リー群論の公式
1899年、 アンリ・ポアンカレ はリー代数による群の乗法の研究により 普遍包絡代数 の定式化に至った。 [1] リー群 の理論において 、 指数写像は リー群 G のリー代数 gから G へ の写像である。G が 行列リー群 の 場合 、指数写像は 行列指数に簡約される。指数写像は exp: g → G と表され 、 解析的で あり、 導関数 を持つ。 d / dt exp( X ( t ) ):T g → T G 、ここで X ( t )はリー代数の C 1 パス であり 、密接に関連した 微分 d exp:T g → T G である。 [2]
d exp の公式は、 フリードリヒ・シューア （1891）によって初めて証明されました 。 [3] その後、リー代数項を使用してリー群の乗算を表現する問題の文脈で、 アンリ・ポアンカレ （1899）によって詳しく説明されました。 [4]これは デュアメルの公式 と呼ばれることもあります 。
この公式は純粋数学と応用数学の両方で重要である。ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式 などの定理の証明に用いられ、物理学 [5] では 量子場の理論 、 摂動論 の マグヌス展開 、 格子ゲージ理論 などで頻繁に用いられる 。
全体を通して、 exp( X ) と e X の 表記は 、引数が与えられた指数を表すために互換的に使用されます。ただし 、特に明記されているように、表記が専用の 異なる意味を持つ場合は 除きます 。ここでは、方程式の可読性を高めるために、微積分スタイルの表記が推奨されます。一方、 exp スタイルはインライン方程式ではより便利な場合があり、実際に区別する必要があるまれな場合に必要になります。
声明 指数写像の微分は [6]で与えられる。
d
d t
e
バツ （ t ）
=
e
バツ （ t ）
1 −
e
−
1つの d
バツ
1つの d
バツ
d バツ （ t ）
d t
。
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=e^{X(t)}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX(t)}{dt}}.}
（１）
説明 X = X ( t ) は、リー代数における C 1 (連続微分可能) パスであり 、導関数X ′( t ) = dX ( t ) / dt . 引数 t は必要ない場合は省略されます。 ad X は 、 ad X ( Y ) = [ X 、 Y ] で与えられるリー代数の線型変換です 。これは、 リー代数のそれ自身への 随伴作用です。 分数 1 − exp(−ad X ) / 広告 X は べき級数で与えられる
行列の累乗と同様に、線形自己準同型の指数写像のべき級数から導かれる。 [6] G が 行列リー群である 場合、指数関数のすべての出現は、それらのべき級数展開によって与えられます。 G が 行列リー群 でない とき 、 1 − exp(−ad X ) / 広告 X は 依然としてそのべき級数 ( 2 )で与えられます 式中の 他の 2 つの expは、 リー理論における指数写像となり、 解析多様体 として見た リー群G 上の、一般の場合で定義されたリー代数の要素である 左不変 ベクトル場 X の 時間 1 フロー を参照します。これは依然として、行列の場合とまったく同じ式になります。代数 g の要素と リー群の要素exp( X ( t ))の左乗算は、左変換 dL exp( X ( t )) の微分を適用することと解釈されます 。 この式は、 exp が R または C 上の行列空間への写像として考えられている 場合に適用されます( 行列指数 を参照)。 G = GL( n , C ) または GL( n , R ) の場合 、概念は完全に一致します。 X における exp の 微分 d expを 計算するには 、 d exp X : T g X → T G exp( X ) とすると、標準的な方法 [2]
d
経験
バツ
はい =
d
d t
e
ず （ t ）
|
t = 0
、 ず （ 0 ） = バツ 、
ず ′
（ 0 ） = はい
{\displaystyle d\exp _{X}Y=\left.{\frac {d}{dt}}e^{Z(t)}\right|_{t=0},Z(0)=X,Z'(0)=Y}
が用いられる。Z ( t ) = X + tYのとき 、 結果 [6]
（1） から直ちに従う 。特に、 d exp 0 :T g 0 → T G exp(0) = T G eは 恒等式である。なぜなら、 T g X ≃ g （ g はベクトル空間なので）であり、 T G e ≃ g だからである。
証拠 以下に示す証明は、行列リー群を前提としています。つまり、リー代数から行列リー群への指数写像は、通常のべき級数、つまり行列の累乗によって与えられます。証明の結論は、各 exp が正しく解釈される限り、一般的なケースでも成立します。一般的なケースについては、以下のコメントを参照してください。
証明の概要は、パラメータ化された式の
s に関する微分法の手法を利用している。
Γ
(
s
,
t
)
=
e
−
s
X
(
t
)
∂
∂
t
e
s
X
(
t
)
{\displaystyle \Gamma (s,t)=e^{-sX(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}}
Γ の1階微分方程式を取得し、 これを s で直接積分することで解くことができます。解は e X Γ(1, t) です。
補題
Ad を そのリー代数への群の 随伴作用 とし ます。この作用は、 A ∈ G 、 X ∈ g に対して Ad A X = AXA −1 で与えられます。Adと adの間には 、 よく使われる関係式が次 のように与えられます [7] [nb 1]
A
d
e
X
=
e
a
d
X
,
X
∈
g
.
