均時差

均時差は、 2種類の太陽時の差を表します。均時差という言葉は、中世の「差異の調整」の意味で使用されています。2 つの差がある時間は、太陽の日周運動を直接追跡する見かけの太陽時と、天の赤道に沿って均一に動く理論上の平均太陽を追跡する平均太陽時です。見かけの太陽時は、日時計によって示される (精度は限られていますが) 太陽の現在の位置 (時角) を測定することで取得できます。同じ場所の平均太陽時は、1 年間にわたって見かけの太陽時との差が平均 0 になるように設定された安定した時計によって示される時間です。^[1]

均時差はアナレンマの東西成分であり、地球から見た天球上の平均位置からの太陽の角度オフセットを表す曲線である。天文台によって編集された年間の各日の均時差の値は、暦や天体暦に広く記載されていた。^{[2] [3] : 14}

均時差は 2 つの正弦波の合計で近似できます(以下の説明を参照)。

${\displaystyle D=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d)}$

${\displaystyle \Delta t_{ey}=-7.659\sin(D)+9.863\sin \left(2D+3.5932\right)}$[分]

ここで、 は現在の年の 1 月 1 日からの日数を表します。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle y}$

1 年間で、均時差はグラフに示すように変化します。1 年から次の年にかけての変化はわずかです。見かけの時刻と日時計は、11 月 3 日頃は 16 分 33 秒ほど進んでいたり (速い) 、2 月 11 日頃は 14 分 6 秒ほど遅れていたり (遅い) します。均時差は、4 月 15 日、6 月 13 日、9 月 1 日、12 月 25 日付近でゼロになります。地球の軌道と自転の非常にゆっくりとした変化を無視すれば、これらのイベントは毎年同じ時間に繰り返されます。ただし、1 年の日数は整数ではないため、これらの日付は年によって 1 日程度異なる場合があります。日付の不正確さの例として、米国海軍天文台の多年インタラクティブ コンピュータ年鑑によると、均時差は2011 年 4 月 16 日の02:00 UT1にゼロでした。 ^{[4] : 277}

均時差のグラフは、1 年周期と半年周期の 2 つの正弦曲線の合計でほぼ近似されます。曲線は 2 つの天文学的効果を反映しており、それぞれが恒星に対する太陽の見かけの毎日の運動に異なる不均一性を引き起こします。

• 黄道傾斜角（地球が太陽の周りを毎年公転する面）は、地球の赤道面に対して約23.44度傾いています。
• 地球が太陽の周りを回る軌道の離心率は約 0.0167 です。

均時差がなくなるのは、軸の傾きと軌道の離心率がゼロの惑星の場合のみです。^[5]均時差が大きい惑星の例として、火星と天王星が挙げられます。火星では、軌道の離心率がかなり大きいため、日時計の時刻と時計の時刻の差は最大50分になることがあります。軸の傾きが極めて大きい惑星である天王星には均時差があり、軌道上の位置に応じて1日の始まりと終わりが数時間早くなったり遅くなったりします。

米国海軍天文台は、「均時差は、見かけの太陽時と平均太陽時の差である」と述べている。つまり、太陽が時計より進んでいる場合は符号が正で、時計が太陽より進んでいる場合は符号が負である。^{[6] [7]}均時差は、上のグラフで 1 年強の期間について示されている。下のグラフ (ちょうど 1 暦年をカバー) は、絶対値は同じだが、符号が反転しており、時計が太陽よりどれだけ進んでいるかを示している。出版物では、どちらの形式も使用できる。英語圏では、前者の使用法の方が一般的だが、常に従われるわけではない。出版された表やグラフを利用する人は、まずその符号の使用法を確認すべきである。多くの場合、それを説明する注釈やキャプションがある。そうでなければ、毎年最初の 3 か月間は時計が日時計より進んでいることがわかれば、その使用法を判断できる。「新年、日時計が遅い」の「NYSS」(「ナイス」と発音) という記憶法が役に立つ。出版されている表の中には、記号を使わず、代わりに「日時計は速い」や「日時計は遅い」などの語句を表示することで曖昧さを回避しているものもあります。^[8]

「均時差」という語句は、中世ラテン語の aequātiō diērumに由来し、「日数の均時差」または「日数の差」を意味する。aequātiō という語（および中英語の equation）は、中世天文学において、観測値と期待値の差を表にするために使われた（中心の方程式、春分点の方程式、周転円の方程式など）。 ジェラルド・J・トゥーマーは、ラテン語のaequātiō （均等化または調整）に由来する中世用語「equation」を、プトレマイオスの平均太陽時と見かけの太陽時の差に使用している。ヨハネス・ケプラーによる方程式の定義は、「平均偏差の度数と分数と、修正された偏差の度数と分数の差」である。^{[9] : 155}

天文学者らは古代から恒星時と平均時の違いを認識していたが、17世紀半ばに正確な機械式時計が発明される以前は、日時計が唯一の信頼できる時計であり、恒星時が一般的に受け入れられていた基準であった。平均時が恒星時に取って代わったのは、19世紀初頭まで、国の暦や天体暦でのことであった。^[10]

太陽の不規則な日々の動きはバビロニア人にも知られていた。^[要出典]

