ウィットグループ

数学において、体のウィット群は、エルンスト・ウィットにちなんで名付けられ、その要素が体上の 対称双線型形式によって表されるアーベル群です。

特性が2でない体kを固定します。すべてのベクトル空間は有限次元であると仮定します。対称双線型形式を備えた2つの空間は、一方が他方から代謝二次空間、つまりノルム0のベクトルを持つ非退化2次元対称双線型形式の0個以上のコピーを追加することによって得られる場合、同等であると言います。[ ^{1]各クラスは、}ウィット分解のコア形式 によって表されます。^[2]

kのウィット群は、非退化対称双線型形式の同値類のアーベル群W ( k )であり、群演算は形式の直交直和に対応する。これは、1 次元形式のクラスによって加法的に生成される。^[3] クラスには異なる次元の空間が含まれることがあるが、次元の偶奇性はクラス全体で一定であるため、rk: W ( k ) → Z /2 Z は準同型である。^[4]

ウィット群における有限位数の元は位数が 2 のべき乗である。^{[5] [6]}捩れ部分群はW ( k )からW ( k ^py )への関数写像の核であり、 k ^pyはkのピタゴラス閉包である。^[7]これは平方和がゼロでないフィスター形式によって生成される。[ 8 ] ^kが形式的に実数でない 場合、ウィット群は捩れであり、指数は2 のべき乗である。 ^[9]ウィット群における捩れが有限である場合、体kの 高さは、捩れの指数であり、そうでない場合は ∞ である。^[8] ${\displaystyle \langle \!\langle w\rangle \!\rangle =\langle 1,-w\rangle }$${\displaystyle w}$

kのウィット群は、2 次形式のテンソル積を使用して環積を定義することにより、可換環構造を与えることができます。これはウィット環W ( k )と呼ばれることもありますが、「ウィット環」という用語は、ウィットベクトルのまったく異なる環を指す場合もよく使用されます。

この環の構造を議論するために、対称双線型形式と二次形式を識別できるように、 kの特性が 2 に等しくないと仮定します。

階数 2 を法とする準同型の核は、ウィット環^[4]の素イデアルIであり、基本イデアルと呼ばれる。^[10] W ( k )からZへの 環準同型は、順序付けに応じて符号を取ることで、kの体順序付けに対応する。 ^[10] ウィット環はヤコブソン環である。^{[9]ウィット環が}ネーター環となるのは、有限個の平方類が存在する場合、つまり、 kの平方がkの乗法群の有限インデックスの部分群を形成する場合のみで ある。^[11]

kが形式的に実数でない場合、基本イデアルはWの唯一の素イデアルであり^{[12] 、正確には}冪零元から構成される。^[9] Wは局所環であり、クルル次元は0である。 ^[13]

kが実数の場合、冪零元はまさに有限加法順序の元であり、これらはすべての符号がゼロである形式である。^[14] Wはクルル次元1を持つ。^[13]

kが実ピタゴラス体であれば、Wの零因子は符号がゼロとなる元である。そうでなければ、零因子はまさに基本イデアルである。^{[5] [15]}

k が正錐Pを持つ順序体である場合、シルベスターの慣性法則はk上の二次形式に対して成り立ち、シグネチャはW ( k )からZへの環準同型を定義し、核は素イデアルK _Pである。これらの素イデアルはkの順序付けX _kと一対一であり、 W ( k )の最小素イデアルスペクトルMinSpec  W ( k ) を構成する。この一対一は、ザリスキー位相を持つ MinSpec W ( k ) と、ハリソン位相を持つ順序付けの集合X _kとの間の 同相写像である。^[16]

基本イデアルのn乗はn倍のフィスター形式によって加法的に生成される。[ 17 ^]

• Cのウィット環、そして実際のところ任意の代数閉体や二次閉体もZ /2 Zである。^[18]
• Rのウィット環はZである。^[18]
• _{qが奇数の有限体Fq}のウィット環は 、 q≡3mod4のときZ / 4Zであり、q≡1mod4のとき群環( Z /2Z ) [ F* / F* ² ]と同型である。^[19]
• 4を法として1に合同なノルムの最大イデアルを持つ局所体のウィット環は、群環( Z /2Z ) [ V ]と同型である。ここでVはクライン4群である。^[20]
• _{4を法として3と合同なノルムの}最大イデアルを持つ局所体のウィット環は( Z /4Z ) [ C2 ]であり、 C2_は位数2の巡回群である。 ^[20]
• Q ₂のウィット環は32の位数であり、^{[21]で与えられる。}

${\displaystyle \mathbf {Z} _{8}[s,t]/\langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4\rangle .}$