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{X}}=e^{\mathrm {ad} _{X}},~~X\in {\mathfrak {g}}~.}
（4）
証拠
積の法則を2回使うと、
∂
Γ
∂
s
=
e
−
s
X
(
−
X
)
∂
∂
t
e
s
X
(
t
)
+
e
−
s
X
∂
∂
t
[
X
(
t
)
e
s
X
(
t
)
]
=
e
−
s
X
d
X
d
t
e
s
X
.
{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=e^{-sX}(-X){\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}+e^{-sX}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[X(t)e^{sX(t)}\right]=e^{-sX}{\frac {dX}{dt}}e^{sX}.}
そして、次のようなことが観察される。
∂
Γ
∂
s
=
A
d
e
−
s
X
X
′
=
e
−
a
d
s
X
X
′
,
{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'=e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X',}
（４）を 積分
すると
Γ
(
1
,
t
)
=
e
−
X
(
t
)
∂
∂
t
e
X
(
t
)
=
∫
0
1
∂
Γ
∂
s
d
s
=
∫
0
1
e
−
a
d
s
X
X
′
d
s
.
{\displaystyle \Gamma (1,t)=e^{-X(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}{\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}ds=\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X'ds.}
指数関数を展開するために形式的な冪級数を使用し、項ごとに積分し、最終的に（ 2 ）を認識すると、
Γ
(
1
,
t
)
=
∫
0
1
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
s
k
k
!
(
a
d
X
)
k
d
X
d
t
d
s
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
k
+
1
)
!
(
a
d
X
)
k
d
X
d
t
=
1
−
e
−
a
d
X
a
d
X
d
X
d
t
,
{\displaystyle \Gamma (1,t)=\int _{0}^{1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}s^{k}}{k!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}ds=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}},}
そして結果は次のようになる。ここで示した証明は、本質的にはロスマン（2002）で示されたものである。より代数的なタッチの証明はホール（2015）に記載されている。 [8]
一般的な場合の式は [9]で与えられる。
d
d
t
exp
(
C
(
t
)
)
=
exp
(
C
)
ϕ
(
−
a
d
(
C
)
)
C
′
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\exp(C(t))=\exp(C)\phi (-\mathrm {ad} (C))C~',}
ここで [注2]
ϕ
(
z
)
=
e
z
−
1
z
=
1
+
1
2
!
z
+
1
3
!
