可能性理論

可能性理論は、特定の種類の不確実性を扱うための数学理論であり、確率理論の代替となるものです。可能性と必然性の尺度は0から1までの範囲で表され、それぞれ不可能から可能、不必要から必要までを表します。可能性理論は、ロトフィ・ザデー教授が1978年にファジィ集合とファジィ論理の理論の拡張として初めて提唱しました。ディディエ・デュボワとアンリ・プラードもその発展に貢献しました。それ以前の1950年代には、経済学者のGLS・シャックルが、潜在的な驚きの度合いを記述するためにミニマックス代数を提案しました。

簡略化のため、議論領域Ωは有限集合であると仮定する。可能性尺度は関数である。${\displaystyle \Pi }$から$2Ω$[0,  1] に対して、以下の条件を満たす。

公理1：${\displaystyle \Pi (\varnothing )=0}$

公理2：${\displaystyle \Pi (\Omega )=1}$

公理3：${\displaystyle \Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)}$互いに素な部分集合に対して${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$[ ^{1 ]​}

したがって、有限確率空間における確率と同様に、可能性測度は単一集合上での振る舞いによって決定される。

${\displaystyle \Pi (U)=\max _{\omega \in U}\Pi (\{\omega \}).}$

公理1は、Ωが世界の将来の状態を網羅的に記述しているという仮定として解釈できる。なぜなら、Ω外の要素には信念の重みが与えられないことを意味するからである。

公理2は、証拠から${\displaystyle \Pi }$構築された構造には矛盾がありません。厳密に言えば、Ωには可能性1を持つ要素が少なくとも1つ存在することを意味します。

公理3は確率論における加法性公理に対応する。しかし、重要な実際的な違いがある。可能性理論は計算上より便利である。なぜなら、公理1～3は以下を意味するからである。

${\displaystyle \Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)}$任意の部分集合に対して${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$。

各構成要素の可能性から和集合の可能性を知ることができるため、可能性は和集合演算子に関して合成的であると言えます。ただし、積集合演算子に関しては合成的ではないことに注意してください。一般に、次のようになります。

${\displaystyle \Pi (U\cap V)\leq \min \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)\leq \max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right).}$

Ωが有限でない場合、公理3は以下のように置き換えることができる。

すべてのインデックスセットについて${\displaystyle I}$部分集合が${\displaystyle U_{i,\,i\in I}}$ペアごとに互いに素である、${\displaystyle \Pi \left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}\Pi (U_{i}).}$

確率論では、事象が発生する可能性を表すのに確率という単一の数値を用いるのに対し、可能性論では事象の可能性と必然性という2つの概念を用いる。任意の集合に対して${\displaystyle U}$必要性尺度は次のように定義される。

${\displaystyle N(U)=1-\Pi ({\overline {U}})}$。

上記の式において、${\displaystyle {\overline {U}}}$の補数を表す${\displaystyle U}$つまり、${\displaystyle \Omega }$に属さない${\displaystyle U}$次のことは容易に証明できる。

${\displaystyle N(U)\leq \Pi (U)}$いかなる場合でも${\displaystyle U}$

そして、次のことも：

${\displaystyle N(U\cap V)=\min(N(U),N(V))}$。

確率論とは異なり、可能性は自己双対ではないことに注意してください。つまり、あらゆる事象について${\displaystyle U}$不等式のみが存在します。

${\displaystyle \Pi (U)+\Pi ({\overline {U}})\geq 1}$

しかし、以下の双対性規則が成り立つ。

あらゆるイベントに${\displaystyle U}$、 どちらか${\displaystyle \Pi (U)=1}$、 または${\displaystyle N(U)=0}$

したがって、ある出来事に関する信念は、数値とビットで表現することができる。

以下のように解釈できる4つのケースがある。

${\displaystyle N(U)=1}$つまり${\displaystyle U}$必要である。${\displaystyle U}$それは確かに真実です。それは、${\displaystyle \Pi (U)=1}$。

${\displaystyle \Pi (U)=0}$つまり${\displaystyle U}$不可能だ。${\displaystyle U}$それは確かに誤りです。それは、${\displaystyle N(U)=0}$。

${\displaystyle \Pi (U)=1}$つまり${\displaystyle U}$あり得る。もし${\displaystyle U}$発生します。${\displaystyle N(U)}$制約のない。

${\displaystyle N(U)=0}$つまり${\displaystyle U}$不要です。${\displaystyle U}$発生しません。${\displaystyle \Pi (U)}$制約のない。

最後の2つのケースの共通部分は${\displaystyle N(U)=0}$そして${\displaystyle \Pi (U)=1}$つまり、私は${\displaystyle U}$可能性理論はこのような不確定性を許容するため、古典的な二値論理ではなく、直観主義論理のような多値論理の発展形と関連している。

可能性とは異なり、ファジィ論理は和集合演算子と積集合演算子の両方に関して構成的であることに注意してください。ファジィ理論との関係は、次の古典的な例で説明できます。

• ファジー論理：ボトルが半分満たされている場合、「ボトルは満杯である」という命題の真偽レベルは0.5であると言えます。「満杯」という言葉は、ボトル内の液体の量を表すファジー述語とみなされます。
• 可能性理論：ボトルは1本あり、完全に満タンか完全に空かのどちらかです。「ボトルが満タンである可能性は0.5である」という命題は、確信の度合いを表しています。この命題における0.5を解釈する1つの方法は、次のように定義することです。オッズが1:1以上であれば、ボトルが空であると賭ける用意があり、満タンであるとは絶対に賭けません。

確率論と可能性論の間には広範な形式的な対応関係があり、加算演算子は最大値演算子に対応する。

可能性尺度は、デンプスター＝シェーファー証拠理論における妥当性尺度と整合するものと見なすことができる。可能性理論の演算子は、証拠理論の現代的な発展形である移転可能な信念モデルの演算子を極めて慎重にしたものと見なすことができる。

可能性は上限確率と見なすことができる。任意の可能性分布は、許容される確率分布の一意の信頼度集合を定義する。

${\displaystyle K=\{\,P\mid \forall S\ P(S)\leq \Pi (S)\,\}.}$

これにより、不正確な確率のツールを用いて可能性理論を研究することが可能になる。

公理 1 と公理 3 を満たすすべての関数を一般化可能性と呼びます。一般化可能性の双対を一般化必然性と呼びます。一般化必然性は、必然性論理と呼ばれる非常に単純で興味深いファジー論理に関連しています。必然性論理の演繹装置では、論理公理は通常の古典的なトートロジーです。また、通常のモーダス ポネンスを拡張するファジー推論規則が 1 つだけ存在します。このような規則は、αとα → β がそれぞれ次数λとμで証明されている場合、次数 min{ λ , μ } でβを主張できることを示しています。このような論理の理論が一般化必然性であり、完全に一貫性のある理論が必然性と一致することは容易にわかります (例えば Gerla 2001 を参照)。

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