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この表は、正多面体の数をランク別にまとめたものです。
ランク 1 の多面体 (1-多面体) は 1 つしか存在せず、それは 2 つの端点で囲まれた閉じた線分です。この 1-多面体の実現はすべて正則です。シュレーフリ記号{ } [ 3 ] [ 4 ]または単一の環状ノードを持つコクセター図 を
持ちます。ノーマン・ジョンソンはこれをディオン[ 5 ]と呼び、シュレーフリ記号 { } を与えています。
多面体としては自明ですが、多角形や他の高次元多面体の辺として現れます。 [ 6 ]シュレーフリ記号{ }×{p}のような均一な角柱の定義や、線分と正多角形のデカルト積としてのコクセター図にも使用されます。[ 7 ] 
ランク2の多面体（2-多面体）は多角形と呼ばれます。正多角形は正三角形で円周を持ちます。p角形の正多角形は、シュレーフリ記号{p}で表されます。
多くの資料では凸多角形のみを扱っているが、五芒星のような星形多角形も、考慮に入れると正多角形になり得る。星形多角形は凸多角形と同じ頂点を使用するが、円周を複数回通過する別の接続方法で連結され、完成形となる。
シュレーフリ記号{p}は正p角形を表します。
正二角形{2} は退化した正多角形とみなすことができます。これは、球面やトーラスの表面など、いくつかの非ユークリッド空間で非退化的に実現できます。たとえば、二角形は球面三日月として非退化的に実現できます。単角形{1} も、球面上で大円が通る一点として実現できます。[ 8 ]ただし、単角形は、その単一の辺が 2 つの頂点ではなく 1 つの頂点にしか接続していないため、有効な抽象多面体ではありません。
2次元空間には、シュレーフリ記号が有理数{ n / m }で構成される正多面体である星型多面体が無限に存在する。これらは星型多角形と呼ばれ、凸正多角形と同じ頂点配置を持つ。
一般に、任意の自然数nに対して、m < n /2 (厳密には{ n / m } = { n /( n − m )} )かつmとn が互いに素であるようなすべてのmに対して、シュレーフリ記号{ n / m } を持つ正n点星が存在します(したがって、素数の辺を持つ多角形のすべての星形は正 星になります)。m と n が互いに素でない記号は、複合多角形を表すために使用できます。
単角形や二角形と同様に、球面タイリングとしてのみ存在できる星形多角形（例：{3/2}、{5/3}、{5/4}、{7/4}、{9/5}）が存在する可能性があるが、これらは詳細に研究されていない。
また、円の表面を有限回覆わない三角形のような失敗した星形多角形も存在する。 [ 9 ]
平面上の正多角形に加えて、無限に多くの正多角形（斜多角形）が存在する。斜多角形はブレンド操作によって作成できる。
2つの多角形PとQのブレンドであるP # Qは、次のように構成できます。
あるいは、ブレンドは多角形⟨ρ0σ0,ρ1σ1⟩であり、ρとσは直交部分空間に配置されたPとQの生成ミラーである。 [ 10 ]ブレンド 操作は可換、結合、冪等である。
すべての正多角形は、一意の[ i ]平面多角形の集合のブレンドとして表現できます。[ 10 ] PとQ が共通因子を持たない場合、 Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q )となります。
3次元空間における正多角形は、平面多角形（2次元）と二角形（1次元）の混合によって生じるものです。これらの多角形の頂点は、プリズム（nが奇数の場合、 { n / m }#{}）または反プリズム（nが偶数の場合、 { n / m }#{}）に対応します。3次元空間におけるすべての多角形は、頂点と辺の数が偶数です。
これらのうちいくつかは、正多面体のペトリー多角形として現れる。
4次元における正多角形は、2つの異なる平面多角形が融合して形成される多角形そのものです。これらの多角形の頂点はクリフォード・トーラス上にあり、クリフォード変位によって関連付けられています。3次元多角形とは異なり、二重回転による斜多角形は奇数個の辺を持つことができます。