z
2
+
⋯
,
{\displaystyle \phi (z)={\frac {e^{z}-1}{z}}=1+{\frac {1}{2!}}z+{\frac {1}{3!}}z^{2}+\cdots ,}
これは形式的には
d
d
t
exp
(
C
(
t
)
)
=
exp
(
C
)
1
−
e
−
a
d
C
a
d
C
d
C
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\exp(C(t))=\exp(C){\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{C}}}{\mathrm {ad} _{C}}}{\frac {dC(t)}{dt}}.}
ここで、 exp 表記はリー代数の指数写像に使用され、分数内の微積分スタイルの表記は通常の形式的な級数展開を示します。一般的なケースの詳細と 2 つの完全な証明については、無料で入手できる Sternberg (2004) の参考文献を参照してください。
答えが存在するとすれば、答えが何である かをすぐに確認する方法 は次のとおりです。存在はそれぞれの場合で別々に証明する必要があります。指数関数の標準的な極限定義を直接微分し、微分と極限の順序を交換すると、
d
d
t
e
X
(
t
)
=
lim
N
→
∞
d
d
t
(
1
+
X
(
t
)
N
)
N
=
lim
N
→
∞
∑
k
=
1
N
(
1
+
X
(
t
)
N
)
N
−
k
1
N
d
X
(
t
)
d
t
(
1
+
X
(
t
)
N
)
k
−
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\lim _{N\to \infty }{\frac {d}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\sum _{k=1}^{N}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N-k}{\frac {1}{N}}{\frac {dX(t)}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{k-1}~,\end{aligned}}}
ここで、各因子の位置はX ( t ) と X´ ( t ) の非可換性に依存します 。
単位区間を N個の セクションに分割する Δ s = Δk / いいえ ( Δ k = 1 、合計インデックスは整数であるため) 、 N → ∞、 Δ k → dk とすると、 け / いいえ → s 、 Σ → ∫ は
d
d
t
e
X
(
t
)
=
∫
0
1
e
(
1
−
s
)
X
X
′
e
s
X
d
s
=
e
X
∫
0
1
A
d
e
−
s
X
X
′
d
s
=
e
X
∫
0
1
e
−
a
d
s
X
d
s
X
′
=
e
X
1
−
e
−
a
d
X
a
d
X
d
X
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\int _{0}^{1}e^{(1-s)X}X'e^{sX}ds=e^{X}\int _{0}^{1}\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'ds\\&=e^{X}\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}dsX'=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}}~.\end{aligned}}}
アプリケーション
指数写像の局所的挙動 逆 関数定理 と指数写像の導関数を組み合わせると、 exp の局所的動作に関する情報が得られます。任意の C k , 0 ≤ k ≤ ∞, ω ベクトル空間間の写像 f (ここではまず行列リー群を考慮) には、 df x が 可逆である限り、領域内の 点 x の周りの開集合における C k 一対一となる ような C k 逆写像が存在します。( 3 ) から、これは次の場合に正確に発生することがわかります。
1
−
e
a
d
X
a
d
X
{\displaystyle {\frac {1-e^{\mathrm {ad_{X}} }}{\mathrm {ad} _{X}}}}
は可逆です。これは、この演算子の固有値がすべてゼロでない場合に発生します。 の固有値は、 1 − exp(−ad X ) / 広告 X は ad X のものと次のように 関係している 。 g が 複素変数の解析関数で、行列 Uの g ( U ) が収束するようなべき級数 で表現される場合、 g ( U ) の固有値は g ( λ ij ) となる 。ここで λ ij は U の固有値であり 、二重の添え字は以下で明確にされる。 [nb 3] この場合、 g ( U ) = 1 − exp(− U ) / あなた そして U = ad X 、 の固有値 1 − exp(−ad X ) / 広告 X は
1
−
e
−
λ
i
j
λ
i
j
,
{\displaystyle {\frac {1-e^{-\lambda _{ij}}}{\lambda _{ij}}},}
ここ で、 λ ij は ad X の固有値です 。 1 − exp(− λ ij ) / λ ij = 0 のとき、 d exp は 逆関数である
ことが分かる
λ
i
j
≠
k
2
π
i
,
k
=
±
1
,
±
2
,
…
.