プトレマイオスの『アルマゲスト』（2世紀）第3巻は主に太陽の異常について扱っており、彼は『ハンディテーブル』で均時差を表にまとめている。^[11]プトレマイオスは太陽の子午線通過を平均太陽時に変換するために必要な補正について論じており、黄道に沿った太陽の不均一な動きと太陽の黄道経度の子午線補正を考慮に入れている。彼は最大補正は8であると述べている。+1 ⁄ 3 時間度または1時間の5 ⁄ 9 ^{（第3巻、第9章）。 [12]}しかし、彼はこの効果がゆっくりと移動する光源に対しては無視できるほど小さいため、ほとんどの計算には関係ないと考え、最も速く移動する光源である月にのみ適用しました。

プトレマイオスの『アルマゲスト』の議論に基づいて、均時差（アラビア語ではtaʿdīl al-ayyām bi layālayhā ）の値は、中世イスラム天文学の著作における表（zij ）の標準であった。^[13]

見かけの時間と平均時については、1767 年の航海年鑑でネヴィル・マスケリンが次のように説明しています。「見かけの時間とは、太陽が子午線を通過するのを観測するか、太陽の昇りや沈みを観測するかに関係なく、太陽から直接推定される時間です。この時間は、陸上で正確に調整された時計や腕時計によって示される時間とは異なります。陸上の時計は、等時または平均時と呼ばれます。」さらに、海上では、観測者が平均時を必要とする場合、太陽の観測から得られる見かけの時間は、均時差によって修正する必要があると述べています。^[1]

正しい時刻は、もともと日時計で示される時刻であると考えられていました。優れた機械式時計が導入されたとき、それらは毎年 4 日の日付付近でのみ日時計と一致したため、均時差を使用してその読みを「修正」し、日時計の時刻を取得しました。均時差時計と呼ばれる一部の時計には、この「修正」を実行するための内部機構が含まれていました。後に、時計が優れた時計の主流となったため、修正されていない時計の時刻、つまり「平均時刻」が標準として受け入れられるようになりました。日時計が使用されていたとき、その読みは、以前とは逆方向に使用された均時差で修正され、時計の時刻を取得するために使用されていました。したがって、多くの日時計には、ユーザーがこの修正を行えるように均時差の表またはグラフが刻まれています。^{[8] : 123}

均時差は歴史的に時計を合わせるために使われてきた。1656 年に正確な時計が発明されてから 1900 年頃に商用の時刻配信サービスが登場するまでの間、時計を合わせる一般的な陸上の方法がいくつかあった。均時差の表やグラフを使って日時計を読み取り、修正した。太陽通過計器が利用できる場合は、太陽が子午線を通過する瞬間(太陽が観測者の真南または真北にあるように見える瞬間) を記録し、時計を正午に設定して、その日の均時差で示される分数だけずらした。3 つ目の方法は均時差を使わず、代わりに恒星観測を使用して恒星時を算出し、恒星時と平均太陽時との関係を利用した。^{[14] : 57–58}

本質的に正しい方法で均時差を示した最初の表は、1665年にクリスティアーン・ホイヘンスによって出版されました。^[15]ホイヘンスは、プトレマイオスや中世の天文学者全般の伝統に従い、均時差の値を年間を通じてすべての値が正になるように設定しました。^[15]これは、ホイヘンスの表によって平均時に設定された時計はどれも、今日の平均時と比較して一貫して約15分遅れていることを意味していました。

1672年から1673年にかけて、ジョン・フラムスティード（後に新設された王立グリニッジ天文台の初代王立天文官となる）によって別の表が出版された。これらは、今日の平均時の意味を示した最初の基本的に正しい表であったと思われる（それ以前は、前述のように、式の符号は常に正であり、見かけの日の出時刻が時計の日の出時刻に対して最も早い場合はゼロに設定されていた）。フラムスティードは、見かけの時刻に適用して平均時を求めるという意味で、補正を表にして命名するという慣例を採用した。^[16]

太陽の見かけの不規則性という2つの主要な要素に正確に基づいた均時差は、ジェレミア・ホロックスの著作の死後版とともに出版されたフラムスティードの1672-73年の表が発表されるまでは、一般には採用されなかった。^{[17] : 49}

ユニバーサルジョイントを数学的に分析したロバート・フック（1635-1703）は、（非世俗的な）均時差とユニバーサルジョイントの幾何学と数学的記述が同一であることを初めて指摘し、「機械式日時計」の構築にユニバーサルジョイントの使用を提案した。^{[18] : 219}

フラムスティードの 1672 年～ 1673 年および 1680 年の表の修正により、平均時間は基本的に正しく計算され、それ以上の補正は必要ありませんでした。しかし、均時差表の数値は、次の 3 つの要因により、それ以降多少変化しています。

• 天文学的測定技術の改良による精度の全般的な向上、
• 地球の黄道傾斜角と離心率の小さな長期的変化の結果として生じる、均時差のゆっくりとした本質的な変化（例えば、近日点の距離と日付に影響する）、および
• 太陽の見かけの運動に変化をもたらす小さな要因の追加。17世紀には知られていなかったが、18世紀以降に発見された。これには月（重心を参照）、金星、木星の影響が含まれる。^[19]

