3次元における回転形式

幾何学では、3次元の回転を数学的変換として表現するさまざまな形式論が存在します。物理学では、この概念は古典力学に適用され、回転（または角）運動学は純粋な回転運動を定量的に記述する科学です。特定の瞬間の物体の向きは、空間内の前の配置からの実際に観測された回転ではなく、空間内の基準配置からの想像上の回転として定義されるため、同じツールで記述されます。

オイラーの回転定理によれば、剛体（または固定原点を持つ3 次元座標系）の回転は、ある軸の周りの単一の回転によって記述されます。このような回転は、少なくとも 3 つの実パラメータによって一意に記述できます。ただし、さまざまな理由により、回転を表現する方法は複数あります。これらの表現の多くは、必要最小限の 3 つのパラメータよりも多くのパラメータを使用しますが、それぞれの自由度は3 つだけです。

回転表現が使用される例としては、自動化された観測者がターゲットを追跡する必要があるコンピューター ビジョンが挙げられます。3 つの直交単位ベクトル(オブジェクトのローカル座標系の 3 つの軸を表す) が本体に固定された剛体を考えます。基本的な問題は、空間内の基準配置と見なされる観測者の座標系に対する、これら 3 つの単位ベクトル、つまり剛体の方向を指定することです。

回転形式は、回転が参照する1 つの固定点を持つユークリッド空間の適切な (方向保存) 運動に焦点を当てています。固定点を持つ物理的な運動は重要なケースですが (質量中心フレームで記述される運動や関節の運動など)、このアプローチによりすべての運動に関する知識が得られます。ユークリッド空間の適切な運動は、原点の周りの回転と平行移動に分解されます。それらの合成順序がどうであれ、「純粋な」回転成分は変化せず、完全な運動によって一意に決定されます。

「純粋な」回転は、対応するアフィン空間の点の写像としてではなく、ユークリッド構造を備えたベクトル空間の線形写像として理解することもできます。言い換えると、回転形式は、3 つの自由度を含む運動の回転部分のみを捉え、別の 3 つの自由度を含む並進部分は無視します。

コンピュータで回転を数値として表現する場合、オイラー回転で発生する可能性のあるジンバルロックを回避するため、四元数表現または軸+角度表現を好む人もいます。 ^[1]

前述の単位ベクトルの 3 つ組は基底とも呼ばれます。この基底のベクトルの座標(成分) を現在の (回転した) 位置で、基準 (回転していない) 座標軸に関して指定すると、回転が完全に記述されます。回転した基底を形成する 3 つの単位ベクトルû、v̂、ŵはそれぞれ 3 つの座標で構成され、合計 9 つのパラメーターが生成されます。

これらのパラメータは、回転行列と呼ばれる3×3行列Aの要素として表すことができます。通常、これらのベクトルの座標は行列の列に沿って配置されます（ただし、回転行列の別の定義が存在し、広く使用されていることに注意してください。この定義では、上で定義されたベクトルの座標が行ごとに配置されます^[2]）。 $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {u} }}_{x}&{\hat {\mathbf {v} }}_{x}&{\hat {\mathbf {w} }}_{x}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{y}&{\hat {\mathbf {v} }}_{y}&{\hat {\mathbf {w} }}_{y}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{z}&{\hat {\mathbf {v} } }_{z}&{\hat {\mathbf {w} }}_{z}\\\end{bmatrix}}}$$

回転行列の要素はすべて独立しているわけではありません。オイラーの回転定理によれば、回転行列には自由度が 3 つしかありません。

回転行列には次の特性があります。

• A は実数の直交行列なので、その各行または各列は単位ベクトルを表します。
• Aの固有値は、 iがi ² = −1の性質を持つ標準虚数単位である。$${\displaystyle \left\{1,e^{\pm i\theta }\right\}=\{1,\ \cos \theta +i\sin \theta ,\ \cos \theta -i\sin \theta \}}$$
• Aの行列式は+1 であり、その固有値の積に相当します。
• Aのトレースは1 + 2 cos θであり、その固有値の合計に相当します。