次元が3の多面体は多面体と呼ばれる。
シュレーフリ記号{ p , q }を持つ正多面体、コクセター図は、正面タイプ{ p }と正頂点図形{ q }を持ちます。
多面体の頂点図形とは、ある頂点から辺を1つだけ離れた頂点同士を結んだ多角形のことです。正多面体の場合、この頂点図形は常に正多角形（かつ平面多角形）になります。
正多面体{ p , q }の存在は、頂点図形の角度の欠陥に関連する不等式によって制約される。
順列を列挙すると、5 つの凸型、4 つの星型、および 3 つの平面タイルリングが見つかります。これらはすべて、多角形{ p }と{ q }が{3}、{4}、{5}、{5/2}、および {6} に限定されています。
ユークリッド空間の向こう側には、無限に存在する正則双曲型タイリングの集合が存在する。
5 つの凸正多面体はプラトン立体と呼ばれます。頂点の図は、各頂点の数とともに与えられます。これらの多面体はすべてオイラー標数(2分の1。
球面幾何学では、本来は多面体として退化してしまうような正多面体（球面のタイル張り）が存在する。これらはホソヘドラ{2,n}とその双対二面体{n,2}である。コクセターはこれらの場合を「不適切な」テセレーションと呼ぶ。[ 11 ]
最初の数例（nは2～6）を以下に示します。
星型多角形{ p / q }に対して、星型二面体およびホソヘドラ{ p / q , 2}および{2, p / q }も存在する。
正星型多面体はケプラー・ポアンソ多面体と呼ばれ、正十二面体{5,3}と正二十面体{3,5}の頂点配置に基づいて4種類存在する。
球面タイリングとして、これらの星形は球面と複数回重なり合います。この重なり合いの密度は、これらの形状では3または7です。タイリング画像では、単一の球面多角形の面が黄色で示されています。
失敗した星型多面体は無限に存在します。これらもシュレーフリ記号に星型多角形を含む球面タイリングですが、球面を有限回覆うことはありません。例としては、{5/2,4}、{5/2,9}、{7/2,3}、{5/2,5/2}、{7/2,7/3}、{4,5/2}、{3,7/3}などがあります。
正多面体は、非平面の頂点図形の可能性を含む、正多面体の集合の一般化です。
4次元の斜多面体については、コクセターはこれらの図形に対して修正されたシュレーフリ記号{l,m|n}を提案した。{l,m}は頂点図形、頂点の周りのm個のl角形、およびn個の角形の穴を意味する。これらの頂点図形は、2つの平面の間をジグザグに走る斜多角形である。
{l,m|n}で表される正多面体は、次の式に従います。
それらのうち4つは、4次元空間において、同じ頂点配置と辺配置を共有する4つの正4多面体の面の部分集合として見ることができる。
Schläfli シンボルを持つ通常の4 多面体セルの種類、タイプの顔エッジの図 頂点図形。
正4多面体の存在正多面体の存在によって制約される4-多面体の名称として「ポリコロノン」が提案されている。[ 12 ]
それぞれは、この式に依存する空間に存在することになる。
これらの制約により、21種類の形状が許容されます。そのうち6種類は凸型、10種類は非凸型、1種類はユークリッド3次元ハニカム、4種類は双曲型ハニカムです。
6 つの凸正 4 多面体を下の表に示します。これらの 4 多面体はすべてオイラー標数(）0の。
2-4-トープとホソ-4-トープは、3-球面の正則なテセレーションとして存在する。
正則な2 面体 4 面体(2 つの面) には、{3,3,2}、{3,4,2}、{4,3,2}、{5,3,2}、{3,5,2}、{p,2,2} と、それらのホソ 4 面体双対(2 つの頂点)、{2,3,3}、{2,4,3}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,5,3}、{2,2, p } が含まれます。{2, p ,2}の形の 4 面体は、 {2,2, p }と同じです。また、二面体セルとホソヘドラル頂点図形を持つ { p ,2, q }の場合もあります。
正多面体星型4次元多面体は10個あり、これらはシュレーフリ・ヘス4次元多面体と呼ばれています。これらの頂点は、凸型の120胞体{5,3,3}と600胞体{3,3,5}に基づいています。
