密度（多面体）

幾何学において、星型多面体の密度は、2 次元から高次元への巻数の概念の一般化であり、多面体の対称中心の周りの多面体の巻数を表します。密度は、中心から無限大に向かって光線を通し、その光線が多面体の面のみを通り、低次元の特徴は通らないようにし、通過する面の数を数えることで決定できます。この数が光線の選択に依存せず、中心点自体がどの面上にもない多面体の場合、密度は交差する面の数で与えられます。

同じ計算は、対称性のない凸多面体でも、多面体の内部の任意の点を中心として選択することで実行できます。これらの多面体の場合、密度は 1 になります。より一般的には、自己交差しない (非交差) 多面体の場合、同様の計算で密度を 1 として計算できます。この計算では、多面体の面のみを通過する内部点からの光線を選択し、この光線が多面体の内部から外部を通過するときに 1 を加算し、この光線が多面体の外部から内部を通過するときに 1 を減算します。ただし、交差に対するこの符号の割り当ては、明確に定義された内部と外部を持たない星型多面体には一般には適用されません。

重なり合う面を持つテッセレーションでは、同様に密度を任意の点を覆う面の数として定義することができます。^[1]

多角形の密度は、多角形の境界がその中心の周りを巻く回数です。凸多角形、およびより一般的には単純な多角形（自己交差しない）の場合、ジョルダン曲線定理により、密度は 1 です。

多角形の密度は、その回転数とも呼ばれます。回転数は、すべての頂点の回転角度の合計を360° で割った値です。これは、平面上のすべての一筆書きパスに対して整数になります。

複合ポリゴンの密度は、構成要素となるポリゴンの密度の合計です。

正星型多角形{ p / q }の場合、密度はqです。中心から無限遠までの光線のエッジ交差の最小数を数えることで、視覚的に決定できます。

• 
  この正五角形のような、交差が 1 つの多角形の密度は 0 です。
• 
  正五角形{5}の密度は1です。
• 
  等軸 四角形{(7/2) _α }は密度2で、通常の{7/2}と同様です。
• 
  七芒星{7/3}の密度は3です。
• 
  等芒星の六十四 卦（合成卦）2{(3/2) _α }の密度は4です。
• 
  等深十二星、{(6/5) _α } は密度 5 で、通常の {12/5} と似ています。

多面体とその双対の密度は同じです。

多面体は、頂点に集中したガウス曲率を持ち、角度の欠陥によって定義される表面と考えることができる。多面体の密度は、全曲率（すべての頂点の合計）を4πで割ったものに等しい。^[2]

たとえば、立方体には8 つの頂点があり、各頂点には 3 つの正方形があり、角度の欠陥は π/2 になります。8×π/2=4π。したがって、立方体の密度は 1 です。

単純な面と頂点図形を持つ多面体の密度は、オイラー特性χの半分です。種数がgの場合、密度は 1- gです。

χ = V − E + F = 2 D = 2(1- g ) です。

• 
  位相球多面体の密度は立方体と同様に1です。v =8、e=12、f=6。
  
• 
  種数1のドーナツ型多面体の密度はゼロで、この六角形の形状は、
  v=24、e=48、f=24 です。
• 
  種数 5 のトロイドの密度は-4です。このスチュワート トロイドは
  v=72、e=168、f=88 です。

アーサー・ケイリーは密度を利用して、オイラーの多面体公式( V − E + F = 2 ) を正星型多面体に応用しました。ここで、d _{v は}頂点図形の密度、d _fは面の密度、D は多面体全体の密度です。

${\displaystyle d_{v}v-e+d_{f}f=2D}$^[3]

例えば、大二十面体{3, 5/2}は、20の三角形の面（d _f  = 1）、30の辺、12の五角形の頂点図形（d _v  = 2）を持ち、

2·12 − 30 + 1·20 = 14 = 2 D .

これは密度が 7 であることを意味します。修正されていないオイラーの多面体公式は、小さな星型十二面体{5/2, 5} とその双対大十二面体{5, 5/2} では成り立ちません。この場合、V − E + F = −6 となります。

正星型多面体は 2 つの双対で存在し、各図形の密度はその双対と同じになります。1 つの対 (小星型十二面体 - 大十二面体) の密度は 3 で、もう 1 つの対 (大星型十二面体- 大二十面体) の密度は 7 です。

エドマンド・ヘスは、いくつかの面が他の面の上に折り返される可能性のある、さまざまな種類の面を持つ星型多面体の公式を一般化しました。結果として得られる密度の値は、関連する球状多面体が球を覆う回数に対応します。

${\displaystyle \sum _{i}d_{vi}v_{i}-e+\sum _{i}d_{fi}f_{i}=2D}$

これにより、コクセターらは、 1つの頂点タイプと複数の面タイプを持つ均一な多面体の大部分の密度を決定することができました。 ^[4]

• 
  2回巻かれた八角柱の密度は2、{8/2}×{} です。ここではわかりやすくするために頂点をずらして表示しています。v
  =16、e=24、
  f ₁ =8 {4}、f ₂ =2 {8/2} 、d _f1 =1、d _f2 =2、d _v
  =1です。
• 
  五芒星の密度、{5/2}×{}は2です。v
  =10、e=15、
  f ₁ =5 {4}、f ₂ =2 {5/2}、
  d _f1 =1、d _f2 =2です。

いくつかの面が中心を通過する半多面体の場合、密度は定義できません。 向き付け不可能な多面体も、明確に定義された密度を持ちません。

通常の星型4 次元多面体(シュレーフリ・ヘス 4 次元多面体と呼ばれる)は 10 個あり、密度は 4、6、20、66、76、191 です。これらは、自己双対の密度 6 および密度 66 図形を除いて、双対になっています。

• コクセター、HSM; Regular Polytopes、（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8 
• Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954)、「均一多面体」、ロンドン王立協会哲学論文集。シリーズ A。数学および物理科学、246 (916): 401–450、doi :10.1098/rsta.1954.0003、ISSN  0080-4614、JSTOR  91532、MR  0062446
• ウェニンガー、マグナス J. (1979)、「多面体密度の概念への入門」、球状モデル、CUP アーカイブ、pp. 132–134、ISBN 978-0-521-22279-2

• Weisstein、Eric W.「多角形密度」。MathWorld。