固有値式に現れる角度θ は、オイラー軸の角度と角度表現に対応します。固有値 1 に対応する固有ベクトルは、付随するオイラー軸です。これは、軸が回転行列で左乗算 (回転) しても変化しない唯一の (非ゼロの) ベクトルであるためです。

上記の特性は と同等であり 、これは( û、v̂、ŵ )が3D正規直交基底を形成すること を別の方法で表したものです。これらのステートメントは合計 6 つの条件 (外積には 3 つが含まれます) で構成され、回転行列には必要に応じて 3 つの自由度だけが残ります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|{\hat {\mathbf {u} }}|=|{\hat {\mathbf {v} }}|=|{\hat {\mathbf {w} }}| &=1\\{\hat {\mathbf {u} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}&=0\\{\hat {\mathbf {u} }}\times {\hat {\mathbf {v} }}&={\hat {\mathbf {w} }}\,,\end{aligned}}}$$

行列A ₁とA ₂で表される 2 つの連続する回転は、グループの要素として簡単に組み合わせることができます (回転するベクトルは右から乗算されるため、順序に注意してください)。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{total}}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}}$$

回転行列を使用するとベクトルを簡単に回転でき、連続した回転を簡単に組み合わせることができるため、回転行列は他の表現よりも簡潔ではありませんが、回転を表現する便利で一般的な方法となっています。

オイラーの回転定理から、あらゆる回転は、ある軸を中心とした単一の回転として表現できることがわかります。軸は、回転によって変化しない単位ベクトル (符号以外は一意) です。角度の大きさも一意で、その符号は回転軸の符号によって決まります。

軸は3次元の単位ベクトル として表すことができ 、角度はスカラーθで表すことができます。 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$

軸は正規化されているため、自由度は2 つしかありません。角度により、この回転表現に 3 番目の自由度が追加されます。

回転を回転ベクトル、またはオイラーベクトルとして表現したい場合がある。オイラーベクトルは、方向が軸を指定し、長さがθである正規化されていない3次元ベクトルである。 $${\displaystyle \mathbf {r} =\theta {\hat {\mathbf {e} }}\,.}$$

回転ベクトルは、3 つの自由度を表す 3 つのスカラー値 (その成分)のみで 3 次元回転を表すため、状況によっては便利です。これは、3 つのオイラー角のシーケンスに基づく表現にも当てはまります (以下を参照)。

回転角度θが 0 の場合、軸は一意に定義されません。それぞれがオイラー軸と角度で表された 2 つの連続した回転を組み合わせることは簡単ではなく、実際にはベクトルの加算法則を満たしていません。この法則は、有限回転が実際にはベクトルではないことを示しています。回転行列または四元数表記法を使用して積を計算し、オイラー軸と角度に戻すのが最適です。

オイラー回転の背後にある考え方は、座標系の完全な回転を、歳差運動、章動運動、および固有回転と呼ばれる 3 つのより単純な構成回転に分割し、それぞれがオイラー角の 1 つの増分であるというものです。外側の行列は参照フレームの軸の 1 つを中心とした回転を表し、内側の行列は移動フレームの軸の 1 つを中心とした回転を表すことに注意してください。中央の行列は、ノードのラインと呼ばれる中間軸を中心とした回転を表します。

しかし、オイラー角の定義は一意ではなく、文献ではさまざまな慣例が使用されています。これらの慣例は、回転が実行される軸とその順序に依存します (球面上の回転は非可換であるため)。

使用される規則は通常、連続する回転（合成前）が行われる軸を指定することによって示され、インデックス（1、2、3）または文字（X、Y、Z）で参照されます。エンジニアリングおよびロボット工学のコミュニティでは、通常、3-1-3 オイラー角が使用されます。独立した回転を合成した後は、軸を中心に回転しないことに注意してください。最も外側の行列が他の 2 つを回転させ、2 番目の回転行列はノードのライン上に残り、3 番目の回転行列はボディと一緒に移動するフレームになります。3つの基本的な回転の組み合わせは3 × 3 × 3 = 27 通りありますが、任意の 3D 回転をオイラー角として表すために使用できるのは、そのうち3 × 2 × 2 = 12 通りだけです。これらの 12 通りの組み合わせにより、表すことができる自由度を減らすことになる同じ軸（XXY など）の周りの連続した回転が回避されます。