Ludwig Schläfli は、そのうちの 4 つを見つけ、最後の 6 つをスキップしました。セルまたは頂点図形 (ゼロホール トーラスの場合: F+V−E=2) でオイラー特性を満たさない形式を許可しなかったためです。エドムント・ヘス(1843–1903) は、ドイツ語の著書「Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder」 (1883 年)で 10 項目の完全なリストを完成させました。。
これらの10個の正星型4次元多面体には、直交投影図として示されるように、4種類の固有の辺配置と7種類の固有の面配置が存在する。
正則星型4次元多面体の置換候補は、{3,5/2,3}、{4,3,5/2}、{5/2,3,4}、{5/2,3,5/2}の4つが存在します。これらのセルと頂点図形は存在しますが、有限回の繰り返しで超球面を覆うことはできません。
上記の 16 個の平面 4 多面体に加えて、18 個の有限歪多面体があります。[ 13 ]これらの 1 つはテセラクトのペトリー双対として得られ、残りの 17 個は平面多面体とテセラクトのペトリー双対にカッパ演算を適用することによって形成できます。
5-多面体には記号を与えることができるどこ4面タイプです。細胞の種類は、は顔のタイプであり、顔の姿は、はエッジ図であり、は頂点図形です。
正5多面体存在するのは、そしてこれらは正4次元多面体である。
それが収まるスペースは、次の式に基づいています。
これらの制約を列挙すると、凸多面体が3つ、星型多面体は0個、ユークリッド4次元空間のテセレーションが3つ、パラコンパクト双曲4次元空間のテセレーションが5つ得られます。ランク5以上の非凸正多面体は、歪多面体のみです。
次元が5以上の場合、凸正多面体は3種類しかない。[ 14 ]
シュレーフリ記号の一部の数値が 2 になる不適切なケースも存在します。例えば、{p,q,r,...2} は、{p,q,r...} が正球多面体であるとき、不適切な正球多面体であり、{2,...p,q,r} は、{...p,q,r} が正球多面体であるとき、不適切な正球多面体です。このような多面体はファセットとしても使用でき、{p,q,...2...y,z} のような形状が得られます。
ランク5以上の正則な星型多面体は存在しない。ただし、低ランクの星型多面体の星型積によって生成される退化多面体（例えば、同位体や二位体）は例外である。
射影正則( n + 1) -多面体は、元の正則n -球面テセレーション {p,q,...} が中心対称である場合に存在する。このような多面体は半-{p,q,...} であり、要素数は半分である。コクセターは記号 {p,q,...}/2 を与え、マクマレンは {p,q,...} h/2と書き、 hはコクセター数である。[ 15 ]
偶数辺の正多角形は、半角形の射影多角形{2p}/2を持ちます。
5つのプラトン立体のうち4つに関連する正射影多面体は4つあります。
半立方体と半八面体は、任意のランクの半n立方体と半n直交多面体として一般化される。
凸正4次元多面体6個のうち5個は中心対称性を持ち、射影4次元多面体を生成する。残りの3つの特殊なケースは、半24胞体、半600胞体、および半120胞体である。
正多面体のうち、ランク5以上で中心対称性を持つのは3つのうち2つだけです。対応する正射影多面体は、正超立方体と正多面体の半多面体です。ランク5の場合、例えば以下の表にそれらを示します。
アペイロトープまたは無限多面体とは、無限に多くの面を持つ多面体のことです。n-アペイロトープは無限n多面体です。2-アペイロトープまたはアペイロゴンは無限多角形、3-アペイロトープまたはアペイロヘドロンは無限多面体などです。
アペイロトープには主に2つの幾何学的クラスがあります。[ 16 ]
直線アペイロゴンは、直線を無限に多くの等しいセグメントに分割する、直線の正則なテセレーションです。無限に多くの頂点と辺を持ちます。そのシュレーフリ記号は{∞}で、コクセター図です。
... 
...
