補足イベント

確率論では、任意のイベントAの補イベントはイベント [not  A ]、つまりAが発生しないイベントです。 ^[1] イベントAとその補イベント [not  A ] は相互に排他的かつ網羅的です。一般に、 AとBが相互に排他的かつ網羅的であるイベントBは 1 つだけであり、そのイベントがAの補イベントです。イベントAの補イベントは通常、 A′、A ^c、A 、またはAと表されます。イベントが与えられた場合、イベントとその補イベントはベルヌーイ試行を定義します。つまり、イベントが発生したかどうかです。 ${\displaystyle \neg }$

たとえば、一般的なコインを投げて、端に落ちないと仮定すると、コインは「表」か「裏」のどちらかになります。これら 2 つの結果は相互に排他的 (つまり、コインは同時に表と裏の両方を出すことはできない) であり、集合的に網羅的 (つまり、これら 2 つの間に表されない可能性のある結果は存在しない) であるため、互いに補数となります。つまり、[表] は論理的に [裏でない] と等しく、[裏] は [表でない] と等しくなります。

ランダムな実験では、すべての起こり得る事象（標本空間）の確率の合計は1でなければなりません。つまり、すべての試行で何らかの結果が発生しなければなりません。2つの事象が補事象であるためには、それらが集合的に網羅的で、標本空間全体を埋める必要があります。したがって、事象の補事象の確率は、1からその事象の確率を引いたものでなければなりません。[ ^2]つまり、事象Aの場合、

${\displaystyle P(A^{c})=1-P(A).}$

同様に、ある事象とその補事象の確率の合計は常に 1 になります。ただし、これは、確率の合計が 1 になる 2 つの事象が互いの補事象であるという意味ではありません。補事象は相互排他性の条件も満たす必要があります。

普通の 6 面サイコロを 8 回投げるとします。少なくとも 1 回は「1」が出る確率はどれくらいでしょうか。

こう言いたくなるかもしれない

Pr([1 回目の試行で「1」] または [2 回目の試行で「1」] または ... または [8 回目の試行で「1」])

= Pr(1 回目の試行で "1") + Pr(2 回目の試行で "1") + ... + P(8 回目の試行で "1")

= 1/6 + 1/6 + ... + 1/6

= 8/6

= 1.3333...

確率は 1 を超えることはできないため、この結果は正しくありません。確率が加算された 8 つのイベントは相互に排他的ではないため、この手法は間違っています。

この重複は、包含排除の原理によって解決できます。つまり、この場合は、補完的なイベントの確率を見つけてそれを 1 から引くだけで解決できます。

Pr(少なくとも 1 つの "1") = 1 − Pr("1" がない)

= 1 − Pr([1 回目の試行で「1」なし]かつ[2 回目の試行で「1」なし]かつ...かつ[8 回目の試行で「1」なし])

= 1 − Pr(1 回目の試行で "1" がない) × Pr(2 回目の試行で "1" がない) × ... × Pr(8 回目の試行で "1" がない)

= 1 −(5/6) × (5/6) × ... × (5/6)

= 1 − (5/6) ⁸

= 0.7674...

• 論理的補完
• 排他的論理和
• 二項確率

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