したがって、オイラー角は、外部フレームや共動回転体フレームではなく、混合して表現されます。この問題を回避するために、他の規則 (回転行列や四元数など) が使用されます。

航空学では、航空機の向きは通常、z - y ′- x ″規則に従った固有の テイト・ブライアン角で表現され、これらは、機首方位、仰角、バンク角（または同義語として、ヨー、ピッチ、ロール）と呼ばれます。

4 次元のベクトル空間を形成する四元数は、この記事で説明した他の表現に比べていくつかの利点があるため、回転を表現するのに非常に有用であることが証明されています。

回転の四元数表現は、ベルソル（正規化された四元数）として表されます。 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}= {\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

上記の定義は、(Wertz 1980) および (Markley 2003) で使用されている規則に従って、四元数を配列として格納します。たとえば、(Coutsias 1999) および (Schmidt 2001) で使用されている別の定義では、「スカラー」項を最初の四元数要素として定義し、他の要素を 1 つ下に移動させます。

オイラー軸に関して $${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$

角度θによって、このバーサーの成分は次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=e_{x}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=e_{y}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=e_{z}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

検査により、四元数のパラメータ化は次の制約に従うことがわかります。 $${\displaystyle q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1}$$

最後の項（定義では）はしばしばスカラー項と呼ばれ、複素数の数学的拡張として理解される四元数に由来し、次のように書かれる。 ここで、{ i , j , k }は次を満たす 超複素数である。$${\displaystyle a+bi+cj+dk\qquad {\text{a,b,c,d\in \mathbb {R} } で$$$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1\\ij&=&-ji&=&k&&\\jk&=& -kj&=&i&&\\ki&=&-ik&=&j&&\end{配列}}}$$

合成回転を指定するために使用される四元数の乗算は、複素数の乗算と同じ方法で実行されますが、乗算は可換ではないため、要素の順序を考慮する必要があります。行列表記では、四元数の乗算は次のように記述できます。 $${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}\otimes \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}&-q_{j}&\;\;\,q_{i}\\-q_{k}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{i}&\;\;\,q_{j}\\\;\;\,q_{j}&-q_{i}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}\\-q_{i}&-q_{j}&-q_{k}&\;\;\,q_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\tilde {q}}_{i}\\{\tilde {q}}_{j}\\{\tilde {q}}_{k}\\{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}\\\;\;\,{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}\\-{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&\;\;\,{\tilde {q}}_{k}\\-{\tilde {q}}_{i}&-{\tilde {q}}_{j}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

したがって、2 つの連続する四元数回転を組み合わせるのは、回転行列を使用するのと同じくらい簡単です。2 つの連続する回転行列A ₁の後にA ₂が結合されるのと 同じように 、これを四元数パラメータで同様に簡潔に表現できます。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{3}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1},}$$$${\displaystyle \mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{2}\otimes \mathbf {q} _{1}}$$

クォータニオンは、次の特性により、非常に人気のあるパラメータ化です。

• 行列表現よりもコンパクトで丸め誤差の影響を受けにくい
• 四元数要素は、方向が変化するにつれて、不連続なジャンプ（3次元パラメータ化に固有のもの）を避けながら、 ℝ ^{4 （} S ³で示される）の単位球上で連続的に変化する。
• 回転行列を四元数パラメータで表現する場合、三角関数は使用されない。
• 四元数として表される2つの個別の回転を四元数積を使って組み合わせるのは簡単です。

回転行列と同様に、四元数も丸め誤差のために、有効な回転に対応するように再正規化する必要がある場合があります。ただし、四元数の再正規化の計算コストは​​、3 × 3行列の正規化よりもはるかに低くなります。