これは、 pが無限大に近づくときのp角形の極限として存在し、次のようになる。
双曲平面上のアペイロゴン、特に正アペイロゴン{∞}は、ユークリッド平面上の有限多角形と同様に曲率を持つことができ、頂点は円ではなくホロサイクルまたはハイパーサイクルによって囲まれます。
無限遠で収束するようにスケーリングされた正則アペイロゴンは、記号{∞}を持ち、ホロサイクル上に存在しますが、より一般的にはハイパーサイクル上にも存在できます。
上図はポアンカレ円盤モデルにおける2つの正双曲型アペイロゴンで、右側のものは長さλだけ離れた発散する基本領域の垂直反射線を示している。
2次元空間におけるねじれアペイロゴンは、平面上にジグザグ線を形成する。ジグザグ線が均一かつ対称であれば、そのアペイロゴンは正則である。
斜アペイロゴンは、任意の次元で構成することができる。3次元では、正斜アペイロゴンは螺旋を描き、左巻きまたは右巻きのいずれかとなる。
平面には6つの正則なテセレーションがあり、そのうち3つは以下に挙げ、それらに対応するペトリアルも存在する。
不適切な正則タイリングは2種類あります。1つ目は、平面の半分をそれぞれ埋める2つのアペイロゴンから構成されるアペイロゴン二面体{∞,2}、2つ目はその双対であるアペイロゴンホソヘドロン{2,∞}で、これは無限の平行線の集合として見なされます。
星形多角形の規則的な平面タイル張りは存在しません。{8/3,8}、{10/3,5}、{5/2,10}、{12/5,12}など、平面（1/ p + 1/ q = 1/2）に収まる列挙は多数ありますが、周期的に繰り返されるものはありません。
Tessellations of hyperbolic 2-space are hyperbolic tilings. There are infinitely many regular tilings in H2. As stated above, every positive integer pair {p,q} such that 1/p + 1/q < 1/2 gives a hyperbolic tiling. In fact, for the general Schwarz triangle (p, q, r) the same holds true for 1/p + 1/q + 1/r < 1.
There are a number of different ways to display the hyperbolic plane, including the Poincaré disk model which maps the plane into a circle, as shown below. It should be recognized that all of the polygon faces in the tilings below are equal-sized and only appear to get smaller near the edges due to the projection applied, very similar to the effect of a camera fisheye lens.
There are infinitely many flat regular 3-apeirotopes (apeirohedra) as regular tilings of the hyperbolic plane, of the form {p,q}, with p+q<pq/2.
A sampling:
タイリング {p, ∞} は、ポアンカレ円盤モデルの端に理想的な頂点を持ちます。それらの双対 {∞, p} は理想的な非等角面を持ち、ホロサイクルに内接します。さらに進んで (上の表で行われているように)、ポアンカレ円盤の外側に超理想的な頂点を持つタイリングを見つけることもできます。これは、ハイパーサイクルに内接するタイルと双対です。上記の {p, iπ/λ} で記号化されているものでは、各超理想的な頂点の周りに無限に多くのタイルが収まります。[ 17 ] (拡張双曲空間の平行線は理想的な点で交わります。超平行線は超理想的な点で交わります。) [ 18 ]
双曲タイリングには、面または頂点図形が星形多角形である無限の形式が 2 つあります。{ m /2, m } とその双対 { m , m /2} ( m = 7, 9, 11, ... [ 19 ] ]。{ m /2, m } タイリングは{ m , 3} タイリングの星形化であり、{ m , m /2} 双対タイリングは{3, m } タイリングのファセット化であり、 { m , 3} タイリングの拡大[ ii ]です。
パターン { m /2, m } と { m , m / 2}は、 m < 7の奇数の場合、多面体として続きます。m = 5 の場合、小星型十二面体と大十二面体が得られます[ 19 ]。m = 3の場合、ケースは四面体に退化します。他の 2 つのケプラー・ポアンソ多面体 (大星型十二面体と大二十面体) には、正則双曲タイリングの類似物はありません。m が偶数の場合、 { m /2} をどのように定義するかによって、他のタイリングの退化した二重カバーまたは複合タイリングを得ることができます。
平面面を持つ正多面体3 個がユークリッド 3 次元空間に存在する。 [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]これらは3 つの凸型均一ハニカムと同じ頂点配置と辺配置を共有している。
Allowing for skew faces, there are 30 regular apeirohedra in Euclidean 3-space.[25] These include the 12 blended apeirohedra created by blends with the Euclidean planar apeirohedra, and 18 pure apeirohedra, which cannot be expressed as a non-trivial blend including the planar apeirohedra and the three 3-dimensional apeirohedra above.
