ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式

数学において、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は、リー群のリー代数における おそらく非可換なXおよびYについて方程式 を解く の値を与えます。この公式の書き方は様々ですが、いずれの場合も最終的には をリー代数用語で、つまり および における形式的な級数（必ずしも収束するとは限りません）とその反復交換子として表すことになります。この級数の最初の数項は次のとおりです。 ここで、「 」は、およびの高次の交換子を含む項を示します。およびがリー群 のリー代数の十分に小さい要素である場合、級数は収束します。一方、 の恒等式に十分近いすべての要素は、の小さい についてと表すことができます。したがって、 の恒等式の近くでは、の群乗法（ と表記）は純粋にリー代数的な用語で表すことができると言えます。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は、リー群とリー代数との対応における深い結果の比較的簡単な証明を与えるために使用できます。 ${\displaystyle Z}$$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$$ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots \,,}$$${\displaystyle \cdots}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g=e^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

および が十分に小さい行列である場合、 はの対数として計算できます。ここで、指数と対数は、べき級数 として計算できます。Baker-Campbell-Hausdorff の公式のポイントは、との繰り返し交換子の級数として表現できるという、非常に非自明な主張です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle e^{X}e^{Y}}$${\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

^{この式の現代的な解説は、ロスマン[1]}やホール^[2]の本などにも記載されています。

この公式は、解を表現するのに必要なのは交換子と交換子の交換子、無限個だけであるという定性的形式を述べたヘンリー・フレデリック・ベイカー、ジョン・エドワード・キャンベル、フェリックス・ハウスドルフにちなんで名付けられました。この形式のより初期の記述は、1890年にフリードリヒ・シューアによって概略化されました^[3]。そこでは、項が再帰的に定義された、収束するべき級数が与えられています。 ^{[4]この定性的形式は、比較的アクセスしやすい}リー対応の証明や量子場の理論など、最も重要な応用で使用されています。シューアに続いて、キャンベル^[5] (1897)によって印刷物で言及され、アンリ・ポアンカレ^[6] (1899) とベイカー (1902) によって詳述され、^{[7]ハウスドルフ (1906) によって幾何学的に体系化され、}ヤコビ恒等式と結び付けられました。^[8]すべての数値係数を含む最初の実際の明示的な式は、ユージン・ディンキン（1947）によるものです。^{[9]この式の歴史は、アキレスとボンフィグリオーリの論文[10]}とボンフィグリオーリとフルチの本^[11]で詳しく説明されています。

多くの目的において、との反復交換子によるの展開が存在することだけを知っていれば十分です。正確な係数は多くの場合無関係です。(例えば、ホールの著書^[2]のセクション 5.2 にあるリー群とリー代数準同型の関係に関する議論を参照してください。ここでは正確な係数は議論において何の役割も果たしません。) 驚くほど直接的な存在証明はマーティン アイヒラー^[12]によって与えられました。以下の「存在結果」のセクションも参照してください。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

その他の場合には、 についての詳細な情報が必要になる可能性があり、そのため、できるだけ明示的に計算することが望ましいです。 多数の公式が存在しますが、このセクションでは、主要な公式のうち 2 つ (ディンキンの公式とポアンカレの積分公式) について説明します。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

G をリー代数 を持つリー群とする。 を指数写像 とする。次の一般的な組合せ論的公式はユージン・ディンキン(1947) ^{[13] [14]}によって導入された。ここで、和はおよび のすべての非負値に対して実行され、次の表記法が使用されている。 ただし、[ X ] := Xである。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$$ $${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{\left(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}$$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$$${\displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]]}$$

この級数は一般には収束しないが、十分に小さいおよびに対しては収束する（そして述べられた式は有効である） 。 [ A , A ] = 0なので、およびの場合には項はゼロになる。^[15]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle s_{n}>1}$${\displaystyle s_{n}=0}$${\displaystyle r_{n}>1}$

最初の数項はよく知られており、すべての高次の項には[ X、Y ]とその交換子ネストが含まれます（したがって、リー代数では次のようになります）。

上記は、6 次以下のすべての加数 (つまり、6 個以下のXとYを含むもの) をリストしています。展開の交互の順序におけるX ↔ Y (反)/対称性は、 Z ( Y、X ) = − Z (− X、 − Y )から得られます。この公式の完全な初等的証明は、指数写像の微分に関する記事に記載されています。