{\displaystyle \lambda _{ij}\neq k2\pi i,k=\pm 1,\pm 2,\ldots .}
ad X の固有値は 、 Xの固有値と関連している。 X の固有値を λ i とする。 X が 下三角となる
ような 基底ベクトル空間 V の順序付き基底 e i を固定する。すると
X
e
i
=
λ
i
e
i
+
⋯
,
{\displaystyle Xe_{i}=\lambda _{i}e_{i}+\cdots ,}
残りの項は、 n > i の e n の倍数です。E ij を、 対応 する行列空間の基底、すなわち ( E ij ) kl = δ ik δ jl とします。この基底を、 i − j < n − m の場合には E ij < E nm となるように並べます。ad X の作用が次式 で与えられること
を確認します 。
a
d
X
E
i
j
=
(
λ
i
−
λ
j
)
E
i
j
+
⋯
≡
λ
i
j
E
i
j
+
⋯
,
{\displaystyle \mathrm {ad} _{X}E_{ij}=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{ij}+\cdots \equiv \lambda _{ij}E_{ij}+\cdots ,}
残りの項は E mn > E ij の倍数である。これは、 ad X が 下三角関数であり、その固有値は対角線上に λ ij = λ i − λ j であることを意味する。結論として、 d exp X は 逆行列を持ち、したがって exp は X の 周りの局所的二解析的一対一関数であり、 X の固有値が [10] [nb 4] を満たす。
λ
i
−
λ
j
≠
k
2
π
i
,
k
=
±
1
,
±
2
,
…
,
1
≤
i
,
j
≤
n
=
dim
V
.
{\displaystyle \lambda _{i}-\lambda _{j}\neq k2\pi i,\quad k=\pm 1,\pm 2,\ldots ,\quad 1\leq i,j\leq n=\dim V.}
特に、行列リー群の場合、 d exp 0 は逆関数定理 により、 exp は 行列空間内の 0 ∈ g の近傍における双解析的全単射であることがわかります。さらに、 expは、 g 内の 0 ∈ gの近傍から e ∈ G の近傍への 双解析的全単射です 。 [11] 逆関数定理の多様体バージョンを使用して、一般的なリー群についても同じ結論が成り立ちます。
暗黙関数定理 から、 d exp ξ 自体は ξが 十分に小さい場合には逆関数となることも分かる 。 [12]
Z ( t ) が次のように定義される
場合
e
Z
(
t
)
=
e
X
e
t
Y
,
{\displaystyle e^{Z(t)}=e^{X}e^{tY},}
Z (1) = log( exp X exp Y ) の式 、すなわち ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの式は 、上記の式から導かれる。
exp
(
−
Z
(
t
)
)
d
d
t
exp
(
Z
(
t
)
)
=
1
−
e
−
a
d
Z
a
d
Z
Z
′
(
t
)
.
{\displaystyle \exp(-Z(t)){\frac {d}{dt}}\exp(Z(t))={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t).}
左辺が Y に等しいことは容易に分かる。したがって、
Y
=
1
−
e
−
a
d
Z
a
d
Z
Z
′
(
t
)
,
{\displaystyle Y={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t),}
そして、正式には、 [13] [14]
Z
′
(
t
)
=
a
d
Z
1
−
e
−
a
d
Z
Y
≡
ψ
(
e
a
d
Z
)
Y
,
ψ
(
w
)
=
w
log
w
w
−
1
=
1
+
∑
m
=
1
∞
(
−
1
)
m
+
1
m
(
m
+
1
)
(
w
−
1
)
m
,
‖
w
‖
<
1.
{\displaystyle Z'(t)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}Y\equiv \psi \left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}\right)Y,\quad \psi (w)={\frac {w\log w}{w-1}}=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m(m+1)}}(w-1)^{m},\|w\|<1.}
しかし、 （４） で示される Ad と ad の関係を用いると 、さらに次のことが簡単に分かる。
e
a
d
Z
=
e
a
d
X
e
t
a
d
Y
{\displaystyle e^{\mathrm {ad} _{Z}}=e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}}
そしてそれゆえ
Z
′
(
t
)
=
ψ
(
e
a
d
X
e
t
a
d
Y
)
Y
.
