歪エルミート行列

線形代数において、複素数成分を持つ正方行列は、その共役転置行列が元の行列の負である場合、歪エルミート行列または反エルミート行列であると言われる。 ^{[ 1 ]}つまり、行列は${\displaystyle A}$が次の関係を満たす場合、それは歪エルミートである。

どこ${\displaystyle A^{\textsf {H}}}$は行列の共役転置を表す。${\displaystyle A}$構成要素の形で表すと、これは次のことを意味します。

すべてのインデックスについて${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$、 どこ${\displaystyle a_{ij}}$は${\displaystyle i}$-行目と${\displaystyle j}$の 番目の列${\displaystyle A}$、上線は複素共役を表します。

歪エルミート行列は、実数の歪対称行列の複素数版、あるいは純虚数の行列版として理解できる。 ^{[ 2 ]} すべての歪エルミート行列の集合${\displaystyle n\times n}$行列は${\displaystyle u(n)}$リー代数は、リー群U( n )に対応します。この概念は、半双線形ノルムを持つ任意の複素ベクトル空間の線形変換を含むように一般化できます。

演算子の随伴演算子は、考慮されるスカラー積に依存することに注意してください。${\displaystyle n}$次元複合体または実空間${\displaystyle K^{n}}$。 もし${\displaystyle (\cdot \mid \cdot )}$は、 のスカラー積を表します。${\displaystyle K^{n}}$そして、${\displaystyle A}$歪随伴とは、すべての${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}}$1つは${\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )}$。

虚数は歪随伴数と考えることができる（なぜなら虚数は${\displaystyle 1\times 1}$行列）に対応する一方、実数は自己共役演算子に対応する。

例えば、次の行列は歪エルミート行列である。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}$$ なぜなら $${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}$$

• 歪エルミート行列の固有値はすべて純虚数（場合によってはゼロ）です。さらに、歪エルミート行列は正規行列です。したがって、それらは対角化可能であり、異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交しなければなりません。^{[ 3 ]}
• 歪エルミート行列の主対角線上のすべての要素は純虚数でなければなりません。つまり、虚軸上にある必要があります（ゼロも純虚数とみなされます）。^{[ 4 ]}
• もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$が歪エルミートである場合、${\displaystyle aA+bB}$は、すべての実数スカラーに対して歪エルミート行列である${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$[ ^{5 ]​}
• ${\displaystyle A}$が歪エルミートであるのは、${\displaystyle iA}$（または同等に、${\displaystyle -iA}$) はエルミート行列である。^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle A}$が歪エルミートであるのは、実部が${\displaystyle \Re {(A)}}$は歪対称であり、虚数部は${\displaystyle \Im {(A)}}$対称です。
• もし${\displaystyle A}$は歪エルミート行列である。${\displaystyle A^{k}}$エルミートである場合${\displaystyle k}$は偶数であり、かつ歪エルミートである場合${\displaystyle k}$は奇数です。
• ${\displaystyle A}$が歪エルミートであるのは、${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-{\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}}$すべてのベクトルについて${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$。
• もし${\displaystyle A}$が歪エルミート行列である場合、行列指数関数${\displaystyle e^{A}}$単一である。
• 歪エルミート行列の空間はリー代数を形成する。${\displaystyle u(n)}$嘘グループの${\displaystyle U(n)}$。

• 正方行列とその共役転置行列の和${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$エルミート行列である。
• 正方行列とその共役転置行列の差${\displaystyle \left(AA^{\mathsf {H}}\right)}$は歪エルミート行列である。これは、 2つのエルミート行列の交換子が歪エルミート行列であることを意味する。
• 任意の正方行列${\displaystyle C}$エルミート行列の和として表すことができる${\displaystyle A}$歪エルミート行列${\displaystyle B}$:$${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{ただし}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{および}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(CC^{\mathsf {H}}\right)}$$

• 双ベクトル（複合）
• エルミート行列
• 正規行列
• 歪対称行列
• ユニタリ行列

• ホーン、ロジャー A.、ジョンソン、チャールズ R. (1985)、『行列解析』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6。
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8。