二次形式の不変量の中には、ウィット類上の関数とみなせるものがある。次元を法として2がクラス上の関数であることは既に述べたとおりである。判別式も明確に定義されている。二次形式のハッセ不変量もまた、定義体のブラウアー群に値を持つウィット類上の明確に定義された関数である。 ^[22]

K、Q ( K )上の環を、 d がK* / K* ²に属し、eがZ /2 Zに属するペア ( d、  e )の集合として定義します。加算と乗算は次のように定義されます。 

${\displaystyle (d_{1},e_{1})+(d_{2},e_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2 },e_{1}+e_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1})\cdot (d_{2},e_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1} },e_{1}e_{2}).}$

すると、 W ( K )からこれへの射影環準同型が存在する。^これはクラスを判別式とランクに2を法として写像することによって得られる。核はI2である。^[23] Q の元はKの分類次数付き二次拡大とみなすことができる。^[24]

判別式、ランクmod2、ハッセ不変量の3つ組はW ( K )からブラウアー・ウォール群BW( K )への写像を定義する。^[25]

K を、付値v、一様体 π 、標数 2 でない留数体k を持つ完全な局所体とする。対角形式 ⟨ a ₁ ,... a _n ⟩ を ⟨ u ₁ ,... u _n ⟩に持ち上げる単射W ( k ) → W ( K ) が存在する。ここでu _{i は}、 kに像a _iを持つKの単位である。これにより、次式が得られる。

${\displaystyle W(K)=W(k)\oplus \langle \pi \rangle \cdot W(k)}$

W ( k )をW ( K )内のその像と同一視する。^[26]

K を数体とする。K 上の二次形式に対して、ヒルベルト記号に対応するすべての有限位置に対してハッセ不変量± 1が存在する。数体上の形式の不変量は、次元、判別式、すべての局所ハッセ不変量、および実埋め込みから生じるシグネチャである。 ^[27]

K上の記号環Sym( K ) を、dがK* / K* ²に属し、eがZ /2に属し、 f がKの位で添字付けされた要素 ±1 のシーケンスである 3 つの組 ( d , e , f ) の集合として定義します。 ただし、 fの項のうち有限個を除くすべての項は+1 であり、複素位の値は +1 であり、 fのすべての項の積は+1 であるという条件が適用されます。[ a , b ] をヒルベルト記号のシーケンスとすると、これは先ほど述べたfの条件を満たします。^[28]

加算と乗算は次のように定義します。

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}][-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}}]f_{1}f_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})\cdot (d_{2},e_{2},f_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2},[d_{1},d_{2}]^{1+e_{1}e_{2}}f_{1}^{e_{2}}f_{2}^{e_{1}})\ .}$

そして、クラスを判別式、ランクmod 2、ハッセ不変量の列に写像することで得られるW ( K )からSym( K )への射影環準同型が存在する。核はI3^である。^[29]

シンボルリングはブラウアー・ウォール群の実現である。^[30]

ハッセ・ミンコフスキー定理は、注入が存在することを示唆している^[31]

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\rightarrow W(\mathbf {R} )\oplus \prod _{p}W(\mathbf {Q} _{p})\ .}$

これを具体的にし、"第 2 剰余準同型" W( Q _p ) → W( F _p ) を使用してイメージを計算します。マップ W( Q ) → W( Q _p ) と組み合わせると、グループ準同型 ∂ _p : W( Q ) → W( F _p ) が得られます ( p = 2 の場合、∂ _{2 を}判別式の 2 進値 (mod 2) として 定義します)。

すると、分割された正確なシーケンスが得られる^[32]

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow W(\mathbf {Q} )\rightarrow \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{ p})\rightarrow 0\ }$

これは同型として書くことができる

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p}) \ }$

最初の要素は署名である。^[33]

k を2 に等しくない特性の体とします。偶数次元の形式 (「基本イデアル」) のイデアルIのべき乗は、下降するフィルタリングを形成し、関連する次数付きリング、つまり商の直和を考慮することができます。をウィット環の要素として考えられる二次形式とします。すると、 はIの要素であり、それに応じて形式の積に なります。${\displaystyle W(k)}$${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$${\displaystyle \langle a\rangle }$${\displaystyle ax^{2}}$${\displaystyle \langle a\rangle -\langle 1\rangle }$

${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =(\langle a_{1}\rangle -\langle 1\rangle )\cdots (\langle a_{n}\ rangle -\langle 1\rangle )}$