には他にも数多くの表現があり、その多くは物理学の文献で使用されています。^{[16] [17]}よく使われる積分公式は^{[18] [19]で、これは}ベルヌーイ数 の生成関数 を含み、 ポアンカレとハウスドルフによって利用されました。^{[nb 1]}${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\operatorname {ad} _{Y}}\right)dt\right)Y,}$$$${\displaystyle \psi (x)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {x\log x}{x-1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(1-x)^{n} \over n(n+1)}~,}$$

行列リー群の場合、リー代数は恒等写像Iの接空間であり、交換子は単純に[ X , Y ] = XY − YXである。指数写像は行列の標準的な指数写像である。 ${\displaystyle G\subset {\mbox{GL}}(n,\mathbb {R} )}$$${\displaystyle \exp X=e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$$

expとlogの 級数展開を使ってZ を解くと、より簡単な式が得られます。 ^{[注 2]} 1次、2次、3次、4次の項は次のとおりです。 $${\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y},}$$$${\displaystyle Z=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1\leq i\leq n}}{\frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}},\quad \|X\|+\|Y\|<\log 2,\|Z\|<\log 2.}$$

• $${\displaystyle z_{1}=X+Y}$$
• $${\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}(XY-YX)}$$
• $${\displaystyle z_{3}={\frac {1}{12}}\left(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXY\right)}$$
• $${\displaystyle z_{4}={\frac {1}{24}}\left(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYX\right).}$$

さまざまな の式は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式ではありません。むしろ、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は、 との繰り返し交換子を用いた のさまざまな表現の 1 つです。重要なのは、それぞれを交換子で表現できることは、決して自明ではないということです。(たとえば、直接計算によって がとの 2 つの非自明な 3 次交換子、つまりと の線形結合として表現可能であることを確認することをお勧めします。) それぞれが交換子の組み合わせとして表現可能であるという一般的な結果は、アイヒラーによってエレガントで再帰的な方法で示されました。^[12]${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle z_{3}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle [X,[X,Y]]}$${\displaystyle [Y,[X,Y]]}$${\displaystyle z_{j}}$

ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の結果として、トレースに関する次の結果が生まれます。 つまり、の各項は交換子の線形結合として表現できるため、そのような各項のトレースはゼロになります。 $${\displaystyle \operatorname {tr} \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\operatorname {tr} X+\operatorname {tr} Y.}$$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle j\geq 2}$

およびがリー代数（トレースがゼロである行列 の空間）における次の行列であると仮定します。 すると 、となる行列が存在しないことを 示すのは難しくありません^[20]。（同様の例はWeiの論文にあります。^[21]） ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle 2\times 2}$$${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&i\pi \\i\pi &0\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle e^{X}e^{Y}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

この単純な例は、 ZをXとYの反復リー括弧で表現するベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式のさまざまなバージョンが、収束が保証されていない形式的な冪級数を記述することを示しています。したがって、 Z をXとY を含むリー代数の実際の要素（形式的な冪級数ではなく）にしたい場合は、XとYが小さいと仮定する必要があります。したがって、リー群上の積演算がリー代数によって決定されるという結論は、局所的なステートメントにすぎません。実際、結果はグローバルにはなり得ません。なぜなら、グローバルには同型リー代数を持つ非同型リー群が存在する可能性があるからです。

具体的には、行列リー代数と与えられた部分乗法行列ノルムを扱う場合、収束は 保証される^{[14] [22]}${\displaystyle \|\cdot \|}$$${\displaystyle \|X\|+\|Y\|<{\frac {\ln 2}{2}}.}$$

と が可換である場合、つまり である場合、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は に簡約されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle [X,Y]=0}$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

別のケースでは、冪零ハイゼンベルク群の場合と同様に、 が および と可換であると仮定します。この場合、式は最初の 3 つの項に簡約されます。 ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

これは量子力学で日常的に用いられる退化したケースで、以下に示すように、分離定理と呼ばれることもある。^[24]この場合、およびには小ささの制限はない。この結果は、ストーン・フォン・ノイマン定理に組み込まれる「指数交換関係」の背後にある。この恒等式の簡単な証明を以下に示す。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

一般式のもう 1 つの便利な形式は、 Yによる展開を強調し、上記の積分式から明らかな随伴マッピング表記: を使用します 。(単一のネストされた交換子の係数は、正規化されたベルヌーイ数です。) ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y]}$$${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=X+{\frac {\operatorname {ad} _{X}}{1-e^{-\operatorname {ad} _{X}}}}~Y+O\left(Y^{2}\right)=X+\operatorname {ad} _{X/2}(1+\coth \operatorname {ad} _{X/2})~Y+O\left(Y^{2}\right),}$$${\displaystyle Y}$