1767年から1833年まで、英国の航海年鑑と天文暦には、「平均時を得るために、（指示に従って）記載された分数と秒数を見かけの時刻に加算または減算する」という意味で均時差が収録されていました。年鑑の時刻は見かけの太陽時で表されていました。船上での時刻は、ほとんどの場合、太陽を観測して決定されていたからです。この操作は、観測の平均太陽時が必要なまれな場合にのみ実行されました。1834年以降の版では、すべての時刻は平均太陽時で表されています。その頃までに、船上での時刻は、海洋クロノメーターによって決定されることが多くなったためです。したがって、指示では、見かけの時刻を得るために、（指示に従って）記載された分数を平均時または平均時より加算または減算するようにとされていました。そのため、加算は方程式が正であることに対応し、減算は方程式が負であることに対応しました。

太陽の見かけの毎日の運動は 1 日 1 回転、つまり 24 時間で 360° であり、太陽自体は空で約 0.5° の円盤として現れるため、単純な日時計は最大約 1 分の精度で読み取ることができます。均時差の範囲は約 33 分であるため、日時計の時間と時計の時間の差は無視できません。均時差に加えて、ローカル タイム ゾーンの子午線からの距離と、夏時間がある場合はそれによる補正も適用する必要があります。

地球の自転の減速により平均太陽日が1世紀あたり1日あたり約2ミリ秒遅くなり、現在は年間約1秒まで蓄積されるが、これは日時計の精度レベルでは感知できないため、従来の均時差の定義では考慮されていない。

地球は太陽の周りを回っている。地球から見ると、太陽は背景の星々の中を1年で地球の周りを1周するように見える。地球が地球の軸に垂直な平面で一定の速度で円軌道を描いて太陽の周りを回っているとしたら、太陽は毎日まったく同じ時間に満月を迎え、完璧な時間管理ができるだろう（地球の自転の減速によるごくわずかな影響は別として）。しかし、地球の軌道は太陽を中心としない楕円であり、その速度はケプラーの惑星運動の法則に従って30.287～29.291 km/sの間で変化する。また、その角速度も変化するため、太陽は近日点（現在は1月3日頃）では（背景の星々に対して）速く動いているように見え、半年後の遠日点では遅く動いているように見える。 ^{[20] [21] [22]}

これらの極端な点では、この影響により、見かけの太陽日が平均から 1 日あたり 7.9 秒変化します。その結果、他の日の速度の小さな日差はこれらの点まで累積され、惑星が平均と比較してどのように加速または減速するかを反映します。

その結果、地球の軌道の離心率は周期的な変化に寄与し、それは（一次近似では）次の正弦波になります。

• 振幅: 7.66分
• 期間：1年間
• ゼロポイント：近日点（1月初め）と遠日点（7月初め）
• 極端な値: 4月上旬 (マイナス) と 10月上旬 (プラス)

EoT のこのコンポーネントは、前述の係数aによって表されます。

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))}$

たとえ地球の軌道が円だったとしても、天の赤道に沿った太陽の知覚される動きはやはり均一ではないだろう。^[5]これは、地球の自転軸が軌道面に対して傾いている、つまり黄道（天球上で太陽が通ると思われる道）が天の赤道に対して傾いている結果である。この動きを天の赤道（それに沿って「時計の時間」が測定される）に投影すると、太陽の年間の動きが赤道と平行になる（知覚される速度が増幅される）夏至と冬至の日に最大となり、主に赤経の変化が生じる。これは春分と秋分に最小となり、太陽の見かけの動きがより傾斜して赤緯の変化がより大きくなり、太陽日の長さに影響を与える唯一の要素である赤経の要素に残るものがより少なくなる。黄道傾斜の実際的な例としては、日時計の太陽の影の毎日のずれが、赤道上にある場合でも、至点に近いほど小さく、春分に近いほど大きくなることが挙げられます。この効果が単独で作用すると、夏至に近い日の長さは最大 24 時間 20.3 秒 (太陽正午から太陽正午まで測定) になり、春分に近い日の長さは 24 時間よりも最大 20.3 秒短くなります。^{[20] [23] [22]}

右の図では、地球から見た太陽正午の黄道面の見かけの傾斜の月ごとの変化を見ることができます。この変化は、太陽正午の太陽から見た、年間を通じて自転する地球の見かけの歳差運動によるものです。

均時差の観点から見ると、黄道の傾きは次のような正弦波の変化をもたらします。

• 振幅: 9.87分
• 期間: 半年
• ゼロポイント：春分と秋分
• 極端な値: 2 月と 8 月の初め (負)、および 5 月と 11 月の初め (正)。

EoT のこのコンポーネントは、前述の係数「b」によって表されます。

${\displaystyle b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

上記の 2 つの要因は、波長、振幅、位相が異なるため、それらの組み合わせが不規則な波となります。エポック2000 では、次の値になります ( UT日付の分と秒で表されます)。

^[要出典]

ET = 見かけの−平均。正とは、太陽が早く進み、早く満ちるか、日時計が平均時刻より進んでいることを意味します。閏年があるため、毎年わずかな変動が生じますが、4年ごとにリセットされます。等時曲線とそれに関連するアナレンマの正確な形状は、離心率と黄道傾斜の両方の経年変化により、何世紀にもわたってゆっくりと変化します。現時点では、どちらもゆっくりと減少していますが、数十万年のタイムスケールで増加したり減少したりします。^[24]