{\displaystyle Z'(t)=\psi \left(e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}\right)Y.}
これをt の0から1までの
積分の形にすると、
Z
(
1
)
=
log
(
exp
X
exp
Y
)
=
X
+
(
∫
0
1
ψ
(
e
ad
X
e
t
ad
Y
)
d
t
)
Y
,
{\displaystyle Z(1)=\log(\exp X\exp Y)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\,{\text{ad}}_{Y}}\right)\,dt\right)\,Y,}
Z (1) の 積分公式は、 ψ の 級数展開が簡単なため、 明示的な ディンキン級数公式よりも実際には扱いやすい。この表現は、 X+Y と、 X または Y との入れ子になった交換子 で構成されていることに注意 。この方向の教科書的な証明は、Hall (2015) と Miller (1972) にあります。
2003年、自宅で撮影されたユージン・ディンキン 。1947年、ディンキンは明示的なBCH級数公式を証明した。 [15] ポアンカレ 、 ベイカー 、 キャンベル 、 ハウスドルフは主に括弧級数の 存在 に関心を持っていたが 、これは多くの応用、例えば リー対応 における中心的な結果を証明するのに十分である。 [16] [17] 写真はディンキンコレクション提供。 前述のディンキンの公式も、パラメトリック拡張から同様に導くことができる。
e
Z
(
t
)
=
e
t
X
e
t
Y
,
{\displaystyle e^{Z(t)}=e^{tX}e^{tY},}
どこから
e
−
Z
(
t
)
d
e
Z
(
t
)
d
t
=
e
−
t
a
d
Y
X
+
Y
,
{\displaystyle e^{-Z(t)}{\frac {de^{Z(t)}}{dt}}=e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y~,}
したがって、上記の一般式を用いると、
Z
′
=
a
d
Z
1
−
e
−
a
d
Z
(
e
−
t
a
d
Y
X
+
Y
)
=
a
d
Z
e
a
d
Z
−
1
(
X
+
e
t
a
d
X
Y
)
.
{\displaystyle Z'={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}~\left(e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y\right)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1}}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).}
しかし、
a
d
Z
=
log
(
exp
(
a
d
Z
)
)
=
log
(
1
+
(
exp
(
a
d
Z
)
−
1
)
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
exp
(
a
d
Z
)
−
1
)
n
,
‖
a
d
Z
‖
<
log
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad_{Z}} &=\log \left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)\right)=\log \left(1+\left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)-1\right)\right)\\&=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(\exp(\mathrm {ad} _{Z})-1)^{n}~,\quad \|\mathrm {ad} _{Z}\|<\log 2~~,\end{aligned}}}
メルカトル級数 展開の最後のステップ は、
そして、統合することで、
Z
(
1
)
=
∫
0
1
d
t
d
Z
(
t
)
d
t
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
∫
0
1
d
t
(
e
t
a
d
X
e
t
a
d
Y
−
1
)
n
−
1
(
X
+
e
t
a
d
X
Y
)
.
{\displaystyle Z(1)=\int _{0}^{1}dt~{\frac {dZ(t)}{dt}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\int _{0}^{1}dt~\left(e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}-1\right)^{n-1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).}
この時点で、BCH 公式の質的記述が成り立つことは明らかです。つまり、 Z は X 、 Y によって生成されるリー代数内にあり 、繰り返し括弧内の級数として表現できます (A) 。各 k について、その各分割の項は積分 ∫ dt t k −1 内に整理されます。結果として得られるディンキンの公式は、
Z
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
∑
s
∈
S
k
1
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
[
X
(
i
1
)
Y
(
j
1
)
⋯
X
(
i
k
)
Y
(
j
k
)
]
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
,
i
r
,
j
r
≥
0
,
i
r
+
j
r
>
0
,
1
≤
r
≤
k
.