ここで、交換子が の倍数で、 であると仮定します。すると、すべての反復交換子は の倍数になり、 の 2 次以上の項は現れません。したがって、上記の項は消え、次式が得られます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle [X,Y]=sY}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle O\left(Y^{2}\right)}$

この場合も、とに小ささの制限はありません。 に対する制限により、右辺の式が意味を成すことが保証されます。 (と解釈できる場合) また、単純な「編み込み恒等式」も得られます。 これは、随伴拡大として記述できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s=0}$${\textstyle \lim _{s\to 0}s/(1-e^{-s})=1}$$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{\exp(s)Y}e^{X},}$$$${\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{\exp(s)\,Y}.}$$

と が行列である場合、指数と対数のべき級数を使用して を計算することができ、と が十分に小さい場合、級数は収束します。 と の全次数が固定数に等しいすべての項を集めて、式 を与えるのは自然です。( の最初のいくつかの の公式については、上記の「行列リー群の図解」のセクションを参照してください。) それぞれがと の繰り返し交換子で表現可能であるという、驚くほど直接的で簡潔な再帰的証明は、マーティン・アイヒラーによって与えられました。^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

あるいは、存在の議論を次のように与えることもできます。 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は、XとY がまたは のような特性 0の任意の体上で定義されたリー代数 内にある場合、 は の元の無限和として形式的に記述できることを意味します。[この無限級数は収束する場合も収束しない場合もあるため、の実際の元Zを定義する必要はありません。] 多くのアプリケーションでは、この形式表現の存在が保証されるだけで十分であり、この無限和の明示的な表現は必要ありません。これは、たとえば、リー代数表現からリー群表現を構築するローレンツ^[26]の場合です。存在は次のように見ることができます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle Z=\log(\exp(X)\exp(Y)),}$$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

非可換変数XとYに実係数を持つすべての非可換形式冪級数の環について考える。 SからSとR上のSのテンソル積への環準同型があり、 これは余積と 呼ばれ、かつとなる （ Δ の定義は、R線型性、乗法的性質、無限加法性を要求してSの他の要素に拡張される。） ${\displaystyle S=\mathbb {R} [[X,Y]]}$$${\displaystyle \Delta \colon S\to S\otimes S,}$$$${\displaystyle \Delta (X)=X\otimes 1+1\otimes X}$$$${\displaystyle \Delta (Y)=Y\otimes 1+1\otimes Y.}$$

次に、次のプロパティを確認します。

• 標準テイラー級数によって定義される写像expは、定数項 0 を持つSの要素の集合と定数項 1 を持つSの要素の集合との間の一対一写像である。 exp の逆写像は log
• ${\displaystyle r=\exp(s)}$sがプリミティブである場合(つまり) 、かつその場合に限り、は群的である(つまり)。${\displaystyle \Delta (r)=r\otimes r}$ ${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes 1+1\otimes s}$
• 群のような要素は乗算によって群を形成します。
• 原始元は、XとYによって生成されるリー代数の元の形式的な無限和とまったく同じであり、リー括弧は交換子によって与えられる。（フリードリヒの定理^{[16] [13]}） ${\displaystyle [U,V]=UV-VU}$

キャンベル・ベイカー・ハウスドルフの公式の存在は、次のようにしてわかる。^[13] 元XとYは原始的であるため、と は群状である。したがって、それらの積も群状である。したがって、その対数は原始的である。したがって、はXとYによって生成されるリー代数の元の無限和として表すことができる。 ${\displaystyle \exp(X)}$${\displaystyle \exp(Y)}$${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)}$${\displaystyle \log(\exp(X)\exp(Y))}$

XとYによって生成される自由リー代数の普遍包絡代数は、XとYのすべての非可換多項式の代数と同型です。すべての普遍包絡代数と同様に、これは余積Δを持つホップ代数の自然な構造を持ちます。上で使用した環S は、このホップ代数の完成版にすぎません。

^{関連する組合せ展開は、双対[16]の}応用 で有用であり、t の高次の指数も同様にネストされた交換子、すなわち同次リー多項式である。^[27] これらの指数、C _n in exp(− tX ) exp( t ( X+Y )) = Π _n exp( t ⁿ C _n )は、上記のBCH展開を適用することによって再帰的に従う。 $${\displaystyle e^{t(X+Y)}=e^{tX}~e^{tY}~e^{-{\frac {t^{2}}{2}}[X,Y]}~e^{{\frac {t^{3}}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~e^{{\frac {-t^{4}}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots }$$