四元数は、3 次元での回転のスピノリアル特性も表します。たるんだ弦またはバンドによって (固定された) 周囲に接続された 3 次元オブジェクトの場合、弦またはバンドは、初期のもつれのない状態から、ある固定軸の周りを2回転すると解けます。代数的には、このような回転を記述する四元数は、スカラー +1 (初期) から (スカラー + 擬似ベクトル) 値を経てスカラー -1 (1 回転) に変化し、(スカラー + 擬似ベクトル) 値を経て再びスカラー +1 (2 回転) に戻ります。このサイクルは 2 回転ごとに繰り返されます。2 n 回転 (整数 n > 0) すると、中間のもつれを解く試行をすることなく、弦/バンドは、 2 回転から 0 回転へのもつれを解くときに使用したのと同じ手順をそれぞれ適用することで、 2( n − 1)回転の状態に部分的にもつれを解くことができます。同じ手順をn回適用すると、 2 n絡み合ったオブジェクトは、絡み合っていない状態、つまり 0 回転の状態に戻ります。絡み合いを解くプロセスでは、弦/バンド自体の回転によって生じたねじれも除去されます。これらの事実は、シンプルな 3D 機械モデルを使用して実証できます。

ロドリゲスベクトル（ギブスベクトルとも呼ばれ、座標はロドリゲスパラメータと呼ばれる）^{[3] [4]は、}回転軸と角度で次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {g} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

この表現は、3 次元球面から 3 次元純粋ベクトル超平面に単位四元数をマッピングする、 グノモニック投影の高次元版です。

180° ( πラジアン)で不連続性があります。つまり、任意の回転ベクトルr がπラジアンの角度に近づくと、その接線は無限大に近づきます。

ロドリゲス表現における 回転gの後に回転fが続く場合、単純な回転合成形式は次のようになる。

現在、この式を証明する最も簡単な方法は、（忠実な）二重表現、つまりg = n̂ tan aなど を使用することです。

先ほど述べたパウリ行列導出の組み合わせ的特徴は、以下の同等の 四元数導出とも同一である。空間回転Rに関連付けられた四元数を次のように構築する。 すると、回転R _BとR _A の合成は回転R _C = R _B R _Aとなり、回転軸と角度は四元数の積で定義され 、 $${\displaystyle S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .}$$$${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,}$$$${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).}$$

この四元数積を展開すると $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).}$$

この式の両辺を前の式の恒等式で割り 、評価します。 $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,}$$

これは、2つの成分回転の軸によって定義される合成回転の軸に関するロドリゲスの公式です。彼はこの公式を1840年に導きました（408ページを参照）。^[3] 3つの回転軸A、B、Cは球面三角形を形成し、この三角形の辺によって形成される平面間の二面角は回転角によって定義されます。

修正ロドリゲスパラメータ (MRP)

修正ロドリゲスパラメータ（MRP）は、オイラー軸と角度で次のように表すことができます。 その成分は、同じ回転を表す単位四元数の成分で表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {p} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{4}}\,.}$$$${\displaystyle p_{x,y,z}={\frac {q_{i,j,k}}{1+q_{r}}}\,.}$$

修正ロドリゲス ベクトルは、単位四元数を 3 次元球面から 3 次元純ベクトル超平面に投影する立体投影です。反対の四元数− qの投影は、元の四元数qの投影とは異なる修正ロドリゲス ベクトルp ^sになります。成分を比較すると 、これらのベクトルの 1 つが単位 3 次元球面の内側にある場合、もう一方は外側にあることがわかります。 $${\displaystyle p_{x,y,z}^{s}={\frac {-q_{i,j,k}}{1-q_{r}}}={\frac {-p_{x,y,z}}{\mathbf {p} ^{2}}}\,.}$$

Wolfram Mathworld の定義を参照してください。

ユークリッド空間における3D ベクトルpの軸nの周りの角度ηにわたるアクティブ回転は、次のようにドット積とクロス積で簡単に表すことができます。

$${\displaystyle \mathbf {p} '=p_{\parallel }\mathbf {n} +\cos {\eta }\,\mathbf {p} _{\perp }+\sin {\eta }\,\mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$ ここで、 はnに沿ったp の縦方向成分で、内積で与えられ、は nに関するp の横方向成分であり、 $${\displaystyle p_{\parallel }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} }$$$${\displaystyle \mathbf {p} _{\perp }=\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$$${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$