より短い時間スケール（数千年）では、春分点と近日点の日付のシフトがより重要になります。前者は歳差運動によって引き起こされ、星と比較して春分点を後ろにずらします。しかし、現在の議論では無視できます。なぜなら、私たちのグレゴリオ暦は、春分の日を 3 月 20 日に保つように構成されているからです（少なくともここでの目的には十分な精度で）。近日点のシフトは前向きで、1 世紀あたり約 1.7 日です。1246 年には、近日点は 12 月 22 日、夏至の日に発生したため、2 つの寄与する波は共通のゼロ点を持ち、均時差曲線は対称的でした。『天文アルゴリズム』でMeeus は、2 月と 11 月の極値を 15 分 39 秒、5 月と 7 月の極値を 4 分 58 秒としています。それ以前は、2 月の最小値は 11 月の最大値よりも大きく、5 月の最大値は 7 月の最小値よりも大きかったです。実際、-1900年（紀元前1901年）以前の年には、5月の極大値は11月の極大値よりも大きかった。-2000年（紀元前2001年）には、5月の極大値は+12分2秒だったのに対し、11月の極大値は10分弱だった。現在の均時差グラフ（下記参照）と2000年前の均時差グラフ（例えばプトレマイオスのデータから作成されたグラフ）を比較すると、経年変化は明らかである。^[25]

グノモン(影を落とす物体) が端ではなく点 (たとえば、皿の穴) である場合、影 (または光の点) は 1 日の間に曲線を描きます。影が平面に投影される場合、この曲線は円錐曲線(通常は双曲線) になります。これは、太陽の運動の円とグノモンの点が円錐を定義するためです。春分と秋分の日には、円錐は平面に、双曲線は直線に縮退します。日ごとに異なる双曲線を使用して、各双曲線に時間マークを付け、必要な修正を加えることができます。残念ながら、各双曲線は 2 つの異なる日 (1 年の各半期に 1 日) に対応しており、この 2 日には異なる修正が必要になります。便利な妥協策は、「平均時間」の線を引き、1 年を通して正午の影の点の正確な位置を示す曲線を追加することです。この曲線は 8 の字の形になり、アナレマとして知られています。アナレンマを平均正午線と比較することで、その日に一般的に適用される補正量を決定できます。

均時差は日時計や類似の装置に関連して使用されるだけでなく、太陽エネルギーの多くの用途にも使用されます。太陽追跡装置やヘリオスタットなどの機械は均時差の影響を受ける方法で動作する必要があります。

常用時は、時間帯の中心付近を通過する子午線の平均時刻であり、夏時間によってさらに変更される可能性があります。特定の常用時に対応する見かけの太陽時を見つけるには、関心のある場所と時間帯の子午線との経度の差、夏時間、および均時差をすべて考慮する必要があります。^[26]

均時差は、公表された表またはグラフから得られます。過去の日付については、そのような表は過去の測定から、または計算によって作成されます。将来の日付については、もちろん、表は計算によってのみ作成できます。コンピュータ制御のヘリオスタットなどのデバイスでは、コンピュータが均時差を計算するようにプログラムされていることがよくあります。計算は数値的または解析的に行うことができます。前者は、すべての重要な重力および相対論的効果を含む運動の微分方程式の数値積分に基づいています。結果は 1 秒以上の精度で、現代の暦データの基礎となっています。後者は、太陽と地球の間の重力相互作用のみを含むソリューションに基づいており、前者よりも単純ですが、正確ではありません。小さな修正を加えることで精度を向上させることができます。

以下の議論では、天文学者によく知られている、かなり正確な（幅広い年数にわたって暦データと3秒以内で一致する）均時差アルゴリズムについて説明します。^{[27] : 89}また、計算機で簡単に評価できる簡単な近似式（長い時間間隔で1分以内の精度）を取得する方法を示し、この記事で以前に使用した現象の簡単な説明を提供します。

均時差の正確な定義は以下の通りである: ^{[28] : 1529}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GHA} -\mathrm {GMHA} }$

この式に現れる量は次のとおりです。

• EOT、見かけの太陽時と平均太陽時の差。
• GHA、見かけの（実際の）太陽のグリニッジ時間角。
• GMHA = 世界時 - オフセット、平均（架空の）太陽のグリニッジ平均時角。

ここで、時間と角度は、2 π ラジアン = 360° = 1 日 = 24 時間などの要素によって関連付けられる量です。GHA は測定可能な角度であり、世界時UT は時間の測定スケールであるため、差 EOT は測定可能です。UT は平均真夜中でゼロであるのに対し、GMHA は平均正午で = 0 であるため、UT からのπ = 180° = 12 時間のオフセットが必要です。世界時は平均真夜中で不連続であるため、連続量の時間t を形成するには、別の量である整数の日数Nが必要です。t = N + ⁠ユタ/24時間⁠日。GHA と GMHA は、他のすべての物理的な角度と同様に、それぞれの正午 (見かけの正午と平均正午) に数学的な不連続点がありますが、物理的な不連続点はありません。構成要素の数学的不連続性にもかかわらず、EOT は、GHA と GMHA の不連続点間の短い時間間隔で 24 時間を加算 (または減算) することにより、連続関数として定義されます。