この結果として、鈴木-トロッター分解が続きます。

次の恒等式 (Campbell 1897) は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式の特殊なケースにつながります。Gを行列リー群、g をそれに対応するリー代数とします。ad _{X を}、ある固定されたX ∈ g に対してad _X Y = [ X , Y ] = XY − YXで定義されるg上の線型演算子とします。(上で遭遇した随伴自己準同型)。A ∈ Gを固定したAd _Aで、Ad _A Y = AYA ⁻¹で与えられるgの線型変換を表します。

上記の明示的な展開を生成するために利用される標準的な組み合わせ論的補題^[18]は[28]で与えられる。

これは量子力学におけるユニタリ変換を行うためによく使われる特に便利な式です。反復交換子を定義することで、 この式をより簡潔に次のように書くことができます。 $${\displaystyle [(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,}$$$${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}}.}$$

[ X , Y ]が中心、つまりXとY の両方と可換である場合、 したがって、g ( s ) ≡ e ^sX e ^sYに対して、 その解 が となり、 これは上記のベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の特殊なケースの1つを与えます。 $${\displaystyle e^{sX}Ye^{-sX}=Y+s[X,Y]~.}$$ $${\displaystyle {\frac {dg}{ds}}={\Bigl (}X+e^{sX}Ye^{-sX}{\Bigr )}g(s)=(X+Y+s[X,Y])~g(s)~,}$$$${\displaystyle g(s)=e^{s(X+Y)+{\frac {s^{2}}{2}}[X,Y]}~.}$$${\displaystyle s=1}$$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}~.}$$

より一般的には、非中心[ X , Y ]に対して、 次の編組恒等式として表されることができます。 ${\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{e^{X}Ye^{-X}}=e^{e^{{\text{ad}}_{X}}Y},}$$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{(Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots )}~e^{X}.}$$

上記の特に便利な変形は無限小形式です。これは通常、次のように記述されます。 この変形は、座標とビエルバインをリー群上の計量の引き戻しとして記述するためによく使用されます。 $${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$$

たとえば、いくつかの関数とリー代数の 基底について記述すると、リー代数の 構造定数 について簡単に計算できます。${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$${\displaystyle X^{i}}$${\displaystyle e_{i}}$$${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots ,}$$${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

この級数は、無限級数の 場合と同様に、より簡潔に記述することができます (メイン記事を参照)。 ここで、M は、行列要素が である行列です。 $${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j},}$$$${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$$${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$

この表現の有用性は、行列M がヴィールバインであるという事実から来ています。したがって、ある多様体Nからある多様体Gへの写像が与えられた場合、多様体N上の計量テンソルは、 リー群G上の計量テンソルの引き戻しとして記述できます。リー群上の 計量テンソルは、カルタン計量、キリング形式です。Nが（擬）リーマン多様体の場合、計量は（擬）リーマン計量です。 ${\displaystyle N\to G}$${\displaystyle B_{mn}}$$${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}{W_{j}}^{n}B_{mn}.}$$${\displaystyle B_{mn}}$

ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の特殊なケースは量子力学、特に量子光学で有用である。ここで、XとY はヒルベルト空間演算子であり、ハイゼンベルクのリー代数を生成する。具体的には、量子力学における位置演算子と運動量演算子は通常、および と表記され、標準的な交換関係を満たす。 ここで、 は恒等演算子である。従って、と はそれらの交換子と交換可能である。したがって、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の特殊なケースを正式に適用すると (と は非有界演算子であり行列ではないが)、次の結論が導かれる。 この「指数交換関係」は確かに成り立ち、ストーン・フォン・ノイマンの定理の基礎を形成する。さらに、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle [X,P]=i\hbar I}$$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle e^{iaX}e^{ibP}=e^{i\left(aX+bP-{\frac {ab\hbar }{2}}\right)}.}$$${\displaystyle e^{i(aX+bP)}=e^{iaX/2}e^{ibP}e^{iaX/2}.}$

関連する応用として、消滅演算子 â および生成演算子 â † があります。これらの交換子^[ â † , ^â ] = − Iは中心的です。つまり、âおよびâ ^{† の}両方と交換されます。上で示したように、展開は半自明な退化形式に縮小します。 ここで、vは単なる複素数です。 $${\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}=e^{v{\hat {a}}^{\dagger }}e^{-v^{*}{\hat {a}}}e^{-|v|^{2}/2},}$$