はpとnの外積です。

上記の式は、 pの縦方向成分は変化しないが、pの横方向成分はnに垂直な平面内で回転することを示しています。この平面は、 pの横方向成分自体と、 pとn の両方に垂直な方向によって張られます。回転は、角度ηにわたる 2D 回転として式内で直接識別できます。

受動回転は同じ式で記述できますが、 ηまたはnの符号が逆になります。

回転行列Aを解析形式で調べることで、オイラー角( φ、θ、ψ )を抽出できます。

x規則を使用すると、3-1-3外在オイラー角φ、θ、ψ ( z軸、x軸、そして再び軸の周り) は次のように取得できます。 ${\displaystyle Z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(A_{31},A_{32}\right)\\\theta &=\arccos \left(A_{33}\right)\\\psi &=-\operatorname {atan2} \left(A_{13},A_{23}\right)\end{aligned}}}$$

atan2( a , b )はarctanと同等であることに注意してください⁠1つの/b⁠ここでは、点( b、a )が含まれる象限も考慮されます。atan2を参照してください。

変換を実行する際には、いくつかの状況を考慮する必要があります。^[5]

• 一般に区間[−π , π ]には2つの解が存在する^3。上記の式はθが区間[0, π ]内にある場合にのみ有効である。
• 特別な場合A ₃₃ = 0の場合、φとψはA ₁₁とA ₁₂から導出されます。
• 区間[−π , π ] 3^の外には無限個、しかし可算個数の解が存在する。
• すべての数学的ソリューションが特定のアプリケーションに適用されるかどうかは、状況によって異なります。

回転行列Aは、軸の周りの回転によって生成された 3 つの行列を乗算することによって、 3-2-1 の固有オイラー角から生成されます。$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{3}\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}=\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A} _{Y}\mathbf {A} _{X}}$$

回転の軸は、使用されている特定の規則によって異なります。x規則の場合、回転はx軸、y軸、z軸を中心に、角度ϕ、θ、ψで行われ、個々の行列は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{X}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Y}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Z}&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

これにより、次の式が得られます 。注: これは、ほぼすべての工学および物理学の分野で使用されている規則である 右手系 に有効です。$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{bmatrix}}}$$

これらの右手回転行列の解釈は、点変換（アクティブ）ではなく座標変換（パッシブ）を表現するというものです。Aはローカルフレーム1からグローバルフレーム0への回転を表現するため（つまり、A はフレーム0に対するフレーム1の軸をエンコードします）、基本回転行列は上記のように構成されます。逆回転は単に回転を転置したものなので、フレーム0からフレーム1へのグローバルからローカルへの回転が必要な場合は、次のように記述します 。$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}=(\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A} _{Y}\mathbf {A} _{X})^{\mathsf {T}}=\mathbf {A} _{X}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} _{Y}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} _{Z}^{\mathsf {T}}\,.}$$

オイラー角θ がπの倍数でない場合、オイラー軸êと角度θ は回転行列Aの要素から次のように 計算できます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arccos {\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\\e_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2\sin \theta }}\\e_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2\sin \theta }}\\e_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2\sin \theta }}\end{aligned}}}$$

あるいは、次の方法を使用することもできます。

回転行列の固有分解により、固有値 1 とcos θ ± i sin θが得られます。オイラー軸は 1 の固有値に対応する固有ベクトルであり、残りの固有値からθ を計算できます。

オイラー軸は行列I − Aの零空間に張られる正規化されたベクトルであるため、特異値分解を使用して見つけることもできます。

逆に変換するには、オイラー軸êと角度θに対応する回転行列を、ロドリゲスの回転公式（適切な修正を加えたもの）に従って次のように 計算します。$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} _{3}\cos \theta +(1-\cos \theta ){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e} }}^{\mathsf {T}}+\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }\sin \theta }$$

I _{3 は}3×3の 単位行列であり、 $${\displaystyle \left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-e_{3}&e_{2}\\e_{3}&0&-e_{1}\\-e_{2}&e_{1}&0\end{bmatrix}}}$$