The 3-dimensional pure apeirohedra are:
There are 31 regular skew apeirohedra with convex faces in hyperbolic 3-space with compact or paracompact symmetry:[26]
There is only one non-degenerate regular tessellation of 3-space (honeycombs), {4, 3, 4}:[27]
3つの正則ユークリッドタイリングに基づくペアである、6つの不適切な正則テセレーションが存在する。それらのセルと頂点図形はすべて正則ホソヘドラ{2,n}、二面体{n,2}、およびユークリッドタイリングである。これらの不適切な正則タイリングは、切断操作によってプリズム状の均一ハニカムと構成的に関連している。これらは、次数2の非等角タイリングおよび非等角ホソヘドロンの高次元版である。
双曲型3次元空間には、15個の平面正則ハニカム構造が存在する。
双曲3次元空間のテセレーションは、双曲ハニカムと呼ばれる。H3には15個の双曲ハニカムがあり、そのうち4個はコンパクト、11個はパラコンパクトである。
また、11 個のパラコンパクト H 3ハニカム (無限 (ユークリッド) セルおよび/または頂点図形を持つもの)があります: {3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。
非コンパクト解はローレンツ型コクセター群として存在し、双曲空間内の開領域（超理想的な頂点を持つ基本四面体）で視覚化できます。双曲セルまたは頂点図形を持ち、シュレーフリ記号に2を含まないすべてのハニカムは非コンパクトです。
H 3には正則コンパクトまたはパラコンパクト双曲型星ハニカムは存在しません。正則星多面体をセル、頂点図形、またはその両方として持つすべての形状は球形になります。
頂点図形がユークリッドタイリングである場合、理想的な頂点が現れ、球ではなくホロスフィアに内接するようになります。これらは理想的なセル（有限多面体ではなくユークリッドタイリング）の双対です。シュレーフリ記号の最後の数がさらに増加すると、頂点図形は双曲的になり、頂点は超理想的になります（つまり、辺は双曲空間内で交わりません）。ハニカム {p, q, ∞} では、辺はポアンカレ球と 1 つの理想的な点でのみ交わり、辺の残りの部分は超理想的になります。さらに進むと、ハニカムと基本単体の両方で、辺が完全に超理想的になります（ただし、そのような辺では依然として無限に多くの {p, q} が交わります）。一般に、シュレーフリ記号の最後の数が ∞ になると、余次元 2 の面はポアンカレ超球と 1 つの理想的な点でのみ交わります。[ 17 ]
ユークリッド4次元空間を敷き詰めることができる、無限に規則的なテセレーション（ハニカム）には3種類あります。
また、{4,3,4,2}と{2,4,3,4}という2つの不適切なケースも存在する。
ユークリッド4次元空間には3つの平坦な正則ハニカムが存在する：[ 27 ]
双曲4次元空間には7つの平坦な正凸ハニカムが存在する：[ 19 ]
双曲4次元空間の4つの平坦な正星ハニカムが存在する：[ 19 ]
H 4空間には、7 つの凸型正則ハニカムと 4 つの星型ハニカムがあります。[ 28 ]凸型のうち 5 つはコンパクトで、2 つはパラコンパクトです。
H4サイズのコンパクトな規則的なハニカム構造が5つ：
2 つのパラコンパクト規則 H 4ハニカムは、{3,4,3,4}、{4,3,4,3} です。
非コンパクト解はローレンツ型コクセター群として存在し、双曲空間の開領域（基本5胞体の一部が無限遠を超えてアクセスできない）で視覚化できます。以下の表に示されていない、かつシュレーフリ記号に2が含まれていないハニカムはすべて非コンパクトです。
H4空間には、4つの規則的な星型ハニカム構造があり、すべてコンパクトである。
ユークリッド5空間の平面正則ハニカムは1つだけである（上記でテセレーションとして既にリストされている） [ 27 ]
双曲5空間の5つの平坦な正則ハニカムがあり、すべてパラコンパクトです（以前にテセレーションとして上記にリストされています） [ 19 ]
