直交対角化

線形代数では、正規行列（例えば対称行列）の直交対角化は、直交座標変換による対角化である。 ^{[ 1 ]}

以下は、直交座標変換X = PYによってR ⁿ上の二次形式q ( x )を対角化する直交対角化アルゴリズムです。^{[ 2 ]}  

• ステップ 1: qを表す対称行列Aを見つけ、その特性多項式Δ( t ) を見つけます。
• ステップ2：Aの固有値、つまりΔ( t )の根を求めます。
• ステップ 3:ステップ 2 で得られたAの各固有値λに対して、その固有空間の直交基底を見つけます。
• ステップ4：ステップ3で得られたすべての固有ベクトルを正規化し、それによってR ⁿの正規直交基底を形成します。
• ステップ5：Pを、ステップ4で正規化された固有ベクトルを列とする行列とする。

すると、X = PYは必要な直交座標変換であり、P ^T A ‍ Pの対角要素は、 Pの列に対応する固有値λ ₁、 ...、λ _nになります。

このような分解はスペクトル定理によって存在する。

• マキシム・ボシェ（EPR・デュヴァル共著）（1907）『高等代数学入門』第 45節「二次形式の平方和への還元」 （ HathiTrust経由）