天球上の角度の定義によれば、GHA = GAST − α（時角を参照）
となり、

• GASTはグリニッジの見かけの恒星時（見かけの春分点と赤道面の子午線の間の角度）である。これはUTの既知の関数である。 ^[29]
• α は見かけの太陽の赤経（見かけの春分点と赤道面における実際の太陽の間の角度）です

これを等時方程式に代入すると、

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\mathrm {GAST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

上記のGHAの式と同様に、GMHA = GAST − α _Mと書くことができます。最後の項は平均太陽の赤経です。この式は、多くの場合、^{[4] : 275  [30] : 45 のように表されます。}

${\displaystyle \mathrm {EOT} =\alpha _{M}-\alpha }$

ここで、α _M = GAST − UT + offset です。この定式化では、特定の時間値での EOT の測定または計算は、その時間での α の測定または計算に依存します。αと α M はどちらも、1年の_間に 0 時間から 24 時間まで変化します。前者は UT の値に依存する時間に不連続性を持ち、後者はそれより少し後の時間に不連続性を持ちます。結果として、このように計算すると、EOT には 2 つの人工的な不連続性があります。これらは両方とも、αの不連続性の後とα _Mの不連続性の前の短い時間間隔で EOT の値から 24 時間を減算することで除去できます。結果として得られる EOT は時間の連続関数です。

EOTと区別するために Eと表記される別の定義は、

${\displaystyle E=\mathrm {GMST} -\alpha -\mathrm {UT} +\mathrm {offset} }$

ここで、GMST = GAST − eqeqはグリニッジ平均恒星時（赤道面における平均春分点と平均太陽の間の角度）です。したがって、GMST は GAST の近似値であり（E はEOT の近似値です）、eqeq は春分点の式と呼ばれ、歳差運動を中心とした地球の自転軸の揺れ、つまり章動運動によって生じます。章動運動の振幅はわずか約 1.2 秒（経度 18 インチ）であるため、 1 秒未満の精度に関心がない限り、 EOT とEの差は無視できます。

3番目の定義は、 EOTやEと区別するためにΔtと表記され、現在はエフェメリス時刻の方程式と呼ばれています^{[28] ：1532  （現在EOT、} E、Δtが区別される前は、後者は時刻の方程式として知られていました）は

${\displaystyle \Delta t=\Lambda -\alpha }$

ここでΛは平均太陽の黄経（黄道面における平均春分点から平均太陽までの角度） です。

差Λ − (GMST − UT + オフセット)は、1960 年から 2040 年まで 1.3 秒です。したがって、この限られた年数の範囲では、Δ t はEOT の近似値となり、その誤差は春分点の式の経度補正に応じて 0.1 秒から 2.5 秒の範囲になります。日時計の補正など、多くの目的において、この精度は十分すぎるほどです。

赤経、つまり均時差は、ニュートンの天体運動の二体理論から計算できます。この理論では、天体 (地球と太陽) は共通の質量中心の周りを楕円軌道で回ります。この理論を使用すると、均時差は次のようになります。

${\displaystyle \Delta t=M+\lambda _{p}-\alpha }$

ここで出現する新しい角度は次のとおりです。

• M = ⁠2π( t − tp )_の/tY_​⁠は平均太陽角、つまり楕円軌道の近点から平均太陽までの角度です。その範囲は、 t がt _pからt _p + t _Yに増加するにつれて0 から 2 πになります。
• t _Y =365.259 6358日は、変則年 の長さ、つまり、近点の連続する 2 回の通過間の時間間隔です。
• λ _p = Λ − Mは近点の黄経である。
• tは理論上の独立変数である動的時間である。ここではUTに基づく連続時間（上記参照）と同一であるとみなされるが、より正確な計算（ EまたはEOT）ではそれらの間の小さな差を考慮する必要がある^{[28] : 1530  [29]}とともにUT1とUTCの区別も考慮する必要がある。
• t _{p は}近点におけるtの値です

計算を完了するには、さらに 3 つの角度が必要です。

• E、太陽の離心率異常（これはMとは異なることに注意）。
• ν、太陽の真の異常。
• λ = ν + λ _p、黄道上の太陽の真の経度。

これらの角度はすべて右の図に示されています。この図は、天球と地球から見た太陽の楕円軌道（太陽から見た地球の軌道と同じ）を示しています。この図で、εは傾斜角、e = √ 1 − ( b / a ) ^{2 は}楕円の 離心率です。

ここで0 ≤ M ≤ 2πの値が与えられれば、次のよく知られた手順でα ( M )を計算することができる: ^{[27] : 89}

まず、Mが与えられたら、ケプラーの方程式からEを計算します：^{[31] ：159}

${\displaystyle M=Ee\sin {E}}$

この方程式は閉じた形では正確に解くことはできないが、E ( M )の値は無限級数（べき乗または三角法）、グラフ法、数値法から得ることができる。あるいは、 e = 0、E = M、および反復法によって次の式が得られることに注意されたい。 ^{[32] : 2}