超立方体ハニカムは、各次元（5 次元以上）を、各稜線の周囲に 4 つの超立方体面によって埋め尽くすことができる唯一の正則ハニカムのファミリーです。
E 5では、{4,3,3,4,2}、{2,4,3,3,4}、{3,3,4,3,2}、{2,3,3,4,3}、{3,4,3,3,2}、および {2,3,4,3,3} という不適切なケースも存在します。E nでは、{4,3 n−3 ,4,2} と {2,4,3 n−3 ,4} は常に不適切なユークリッドテセレーションです。
H 5には 5 つの正則ハニカムがあり、すべてパラコンパクトで、無限 (ユークリッド) 面または頂点図形が含まれています: {3,4,3,3,3}、{3,3,4,3,3}、{3,3,3,4,3}、{3,4,3,3,4}、および {4,3,3,4,3}。
次元が5以上の双曲空間にはコンパクトな正則テセレーションは存在せず、次元が6以上の双曲空間にはパラコンパクトな正則テセレーションも存在しない。
n ≥ 5 の場合、潜在的なセルや頂点図形になり得る正則な星型n多面体は存在しないため、 n ≥ 5の場合、H nには双曲型星型ハニカムは存在しない。
次元が 6 以上の双曲空間には、正則なコンパクトまたはパラコンパクトのテセレーションは存在しません。ただし、上記で説明されていない {p,q,r,s,...} の形の任意の Schläfli シンボル (p,q,r,s,... は2 を超える自然数、または無限大) は、双曲n空間の非コンパクトテセレーションを形成します。[ 17 ]
抽象多面体は、それらが埋め込まれている幾何学的空間から切り離して多面体を研究しようとする試みから生まれた。これらには、球面空間、ユークリッド空間、双曲空間、およびその他の多様体のテセレーションが含まれる。1より大きいすべてのランクには無限に存在する。サンプルについては、このアトラスを参照のこと。このリストの他の箇所には登場しない、注目すべき抽象正多面体の例としては、正射影多面体をセルおよび頂点図形として持つ11セル{3,5,3}と57セル{5,3,5}がある。
抽象多面体の要素は、その本体（最大要素）、面、辺、頂点、およびヌル多面体または空集合です。これらの抽象要素は、通常の空間にマッピングしたり、幾何学的図形として実現したりできます。一部の抽象多面体は、整形式または忠実な実現を持ちますが、そうでないものもあります。フラグは、各ランクの要素の連結集合です。多面体の場合、それは本体、面、面の辺、辺の頂点、およびヌル多面体です。抽象多面体は、その組み合わせ対称性がフラグに対して推移的である場合、つまり、任意のフラグを多面体の対称性の下で他の任意のフラグにマッピングできる場合、正則であると言われます。抽象正則多面体は、現在も活発な研究分野です。
忠実かつ対称的に実現できない、このような正則な抽象多面体 5 つが、HSM Coxeterの著書『Regular Polytopes』（1977 年）で特定され、またJM Willsの論文「The combinatorially regular polyhedra of index 2」（1987 年）でも再び特定されました。[ 29 ]これらはすべて位相的にトーラスと同等です。各頂点の周りにn個の面を配置することによって、双曲平面のタイリングとして無限に繰り返すことができます。以下の図では、双曲タイリングの画像は多面体の画像の対応する色を持っています。
これらは以下のように2組のペアとして出現します。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{多面体（ユークリッド3次元空間に存在する）}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{ユークリッド平面タイリング}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{双曲平面タイリング}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3e3112344f5e050eb160928c5170cabb51bcf8)
