傾け (上記のように)、任意の日付のアナレンマ上の太陽の位置を通る水平線を描くと (必要に応じて日付の印の間を補間します)、日の出時にこの線が地平線を表します。

原点は、地球の自転速度である 1 時間あたり 15 度の速度で天の赤道に沿って移動しているように見えます。天の赤道が地平線と交差する点から日の出時のアナレンマの原点の位置までの天の赤道に沿った距離は、指定された日付の午前 6 時から日の出時刻までの間に原点が移動する距離です。したがって、この赤道部分の長さを測定すると、午前 6 時から日の出時刻までの差がわかります。

測定は、もちろん図上で行う必要がありますが、地上の観測者から見た天空のアナレンマの対応する距離によって張られる角度で表す必要があります。 47° に及ぶアナレンマの長さと比較すると便利です。 したがって、たとえば、図の赤道セグメントの長さが図のアナレンマの長さの 0.4 倍である場合、天空のアナレンマのセグメントは、地上の観測者で 0.4 × 47° = 18.8° に及ぶことになります。 度で表された角度を 15 で割ると、日の出と午前 6 時の時間差が得られます。 差の符号は図から明らかです。日の出の地平線がアナレンマの原点より上を通過する場合、太陽は午前 6 時より前に昇り、その逆も同様です。

同じ手法を、必要な変更を加えて、日没の時刻を推定するために使用できます。推定時刻は現地平均時です。これを標準時間または夏時間に変換するには、補正を適用する必要があります。これらの補正には、観測者の経度を含む項が含まれるため、緯度と経度の両方が最終結果に影響します。

太陽が昇る地平線上の点と沈む地平線上の点の方位角（真のコンパス方位）は、上で説明したように日の出と日の入りの時刻を見つけるために使用されるのと同じ図を使用して簡単に推定できます。

地平線が天の赤道と交差する点は、真東または真西を表します。太陽が日の出または日の入りの地点は、日の出または日の入りの方向を表します。これらの点間の地平線に沿った距離を角度で測定するだけで (上記のように、アナレンマの長さと比較して)、真東または真西と日の出または日の入りの方向の間の角度が得られます。日の出または日の入りが真東または真西の北または南にあるかどうかは、図から明らかです。アナレンマの大きなループは、その南端にあります。

地球上では、アナレンマは8の字型に見えますが、他の太陽系の天体では、天体の軸の傾き、軌道の非円形性（軌道離心率で特徴付けられます）、北向きの春分点と近点の間の角度の相互作用により、非常に異なる可能性があります^{[9] 。傾きにより、実際の太陽の位置が年間で平均}太陽時より2回進む（したがって、2回遅れる）ため、アナレンマは8の字型になる傾向があります。軌道の非円形性により、アナレンマは0の字型になる傾向があり、ケプラーの惑星運動の第二法則により、太陽の位置は年間で平均太陽時より1回進みます^[1]。火星 の場合、2つの効果の合計により、涙滴型のアナレンマが得られます。 木星はわずか3°の傾きで、ほぼ楕円形のアナレンマを持っています。^[5]

以下のリストでは、日と年は特定の天体の 朔望日と恒星年を指します。

水銀

軌道共鳴により、1 日の長さはちょうど 2 年となるため、毎日同じ時刻に太陽の位置をプロットする方法では、1 つの点しか得られません。ただし、均時差は年間を通じていつでも計算できるため、この情報を使用してアナレンマをグラフ化できます。結果として得られる曲線は、ほぼ直線の東西線になります。

金星

1 年に 2 日弱しかないため、通常の方法で完全なアナレマを形成するには数年かかります。その結果得られる曲線は楕円です。

火星

ティアドロップ。

木星

楕円。

土星

厳密には 8 の字ですが、北側のループは非常に小さいため、涙滴の形に似ています。

天王星

8の字型。(天王星は横に98°傾いています。その軌道は木星と同程度、地球よりも離心率が高いです。)

ネプチューン

8の字。

静止衛星は、 1恒星日の周期で地球の周りを公転します。地球表面の固定点から見ると、それらは毎日繰り返す軌道を空に描き、したがって単純で意味のあるアナレンマです。それらは通常、ほぼ楕円形、涙滴形、または8の字形です。その形状と寸法は、軌道のパラメータによって異なります。静止衛星のサブセットは静止衛星であり、理想的には地球の赤道面にある完全な円形の軌道を持ちます。したがって、静止衛星は理想的には地球の表面に対して静止しており、赤道上の1点の上にとどまります。実際の衛星は正確に静止していないため、実際の衛星は空に小さなアナレンマを描きます。静止衛星の軌道のサイズは地球のサイズに似ているため、地球表面上の観測者の位置に応じて大きな視差が発生し、異なる場所にいる観測者は異なるアナレンマを目にします。

静止衛星との無線通信に使用されるパラボラアンテナは、アナレンマの周りを衛星が毎日移動するのに合わせて移動しなければならないことがよくあります。そのため、パラボラアンテナを駆動するメカニズムは、アナレンマのパラメータを使用してプログラムする必要があります。例外は、ほぼ静止した衛星で使用されるアンテナです。これらの衛星はほとんど移動しないため、固定されたアンテナで常に適切に機能できます。

この図に示されているような準衛星は、太陽の周りを順行軌道で回っています。その軌道周期は惑星の公転周期（1年とも呼ばれる）と同じですが、軌道離心率は惑星の公転周期よりも（通常は惑星より大きい）異なります。惑星から見ると、準衛星は1年に1回逆行方向に惑星の周りを回っているように見えますが、速度はさまざまで、おそらく黄道面を回っているわけではありません。平均位置に対して、黄道上を一定速度で移動し、準衛星は惑星の空にアナレンマを描き、1年に1回惑星の周りを回っています。^[10]

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ウィキメディア・コモンズには、アナレマに関連するメディアがあります。

• 日の出から日没までのアナレマシリーズ
• 今日の地球科学写真 (2005-01-22)
• 均時差とアナレンマ — キエロン・テイラー著
• アナレンマの使用 — ボウルズの『新・正確な世界地図』（1780 年）の挿絵より
• 空の 8 の字 — ほとんどのものよりも正確な式を使用する C プログラムへのリンクが含まれています (特に傾斜角と離心率が高い場合)
• Analemma.com — アナレマに特化したサイトです。
• アナレンマを計算して図表化する —フェアファックス郡公立学校のプラネタリウムが提供する Web サイト。アナレンマについて説明し、ユーザーがさまざまな形のアナレンマを試すことができるダウンロード可能なスプレッドシートも提供しています。
• Analemma 日時計アプレット — 多数の参照チャートが含まれています。
• Analemmas — Stephen Wolframによるもので、 Wolfram Demonstrations Project のMichael Trott によるプログラムに基づいています。
• 詩のアナレンマby タッド・ダン
• トゥトゥレンマの作り方by Tunç Tezel
• Maciej Zapiór と Łukasz Fajfrowski によるソーラーグラフィー アナレンマの作成
• Equation-of-Time.info - 均時差、均時差の構成要素、均時差の歴史、均時差を表、曲線、アナレマなどで表示する方法、日時計、天文学、時計の修正に使用する方法、均時差を機械的に製造する方法など、多くのイラストやビデオが掲載された複数ページのウェブサイトです。作成者: Kevin Karney
• 地球と太陽 — 現象を説明するインタラクティブなブログ投稿
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