${\displaystyle E\approx M+e\sin {M}}$

この近似値は、 eが小さい場合は再度反復することで 改善できます。

${\displaystyle E\approx M+e\sin {M}+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin {2M}}$、

反復処理を続けると、 eのべき級数展開の次数の高い項が次々と生成されます。 eの値が小さい場合（1 よりはるかに小さい場合）、級数の 2 つまたは 3 つの項でEの良い近似値が得られます。 eが小さいほど、近似値は良くなります。

次に、Eがわかったら、楕円軌道関係^[31]から真の異常角 νを計算する^：165

${\displaystyle \nu =2\arctan \left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\tfrac {1}{2}}E\right)}$

多価関数arctan xの正しい分岐は、 ν _{E =0} = 0からν をE ( M )の連続関数にするものです。したがって、0 ≤ E < πの場合はarctan x = arctan xを使用し、π < E ≤ 2πの場合はarctan x = arctan x + πを使用します。 tanの引数が無限大になる特定の値E = πでは、ν = Eを使用します。ここでarctan x は主分岐であり、| arctan x | < ⁠π/2⁠ ; 計算機やコンピュータアプリケーションによって返される関数。あるいは、この関数はeのテイラー級数で表すこともできます。テイラー級数の最初の 3 つの項は次のとおりです。

${\displaystyle \nu \about E+e\sin {E}+{\frac {1}{4}}e^{2}\sin {2E}}$。

eが小さい場合、この近似値（または最初の 2 つの項だけ）は適切です。E ( M )の近似値とν ( E )の近似値を組み合わせると、次の式が得られます。

${\displaystyle \nu \approx M+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$。

ν ( M ) の関係は中心方程式と呼ばれ、ここで書かれた式はeの 2 次近似です。地球の軌道を特徴付けるeの値が小さい場合、これはν ( M )の非常に良い近似値を与えます。

次に、νがわかっているので、その定義から λを計算します。

${\displaystyle \lambda =\nu +\lambda _{p}}$

軌道は円形ではなく楕円形なので、λの値はMに対して非線形に変化します。νの近似値から：

${\displaystyle \lambda \approx M+\lambda _{p}+2e\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}}$。

最後に、λがわかれば、上に示した天球上の直角三角形の関係からαを計算することができる^{[33] ：22}

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)}$

αの象限はλの象限と同じであることに注意し、したがってλ を0 から 2 π の範囲に縮小して次のように書きます。

${\displaystyle \alpha =\arctan \left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }+k\pi \right)}$、

ここで、λ が第 1 象限にある場合はkは 0 、 λ が第 2 象限または第 3 象限にある場合は k は 1 、 λ が第 4 象限にある場合は k は 2 です。tan が無限大になる値の場合、α = λです。

αの近似値はνの場合と同様に切断テイラー級数から得ることができるが^{[34] : 32、 より効率的なのは次式[35] : 374}を使うことである。

${\displaystyle \alpha =\lambda -\arcsin \left(y\sin \left(\alpha +\lambda \right)\right)}$

ここでy = tan ² ( ⁠ε/2⁠ ) 。ε = y = 0、 α = λであり、2回反復する ことに注意してください

${\displaystyle \alpha \approx \lambda -y\sin {2\lambda }+{\frac {1}{2}}y^{2}\sin {4\lambda }}$。

時刻の均衡は、赤経計算の結果を時刻の均衡の式に代入することで得られます。ここでは、Δ t ( M ) = M + λ _p − α [ λ ( M )]が使用されています。これは、 Eの使用を正当化する小さな補正 (1 秒程度) が含まれていないためと、単純な解析式を得ることが目的であるためです。λ ( M )とα ( λ )の 2 項近似を使用すると、 Δ t を2 項の明示的な式として表すことができます。これは、 eとyの1 次近似であるため、Δ t _eyと指定されます。

1)分${\displaystyle \Delta t_{ey}=-2e\sin {M}+y\sin \left(2M+2\lambda _{p}\right)=-7.659\sin {M}+9.863\sin \left(2M+3.5932\right)}$

^{この式は、ミルン[35] : 375}によって最初に導かれ、λ = M + λ _pとして記述されました。ここで記述された数値は、軌道パラメータ値、e =0.016 709、ε =23.4393 ° =0.409 093 ラジアン、λ _p =282.9381 ° =4.938 201 ラジアンは、2000 年 1 月 1 日の正午UT1のエポックに対応します。上記のΔ t _eyの数値式を評価する場合、2 つ目の項の引数の2 λ _p − 2πの値はラジアンで書かれているため、正しい値を得るには計算機をラジアンモードにする必要があります。より高次の近似値も次のように書くことができます。^{[36] : 式 (45) および (46) ですが、必然的に項の数が多くなります。たとえば、} eとyの両方の 2 次近似値は 5 つの項で構成されます^{[28] : 1535}

2)${\displaystyle \Delta t_{e^{2}y^{2}}=\Delta t_{ey}-{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+4ey\sin {M}\cos \left(2M+2\lambda _{p}\right)-{\frac {1}{2}}y^{2}\sin \left(4M+4\lambda _{p}\right)}$

