ガウス周期

数学、特に数論の分野では、ガウス周期は1の平方根の和の一種です。この周期を用いることで、ガロア理論や調和解析に関連する円分体における明示的な計算が可能になります。離散フーリエ変換を参照してください。ガウス周期は、円分と呼ばれる古典的な理論において基本的な概念です。これと密接に関連しているのがガウス和で、これは周期の線形結合である指数和の一種です。

その名の通り、周期はガウスによって導入され、彼のコンパスと定規による作図理論の基礎となった。例えば、十七角形の作図（彼の名声を高めた公式）は、このような周期の代数に依存しており、

${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)=\zeta +\zeta ^{16}\,}$

これは、1の17乗根を含む例です。

${\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{17}}\right).}$

整数n > 1 が与えられたとき、H を乗法群の任意の部分群とする。

${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

nを法とする可逆剰余の、そして、

${\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right).}$

ガウス周期Pは、 1のn乗根の和である。$\displaystyle \zeta ^{a}}$、 どこ${\displaystyle a}$GにおけるHの固定された剰余類のすべての要素を走査します。

Pの定義は、フィールドトレースの観点からも述べることができる。

${\displaystyle P=\operatorname {Tr} _{\mathbb {Q} (\zeta )/L}(\zeta ^{j})}$

Q ( ζ )の何らかの部分体Lと、 nと互いに素なjについて、これはGとH をそれぞれQ ( ζ )/ QとQ ( ζ )/ L の ガロア群と同一視することで、前の定義に対応します。jの選択によって、前の定義におけるG内のHの剰余類の選択が決まります。

nが素数p > 2の場合が最も単純です。この場合、Gは位数p − 1の巡回群であり、p − 1の因数dごとに位数dの部分群Hが1つ存在します。例えば、Hの指数が2の場合を考えてみましょう。この場合、Hはpを法とする2次剰余から構成されます。このHに対応して、ガウス周期が得られます。

${\displaystyle P=\zeta +\zeta ^{4}+\zeta ^{9}+\cdots }$

( p - 1)/2個の二次剰余について合計し、もう一方の周期P*は( p - 1)/2個の二次非剰余について合計する。

${\displaystyle P+P^{*}=-1}$

左辺は1のすべての原始p乗根を足し合わせているので、 PはQの2次拡大に含まれることがわかります。したがって、ガウスが知っていたように、Pは整数係数の2次方程式を満たします。和Pの2乗を評価することは、1とp - 1の間に2次剰余がいくつ続くかを数える問題と関連しています。解法は初等的です（今で言うところの、円錐曲線である曲線の局所ゼータ関数を計算する）。

( P − P *) ² = pまたは− p、それぞれp = 4 m + 1 または 4 m + 3 の場合。

したがって、これにより、どの二次体がQ (ζ)に含まれるかに関する正確な情報が得られます。（これは代数的整数論における分岐論法によっても導き出すことができます。二次体を参照してください。）

ガウスが最終的に示したように、P − P * を評価するには、どちらの場合も、正しい平方根は正の平方根（それぞれi倍の正の実数）である。したがって、周期Pの明示的な値は次のように与えられる。

${\displaystyle P={\begin{cases}{\frac {-1+{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{if }}p=4m+1,\\[6pt]{\frac {-1+i{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{if }}p=4m+3.\end{cases}}}$

後述するように、ガウス周期は、現在一般にガウス和（またはガウス和）と呼ばれる、別の種類の1の根の和と密接に関連しています。上記の量P − P * は、 pを法とする二次ガウス和であり、ガウス和の最も単純な非自明な例です。P − P * は次のように書くこともできます。

$\displaystyle \sum \chi (a)\zeta ^{a}}$

どこ${\displaystyle \chi (a)}$ここで はルジャンドル記号( a / p )を表し、和はpを法とする剰余類について取られます。より一般的には、ディリクレ指標χ mod nが与えられた場合、 χ に関連付けられたガウス和 mod n は次のようになります。

${\displaystyle G(k,\chi )=\sum _{m=1}^{n}\chi (m)\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right).}$

特別なケースとして${\displaystyle \chi =\chi _{1}}$主ディリクレ指標の場合、ガウス和はラマヌジャン和に帰着する。

${\displaystyle G(k,\chi _{1})=c_{n}(k)=\sum _{m=1;(m,n)=1}^{n}\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right)=\sum _{d|(n,k)}d\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}$

ここでμはメビウス関数である。

ガウス和${\displaystyle G(k,\chi )}$ガウス和は数論において遍在しており、例えばL関数の関数方程式に頻繁に現れる。（ガウス和はある意味で、ガンマ関数の有限体版である。）

ガウス周期はガウス和と関連している${\displaystyle G(1,\chi )}$指標χがH上で自明である場合。このようなχ は、G内のHの固定された剰余類のすべての要素aで同じ値をとります。たとえば、上述の二次指標 mod p は、各二次剰余で値 1 をとり、各二次非剰余で値 -1 をとります。ガウス和${\displaystyle G(1,\chi )}$したがって、 はガウス周期 (係数χ ( a )を持つ) の線形結合として表すことができ、群 ( Z / n Z ) ^×の直交関係の結果として、逆もまた真である。言い換えれば、ガウス周期とガウス和は互いにフーリエ変換である。ガウス周期は一般に小さな体に属する。たとえば、n が素数pの場合、χ( a )の値は( p − 1) 乗根である。一方、ガウス和はより優れた代数的性質を持つ。

• H. ダベンポート、HL モンゴメリー( 2000)。乗法数論。シュプリンガー。p.  18。ISBN 0-387-95097-4。