{\displaystyle Z=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k.}
詳細な級数展開を伴う同様の証明については、Rossmann (2002) を参照してください。
組み合わせの詳細 （ ５ ） の和の指数を k = n − 1 に変更し、展開する。
はべき級数で表されます。級数展開を簡単に扱うために、まず Z = log( e X e Y ) を考えます。log 級数 と exp 級数は次のように表されます。
log
(
A
)
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
k
(
A
−
I
)
k
,
and
e
X
=
∑
k
=
0
∞
X
k
k
!
{\displaystyle \log(A)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{(A-I)}^{k},\quad {\text{and}}\quad e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}}
これらを組み合わせると、
これは
Z
=
log
(
e
X
e
Y
)
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
k
∑
s
∈
S
k
X
i
1
Y
j
1
⋯
X
i
k
Y
j
k
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
,
i
r
,
j
r
≥
0
,
i
r
+
j
r
>
0
,
1
≤
r
≤
k
,
{\displaystyle Z=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,}
（99）
ここで Sk は 、 (99) の条件を満たす 長さ2kの すべて のシーケンス s = ( i1 , j1 ,..., ik , jk ) の 集合 で ある 。
ここで、 ( 98 )の 左辺 の ( e ad tX e ad tY − 1)を ( e X e Y − 1) に 代入する 。すると、式 (99) は次式を得る。
d
Z
d
t
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
+
1
∑
s
∈
S
k
,
i
k
+
1
≥
0
t
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
a
d
X
i
1
a
d
Y
j
1
⋯
a
d
X
i
k
a
d
Y
j
k
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
X
+
t
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
+
i
k
+
1
a
d
X
i
1
a
d
Y
j
1
⋯
a
d
X
i
k
a
d
Y
j
k
X
i
k
+
1
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
i
k
+
1
!
Y
,
i
r
,
j
r
≥
0
,
i
r
+
j
r
>
0
,
1
≤
r
≤
k
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}X\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}X^{i_{k+1}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}}Y,\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,\end{aligned}}}
あるいは、表記法を変えて、 明示的なベイカー・キャンベル・ハウスドルフ式 を参照のこと。
d
Z
d
t
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
+
1
∑
s
∈
S
k
,
i
k
+
1
≥
0
t
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
[
X
(
i
1
)
Y
(
j
1
)
⋯
X
(
i
k
)
Y
(
j
k
)
X
]
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
+
t
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
+
i
k
+
1
[
X
(
i
1
)
Y
(
j
1
)
⋯
X
(
i
k
)
Y
(
j
k
)
X
(
i
k
+
1
)
Y
]
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
i
k
+
1
!
,
i
r
,
j
r
≥
0
,
i
r
+
j
r
>
0
,
1
≤
r
≤
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}
（ 97 ）の2番目の項の右端の e ad tX の合計インデックスは i k + 1 で表されます が、シーケンス s ∈ S k の要素では ないこと に注意してください。ここで、 Z = Z (1) = ∫を積分します 。 dZ / dt dt 、 Z (0) = 0 を用いて、
Z
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
+
1
∑
s
∈
S
k
,
i
k
+
1
≥
0
1
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
+
1
[
X
(
i
1
)
Y
(
j
1
)
⋯
X
(
i
k
)
Y
(
j
k
)
X
]
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
+
1
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
+
i
k
+
1
+
1
[
X
(
i
1
)
Y
(
j
1
)
⋯
X
(
i
k
)
Y
(
j
k
)
X
(
i
k
+
1
)
Y
]
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
i
k
+
1
!
,
i
r
,
j
r
≥
0
,
i
r
+
j
r
>
0
,
1
≤
r
≤
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}
これを次のように書く
Z
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
+
1
∑
s
∈
S
k
,
i
k
+
1
≥
0
1
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
+
(
i
k
+
1
=
1
)
+
(
j
k
+
1
=
0
)
[
X
(
i
1
)
Y
(
j
1
)
⋯
X
(
i
k
)
Y
(
j
k
)
X
(
i
k
+
1
=
1
)
Y
(
j
k
+
1
=
0
)
]
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
(
i
k
+
1
=
1
)
!
(
j
k
+
1
=
0
)
!