この近似は高い精度が得られる可能性があるが、幅広い年数にわたってこれを達成するためには、パラメータe、ε、およびλ p が時間とともに変化することを許容する必要がある。[27] : 86  [28] : 1531,1535 これにより、計算がさらに複雑になる。他の近似法も提案されており、例えば、中心の1次方程式を使用し、他の近似法は使用せずにαを決定するΔ t e [27] : 86  [37]や、中心の2次方程式を使用する Δ t e 2 [38]などである。

時間変数Mは、近日点を過ぎた日数n 、または特定の日付と時刻（エポック）を過ぎた日数 Dのいずれかで表すことができます。

3 )日日${\displaystyle M={\frac {2\pi}{t_{Y}}}n}$${\displaystyle =M_{D}+{\frac {2\pi}{t_{Y}}}D}$${\displaystyle =6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

4) ${\displaystyle M=6.240\,040\,77+0.017\,201\,97D}$

ここで、 M _{D は}選択した日時におけるMの値です。ここでラジアンで与えられた値のうち、 M _{D は}、2000 年 1 月 1 日正午 UT1 の時点における実際の太陽の測定値であり、D はその時点からの日数です。近点ではM = 2πなので、解くとD = D _p =となります。2.508 109。これにより、近点は 2000 年 1 月 4 日 00:11:41 になりますが、Multiyear Interactive Computer Almanac ^[39] (略称 MICA) の結果によると、実際の近点は 2000 年 1 月 3 日 05:17:30 です。この大きな食い違いは、2 つの場所の軌道半径の差が 100 万分の 1 しかないために発生します。言い換えると、半径は近点付近では時間の関数として非常に弱いということです。実際問題として、これはn を使用して特定の年の実際の近点日を追加することによって、時刻の方程式の高精度な結果を得ることができないことを意味します。ただし、 Dに関する定式化を使用することで、高精度を実現できます。

D > D _pの場合、Mは 2 πより大きくなり、 2 πの倍数（年によって異なる）を減算して 0 から 2 π の範囲に収める必要があります。同様に、2000 年より前の年については、 2 πの倍数を加算する必要があります。たとえば、2010 年の場合、D は次のように変化します。3653年1月1日正午から12月31日正午の4017。対応するM値は69.078 9468と75.340 4748であり、それぞれ 10 と 11 を 2 π倍して減算すると、 0 から 2 πの範囲に縮小されます。

次のように書くこともできます。

5) D = n _Y + d

どこ：

• n _Y = 紀元から希望する年の1月1日の正午までの日数
• 0 ≤ d ≤ 364 (計算が閏年の場合は 365)。

2000 年以降の方程式は、1)、4)、5) から 2 つの項の合計として表され、次のようになります。

${\displaystyle a=-7.659\sin(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))}$

${\displaystyle b=9.863\sin \left(2(6.240\,040\,77+0.017\,201\,97(365.25(y-2000)+d))+3.5932\right)}$

6) [分] ${\displaystyle \Delta t_{ey}=a+b}$

プレーンテキスト形式:

7) EoT = -7.659sin(6.24004077 + 0.01720197(365*(y-2000) + d)) + 9.863sin( 2 (6.24004077 + 0.01720197 (365*(y-2000) + d)) + 3.5932 ) [分]

項「a」は離心の寄与を表し、項「b」は傾斜の寄与を表します。

計算結果は通常、表形式の値のセット、またはdの関数としての等時性のグラフのいずれかで示されます。 Δ t、Δ t _ey 、および MICA の結果の 2000 年のすべてのプロットの比較が図に示されています。Δ t _eyのプロットはMICA によって生成された結果に近いことがわかり、絶対誤差Err = | Δ t _ey − MICA2000 |は年間を通じて 1 分未満です。最大値は 43.2 秒で、276 日目 (10 月 3 日) に発生します。Δ tのプロットはMICA の結果と区別がつかず、2 つの間の最大絶対誤差は 324 日目 (11 月 20 日) の 2.46 秒です。

関数の連続性に関する逆正接関係の適切な分岐を選択するには、逆正接関数の修正バージョンが役立ちます。これは、パラメータによる期待値に関する事前の知識を取り入れます。修正された逆正接関数は次のように定義されます。

${\displaystyle \arctan _{\eta }x=\arctan x+\pi \operatorname {round} {\left({\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}\right)}}$。

ηに可能な限り近い値を生成します。関数roundは最も近い整数に丸めます。

これを適用すると次のようになります。

${\displaystyle \Delta t(M)=M+\lambda _{p}-\arctan _{M+\lambda _{p}}\left(\cos {\varepsilon }\tan {\lambda }\right)}$。

ここで、パラメータM + λ _{p は}、 Δ t を目的の値であるゼロに最も近い値に 設定するように調整します。

MICA とΔ t の結果の差は、1960 年から 2040 年まで 5 年ごとに確認されました。すべての場合において、最大絶対誤差は 3 秒未満でした。最大の差は 1965 年 5 月 22 日 (141 日目) に 2.91 秒発生しました。ただし、この年数の範囲でこのレベルの精度を達成するには、軌道パラメータの経年変化を考慮する必要があります。この変化を表す式は次のとおりです。^{[27] : 86  [28] : 1531,1535}