は の元であるが、ジョン・ミルナーは1970 年の論文^[34]でからへの写像がを に写す場合、多重線型であり、スタインバーグ元 (ある および に対して となる元で となるもの) を 0 に写すことを証明した。これは、この写像がkのミルナー環から次数付きウィット環への準同型写像を定義することを意味する。ミルナーはまた、この準同型写像は 2 で割り切れる元を 0 に写し、それが全射であることを示した。同じ論文で、ミルナーはこの準同型写像がすべての体k (標数が 2 と異なる) に対して同型であるという予想を立てた。これは二次形式に関するミルナー予想として知られるようになった。 ${\displaystyle I^{n}.}$ ${\displaystyle (k^{*})^{n}}$${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}=1}$

この予想は、1996年にドミトリー・オルロフ、アレクサンダー・ヴィシック、ウラジミール・ヴォエヴォツキー^[35]によって、の場合について証明され（2007年に出版）、任意の体上の二次形式の構造についての理解が深まりました。 ${\displaystyle {\textrm {char}}(k)=0}$

グロタンディーク・ウィット環 GW は、直交和で与えられる加法とテンソル積で与えられる乗法を持つ非特異二次空間の等長類によって生成される関連構成である。双曲面によって異なる 2 つの空間はGWでは同一視されないため、加法の逆はグロタンディークによって発見された構成 (グロタンディーク群を参照) によって形式的に導入される必要がある。次元によって与えられる自然な準同型GW → Zが存在する。つまり、体が二次的に閉じている場合と同型である場合とでは、このときが等しい。^{[18]双曲空間は}GWにイデアルを生成し、ウィット環Wはその商である。^[36]外冪は グロタンディーク・ウィット環にλ 環という追加の構造を与える。^[37]

• Cのグロタンディーク-ウィット環、そして任意の代数閉体や二次閉体もZである。^[18]
• Rのグロタンディーク・ウィット環は群環Z [ C ₂ ]と同型である。ここでC _2は位数2の巡回群である。^[18]
• 奇標数を持つ任意の有限体のグロタンディーク・ウィット環は、第2成分に単純な乗法を持つZ⊕Z/2Zである。[ 38 ]元⁽ 1, 0)は、有限体においてaが平方数ではない二次形式⟨a⟩に対応する。
• 4を法として1に合同なノルムの最大イデアルを持つ局所体のグロタンディーク-ウィット環はZ⊕ ( Z /2Z ) 3^と同型である。^[20]
• 4を法として3と同値なノルムの最大イデアルを持つ局所体のグロタンディーク-ウィット環はZ' ⊕ Z /4 Z ⊕ Z /2 Zである。^[20]

ファビアン・モレル^{[39] [40]は、}完全体のグロタンディーク・ウィット環が球面のモティヴィック安定ホモトピー群π _0,0 (S ^0,0 )と同型であることを示した（「A¹ホモトピー理論」を参照）。

2 つの体は、そのウィット環が同型である場合にウィット同値であると言われます。

大域体に対しては、局所から大域への原理がある。すなわち、2 つの大域体がウィット同値であるためには、それらの場所の間に一対一の関係があり、対応する局所体がウィット同値である場合に限る。^[41] 特に、2 つの数体KとLがウィット同値であるためには、 Kの場所とLの場所の間に一対一の関係Tがあり、それらの平方類群の間に群同型t があり、次数 2 のヒルベルト記号が保存されている場合に限る。この場合、ペア ( T、t ) は相互同値または次数 2 のヒルベルト記号同値と呼ばれる。^[42] この条件のいくつかのバリエーションや拡張、たとえば「tame 次数l のヒルベルト記号同値」も研究されている。^[43]

ウィット群は、任意の* 環R上の歪対称形式、二次形式、より一般的にはε 二次形式に対しても同様に定義できます。

結果として得られる群（およびその一般化）は、偶数次元対称L群 L ^{2 k} ( R ) および偶数次元二次L群 L _{2 k} ( R ) として知られています。二次L群は 4 周期で、L ₀ ( R ) は (1) 二次形式（対称）のウィット群、L ₂ ( R ) は (-1) 二次形式（歪対称）のウィット群です。対称L群はすべての環に対して 4 周期ではないため、一般化の精度は低くなります。

Lグループは手術理論の中心的なオブジェクトであり、手術の正確なシーケンスの 3 つの項の 1 つを形成します。

• フィールドの高さの減少

• コナー、ピエール E. ; ペルリス、ロバート (1984)。代数的数体のトレース形式の調査。純粋数学シリーズ。第 2 巻。ワールド サイエンティフィック。ISBN 9971-966-05-0.ZBL0551.10017  。​
• ガリバルディ、スキップ、メルクリェフ、アレクサンダー、セール、ジャン＝ピエール（2003）。ガロアコホモロジーにおけるコホモロジー不変量。大学講義シリーズ。第28巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3287-5.ZBL1159.12311  。​
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• ウィットはシュプリンガー数学百科事典に登場