はクロス積行列です。

これは次のように展開されます: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{11}&=(1-\cos \theta )e_{1}^{2}+\cos \theta \\A_{12}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{2}-e_{3}\sin \theta \\A_{13}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{3}+e_{2}\sin \theta \\A_{21}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{1}+e_{3}\sin \theta \\A_{22}&=(1-\cos \theta )e_{2}^{2}+\cos \theta \\A_{23}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{3}-e_{1}\sin \theta \\A_{31}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{1}-e_{2}\sin \theta \\A_{32}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{2}+e_{1}\sin \theta \\A_{33}&=(1-\cos \theta )e_{3}^{2}+\cos \theta \end{aligned}}}$$

回転行列から四元数を計算する場合、qと− q は同じ回転を表すため、符号の曖昧さが生じます。

回転行列Aから四元数を計算する 1 つの方法は 次のとおりです。 $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{r}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}}\\q_{i}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{13}-A_{31}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{21}-A_{12}\right)\end{aligned}}}$$

qを計算する方法は他に数学的に同等な3つある。分母がゼロに近い状況を避けることで数値の不正確さを減らすことができる。他の3つの方法の1つは以下のようになる: ^{[6] [7]} $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}-A_{22}-A_{33}}}\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{12}+A_{21}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{13}+A_{31}\right)\\q_{r}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\end{aligned}}}$$

四元数qに対応する回転行列は次のように計算できる。 ここ で、 $${\displaystyle \mathbf {A} =\left(q_{r}^{2}-{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}{\check {\mathbf {q} }}\right)\mathbf {I} _{3}+2{\check {\mathbf {q} }}{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}+2q_{r}\mathbf {\mathcal {Q}} }$$$${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {\mathcal {Q}} ={\begin{bmatrix}0&-q_{k}&q_{j}\\q_{k}&0&-q_{i}\\-q_{j}&q_{i}&0\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}}$$

または同等 $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1+2q_{i}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&-1+2q_{j}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&-1+2q_{k}^{2}+2q_{r}^{2}\end{bmatrix}}}$$

これは変換行列のオイラー・ロドリゲス公式と呼ばれる。${\displaystyle \mathbf {A} }$

次のアルゴリズムでは、 x規則 3-1-3外部オイラー角を考慮します。アルゴリズムの条件は、使用される規則によって異なります。

次のようにしてオイラー角( ϕ、θ、ψ )から四元数を計算できます 。 $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=\cos {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=\sin {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=\sin {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

ヨー角（ψ）、ピッチ角（θ）、ロール角（ϕ ）に相当する四元数。またはz - y ′- x ″規則に従う固有の Tait-Bryan角は、次のように計算できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}-\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{j}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{k}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}-\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\end{aligned}}}$$

回転四元数 x規則3-1-3外在オイラー角（φ、θ、ψ）は次のように計算できる。 $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right),-\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\right)\\\theta &=\arccos \left(-q_{i}^{2}-q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}\right)\\\psi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right),\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)\right)\end{aligned}}}$$

回転四元数 ヨー、ピッチ、ロール角、またはz - y ′- x ″規則に従う固有のTait-Bryan角は次のように計算できる。 $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{roll}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r}q_{i}+q_{j}q_{k}\right),1-2\left(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}\right)\right)\\{\text{pitch}}&=\arcsin \left(2\left(q_{r}q_{j}-q_{k}q_{i}\right)\right)\\{\text{yaw}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r}q_{k}+q_{i}q_{j}\right),1-2\left(q_{j}^{2}+q_{k}^{2}\right)\right)\end{aligned}}}$$

オイラー軸êと角度θが与えられると、四元数は $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

次のように計算できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\hat {e}}_{1}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&={\hat {e}}_{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&={\hat {e}}_{3}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

回転四元数qが与えられたとき、定義する。 するとオイラー軸êと角度θは次のように計算できる。 $${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {e} }}&={\frac {\check {\mathbf {q} }}{\left\|{\check {\mathbf {q} }}\right\|}}\\\theta &=2\arccos q_{r}\end{aligned}}}$$