4次元多様体の交差形式

数学において、向き付けられたコンパクトな4次元多様体の交点形式は、4次元多様体の第2（共）ホモロジー群上の特別な対称双線形形式である。それは、滑らかな構造の存在に関する情報を含め、4次元多様体のトポロジーの多くを反映している。

させて${\displaystyle M}$閉じた4次元多様体（PLまたは滑らか）とする。三角形分割を行う。${\displaystyle T}$の${\displaystyle M}$で表す${\displaystyle T^{*}}$2つの細胞分割。クラスを表す${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$による${\displaystyle 2}$-サイクル${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$モジュロ${\displaystyle 2}$結合として見なされる${\displaystyle 2}$Tと の単体${\displaystyle T^{*}}$それぞれ。交差形式をモジュロで定義します。${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \cap _{M,2}:H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

式により

${\displaystyle a\cap _{M,2}b=|A\cap B|{\bmod {2}}.}$

これは明確に定義されています。なぜなら、サイクルと境界の交点は偶数個の点から構成されるからです（サイクルと境界の定義による）。

もし${\displaystyle M}$は、同様に（つまり、標識との交差点を数えることによって）交差の形状を定義します。${\displaystyle 2}$nd相同性グループ

${\displaystyle Q_{M}=\cap _{M}=\cdot _{M}:H_{2}(M;\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} .}$

横断性の概念を用いると、以下の結果（交差形式の同等の定義を構成する）を述べることができる。

• クラスの場合${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$閉曲面（または${\displaystyle 2}$-サイクル モジュロ${\displaystyle 2}$）${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$横方向に交わり、${\displaystyle a\cap _{M,2}b=|A\cap B|\mod 2.}$

• もし${\displaystyle M}$指向性があり、クラス${\displaystyle a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} )}$閉じた向き付けられた曲面（または${\displaystyle 2}$-サイクル）${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$横方向に交わるすべての交点${\displaystyle A\cap B}$サインがあります${\displaystyle +1}$または${\displaystyle -1}$向きによって、${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$これはこれらの符号の合計です。

カップ製品の概念を用いて${\displaystyle \smile }$双対（したがって同等）の定義を次のように与えることができる。${\displaystyle M}$閉じた向き付けられた4次元多様体（PLまたは滑らか）とする。 上での交差形式を定義する。${\displaystyle 2}$ndコホモロジー群

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M;\mathbb {Z} )\times H^{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} }$

式により

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle .}$

カップ積の定義は、多様体のホモロジー上の交差形式の上記の定義と双対（したがって類似）であるが、より抽象的である。しかし、カップ積の定義は複体や位相多様体にも一般化できる。これは、複体や位相多様体（PL多様体や滑らかな多様体だけでなく）に関心のある数学者にとって利点となる。

4次元多様体が滑らかな場合、ド・ラームコホモロジーでは、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は${\displaystyle 2}$-形式${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$すると、交差形式は積分によって表現できる。

${\displaystyle Q(a,b)=\int _{M}\alpha \wedge \beta }$

どこ${\displaystyle \wedge }$はウェッジ積です。

カップ積を用いた定義には、より単純なモジュロの類似物がある。${\displaystyle 2}$（これは向き付け不可能な多様体にも適用できる。）もちろん、これはド・ラームコホモロジーには当てはまらない。

ポアンカレ双対性によれば、交差形式は（ねじれを除いて）ユニモジュラーである。

Wuの公式によれば、スピン4多様体は偶数交差形式を持つ必要があり、すなわち、${\displaystyle Q(x,x)}$はすべてのxに対して偶数である。単連結な滑らかな 4 次元多様体 (またはより一般的には、第 1 ホモロジーに 2 次元ねじれが存在しない多様体) の場合、逆が成り立つ。

交差形式の符号は重要な不変量である。4次元多様体が5次元多様体を境界とするのは、符号がゼロの場合に限る。ファン・デル・ブライの補題によれば、スピン4次元多様体の符号は8の倍数である。実際、 ロクリンの定理によれば、滑らかなコンパクトスピン4次元多様体の符号は16の倍数である。

マイケル・フリードマンは、交差形式を用いて単連結な位相的4次元多様体を分類した。整数上の任意のユニモジュラー対称双線形形式Qが与えられると、交差形式Qを持つ単連結な閉4次元多様体Mが存在する。Q が偶数の場合、そのような多様体は 1 つだけである。Q が奇数の場合、 2 つ存在し、少なくとも 1 つ (場合によっては両方) は滑らかな構造を持たない。したがって、同じ交差形式を持つ 2 つの単連結な閉滑らかな4次元多様体は同相である。奇数の場合、2 つの多様体は、そのカービー・ジーベンマン不変量によって区別される。

ドナルドソンの定理によれば、正定値交差形式を持つ滑らかな単連結4次元多様体は、対角線（スカラー1）交差形式を持つ。したがって、フリードマンの分類によれば、 E8多様体のように、滑らかにできない4次元多様体は多数存在することになる。

• 交差点フォーム
• 交点_没入回数
• カービー、ロビオン（1989）「4次元多様体のトポロジー」、数学講義ノート1374、シュプリンガー・フェルラーク
• リンクフォーム
• スコルパン、アレクサンドル（2005）、『4次元多様体のワイルドな世界』、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3749-4
• スコペンコフ、アルカディ（2015）、『幾何学的観点からの代数トポロジー』（ロシア語）、MCCME、ISBN 978-5-4439-0293-7