+
1
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
+
i
k
+
1
+
(
j
k
+
1
=
1
)
[
X
(
i
1
)
Y
(
j
1
)
⋯
X
(
i
k
)
Y
(
j
k
)
X
(
i
k
+
1
)
Y
(
j
k
+
1
=
1
)
]
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
i
k
+
1
!
(
j
k
+
1
=
1
)
!
,
(
i
r
,
j
r
≥
0
,
i
r
+
j
r
>
0
,
1
≤
r
≤
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+(i_{k+1}=1)+(j_{k+1}=0)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}=1)}Y^{(j_{k+1}=0)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!(i_{k+1}=1)!(j_{k+1}=0)!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+(j_{k+1}=1)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1}=1)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!(j_{k+1}=1)!}},\\\\&(i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k).\end{aligned}}}
これは、
ここで、すべての T に対して [ T , T ] = 0 という単純な観察を用いる 。すなわち、（ 100 ）において、 j k + 1 が0 または 1 でない 限り、先頭の項は消える。これは、 その前の式の第 1 項と第 2 項に対応する。 j k + 1 = 0 の場合、 i k + 1 は 1 に等しくなければならない 。そうでない場合、同じ理由で項は消える（ i k + 1 = 0 は許されない）。最後に、インデックス k → k − 1 をシフトし、
i
r
,
j
r
≥
0
,
i
r
+
j
r
>
0
,
1
≤
r
≤
k
+
1
,
{\displaystyle i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k+1,}
Z
=
log
e
X
e
Y
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
∑
s
∈
S
k
1
i
1
+
j
1
+
⋯
+
i
k
+
j
k
[
X
(
i
1
)
Y
(
j
1
)
⋯
X
(
i
k
)
Y
(
j
k
)
]
i
1
!
j
1
!
⋯
i
k
!
j
k
!
,
i
r
,
j
r
≥
0
,
i
r
+
j
r
>
0
,
1
≤
r
≤
k
.
{\displaystyle Z=\log e^{X}e^{Y}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},~i_{r},j_{r}\geq 0,~i_{r}+j_{r}>0,~1\leq r\leq k.}
これはディンキンの公式である。（99）との驚くべき類似性は偶然ではない。これは ディンキン・スペヒト・ウェーバー写像を 反映しており、この公式の元々の異なる導出の根拠となっている。 [15] すなわち 、
X
i
1
Y
j
1
⋯
X
i
k
Y
j
k
{\displaystyle X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}
括弧級数として表現できる場合、必然的に [18]
観察 (A) と定理 ( B ) を組み合わせると、明示的な BCH 式の簡潔な証明が得られます。
参照
^同一性の証明は ここ にあります。この関係は、 リー対応 に従ったリー群の表現とそのリー代数の表現との間の関係に過ぎません。Ad と ad は どちらも ad = d Ad となる表現だからです 。 ^
それは
τ
(
log
z
)
ϕ
(
−
log
z
)
=
1
{\displaystyle \tau (\log z)\phi (-\log z)=1}
|z − 1| < 1 であり、
τ
(
w
)
=
w
1
−
e
−
w
.