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=1.6709\times 10^{-2}-4.193\times 10^{-5}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-1.26\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36525}}\right)^{2}\\\varepsilon &=23.4393-0.013\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-2\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}+5\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{3}{\mbox{ degrees}}\\\lambda _{\mathrm {p} }&=282.938\,07+1.7195\left({\frac {D}{36\,525}}\right)+3.025\times 10^{-4}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}{\mbox{ degrees}}\end{aligned}}}$

これらの関係によれば、100年後（D  = 36 525）、λ _{p は}約 0.5%（1.7°）増加し、e は約 0.25% 減少し、ε は約 0.05% 減少します。

その結果、広範囲の時間にわたって方程式の高次近似値の本来の精度を達成したい場合、その計算回数はコンピュータで完了する必要があります。この場合、コンピュータを使用してΔ t を評価することは、その近似値を評価することと同じくらい困難です。

これらすべてにおいて、上で述べたΔ t _{ey は}計算機を使っても簡単に評価でき、日時計を補正するのに十分な精度 (80 年間の範囲で 1 分未満) があり、この記事で以前に使用した傾斜角と離心率による 2 つの項の合計として物理的にうまく説明できることに留意してください。これは、Mの関数として考えられたΔ tにも、その高次の近似値にも当てはまりません。

均時差を計算する別の手順は、次のとおりです。^[37]角度は度単位で表され、従来の演算順序が適用されます。

n = ⁠360°/365.24日、⁠

ここで、n は地球の平均角軌道速度（度/日）であり、別名「平均日運動」です。

${\displaystyle A=\left(D+9\right)n}$

ここで、D は1 月 1 日の 1 から始まる日数で数えた日付です (つまり、年内の序数の日数部分)。9 は 12 月の至点から 12 月 31 日までのおおよその日数です。Aは12 月の至点からD日までの期間に地球が平均速度で公転軌道上を移動する角度です。

${\displaystyle B=A+0.0167\cdot {\frac {360^{\circ }}{\pi }}\sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$

B は、地球が至点から日付Dまで移動する角度で、地球の軌道離心率0.0167 の一次補正を含みます。数字の 3 は、12 月 31 日から地球の近日点の現在の日付までのおおよその日数です。このBの式は、定数を組み合わせることで次のように簡略化できます。

${\displaystyle B=A+1.914^{\circ }\cdot \sin \left(\left(D-3\right)n\right)}$。

${\displaystyle C={\frac {A-\arctan {\frac {\tan B}{\cos 23.44^{\circ }}}}{180^{\circ }}}}$

ここで、C は平均速度で移動した角度と、赤道面に投影された補正速度での角度との差であり、これを 180° で割って「半回転」の差を求めます。値 23.44° は地球の軸の傾き (「黄道傾斜」)です。減算により、等時性の慣例的な符号が得られます。任意のx値に対して、arctan x ( tan ⁻¹ xと表記されることもあります) には複数の値があり、それぞれが半回転の整数倍だけ異なります。計算機またはコンピューターによって生成された値は、この計算に適切でない可能性があります。このため、C が半回転の整数倍だけ間違っている可能性があります。余分な半回転は、計算の次のステップで削除され、等時性が得られます。

${\displaystyle \mathrm {EOT} =720\left(C-\operatorname {nint} {C}\right)}$ 分

nint( C )という式は、 Cに最も近い整数を意味します。コンピュータでは、たとえばINT(C + 0.5)のようにプログラムできます。その値は、年によって 0、1、または 2 になります。これを減算すると、半回転の正または負の小数点数が残ります。これに、地球が太陽に対して半回転するのにかかる分数 (12 時間) である 720 を掛けると、均時差が得られます。

公表されている値と比較すると、^[8]この計算の二乗平均平方根誤差はわずか3.7秒です。最大誤差は6.0秒です。これは上記の近似値よりもはるかに正確ですが、精巧な計算ほど正確ではありません。

上記の計算におけるBの値は太陽の黄道経度（90° シフト）の正確な値であるため、太陽の赤緯δ は簡単に入手できます。

${\displaystyle \delta =-\arcsin \left(\sin 23.44^{\circ }\cdot \cos B\right)}$

これは 1 度未満の精度です。

• 方位角 – 北または他の基準となる方位からの水平角
• ミランコビッチ サイクル – 地球の気候サイクル

• NOAA ソーラー計算機
• 「USNOデータサービス」。2014年5月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。（太陽やその他の天体の昇り/沈み/通過時間を含む）
• ロイヤルグリニッジ天文台のウェブサイトに記載されている均時差
• 均時差とアナレンマ、キエロン・テイラー著
• Brian Tung 氏の記事には、ほとんどのものよりも正確な式 (特に傾斜角と離心率が高い場合) を使用する C プログラムへのリンクが含まれています。このプログラムは、太陽の赤緯、均時差、またはアナレンマを計算できます。
• プトレマイオスの地球中心惑星モデルを使用して計算を行い、ETグラフについて議論する
• ジョン・トッピング作 均時差表示ロングケース時計 1720年頃
• 均時差補正表 時計を日時計に補正する方法を説明するページ
• 太陽温度計: 均時差を含む太陽時間を計算します