{\displaystyle \tau (w)={\frac {w}{1-e^{-w}}}.}
ここで、 τは 指数生成関数であり、
(
−
1
)
k
b
k
,
{\displaystyle (-1)^{k}b_{k},}
ここで、 b k は ベルヌーイ数 です 。 ^これは、 U が 三角形で 、固有値が対角要素となるよう な基底ベクトル空間の基底を選択することでわかります。すると、 U k は三角形で、対角要素は λ i k です。したがって、 U の固有値は f ( λ i ) です 。Rossmann 2002、セクション 1.2 の補題 6 を参照してください。 ^ 固有値 λ が|Im λ | < π を 満たす行列 は、指数関数の下で、固有値 μが負の実数直線 上 になく、ゼロでもない行列と一対一である。λ と μ は 複素指数関数で関連している。Rossmann (2002) の注釈 2c セクション 1.2 を参照。
注記
^ シュミット 1982 ^ ab Rossmann 2002 解析関数に関する付録。 ^ シュア 1891 ^ ポアンカレ 1899 ^ スズキ 1985 ^ abc ロスマン 2002 定理 5 セクション 1.2 ^ ホール 2015 提案 3.35 ^ Hall の証明は Tuynman 1995 からも参照してください。 ^ Sternberg 2004 これは式(1.11)である。 ^ Rossmann 2002 Proposition 7、セクション1.2。 ^ ホール 2015 系 3.44。 ^ スターンバーグ 2004 セクション 1.6。 ^ Hall 2015セクション5.5。 ^ スターンバーグ 2004 セクション 1.2。 ^ ab ディンキン 1947 ^ ロスマン 2002 第2章。 ^ ホール2015第5章。 ^ スターンバーグ 2004 第1.12.2章。
参考文献 Dynkin、Eugene Borisovich (1947)、「Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff」[キャンベル・ハウスドルフ式の係数の計算]、 Doklady Akademii Nauk SSSR (ロシア語)、 57 : 323–326 ; Googleブックからの翻訳。 ホール、ブライアン C. (2015)、 リー群、リー代数、表現: 初等入門 、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、 ISBN 978-3319134666 ミラー、ウラード（1972）、 対称群とその応用 、アカデミックプレス、 ISBN 0-12-497460-0 ポアンカレ、H. (1899)、「Sur les groupes continus」、 ケンブリッジ フィロス。トランス。 、 18 : 220–55 ロスマン、ウルフ（2002）、 リー群 - 線型群による入門 、オックスフォード大学院数学テキスト、オックスフォードサイエンス出版、 ISBN 0-19-859683-9 Schur, F. (1891)、「Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen」、 Abh。数学。セム。大学ハンブルク 、 4 : 15–32 鈴木 益夫 (1985). 「指数演算子とリー指数の分解公式と量子力学および統計物理学への応用」. 数理物理学ジャーナル . 26 (4): 601–612. Bibcode :1985JMP....26..601S. doi :10.1063/1.526596. Tuynman (1995)、「行列の指数写像の導出」、 Amer. Math. Monthly 、 102 (9): 818–819、 doi :10.2307/2974511、 JSTOR 2974511 Veltman, M 、 't Hooft, G および de Wit, B (2007)。「物理学におけるリー群」、オンライン講義。 Wilcox, RM (1967). 「量子物理学における指数演算子とパラメータ微分化」. 数理物理学ジャーナル . 8 (4): 962–982. Bibcode :1967JMP.....8..962W. doi :10.1063/1.1705306.
外部リンク シュロモ・スターンバーグ (2004)、リー代数 (PDF) シュミット、ウィルフリード (1982)、「ポアンカレ群とリー群」 (PDF) 、 Bull. Amer. Math. Soc. 、 6 (2): 175–186、 doi : 10.1090/s0273-0979-1982-14972-2 
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=e^{-sX}(-X){\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}+e^{-sX}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[X(t)e^{sX(t)}\right]=e^{-sX}{\frac {dX}{dt}}e^{sX}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7d4da9cffa525e623864b300e4bdbde5d4f340)
![{\displaystyle Z=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee5e6dd7a60f58f79bcda6d231da1f65647d82a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40360da0c5075c4d539b18b999c1b4d3606924aa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b117d72210fbbc7f0cb95384d5a5e574da0cf8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+(i_{k+1}=1)+(j_{k+1}=0)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}=1)}Y^{(j_{k+1}=0)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!(i_{k+1}=1)!(j_{k+1}=0)!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+(j_{k+1}=1)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1}=1)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!(j_{k+1}=1)!}},\\\\&(i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e68e1a5fbf40c1e3a560f3e6a88bf1cb9435a57)
![{\displaystyle Z=\log e^{X}e^{Y}=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},~i_{r},j_{r}\geq 0,~i_{r}+j_{r}>0,~1\leq r\leq k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41f424dcf7d0d127c141ca5076026e166d66d0d)
