連続一様分布

連続一様分布の 確率密度関数は$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{ba}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{for }}x<a\ {\text{ or }}\ x>b.\end{cases}}}$$

値${\displaystyle f(x)}$2つの境界で${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$これらは通常重要ではない。なぜなら、これらは価値を変えないからである。${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$任意の期間にわたって${\displaystyle [c,d],}$も${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx,}$それ以上の重要な意味もありません。時にはゼロに選ばれ、時には${\displaystyle {\tfrac {1}{ba}}.}$後者は最尤法による推定の文脈において適切である。フーリエ解析の文脈では、次の値を取ることができる。${\displaystyle f(a)}$または${\displaystyle f(b)}$である${\displaystyle {\tfrac {1}{2(ba)}},}$なぜなら、この一様関数の多くの積分変換の逆変換は、ゼロ測度の点の集合を除いて「ほとんど至るところで」等しい関数ではなく、関数自体を返すことになるからです。また、このような曖昧さを持たない符号関数とも整合しています。

任意の確率密度関数は積分すると${\displaystyle 1,}$したがって、連続一様分布の確率密度関数は、次の長方形として図示されます。${\displaystyle ba}$は底辺の長さで、${\displaystyle {\tfrac {1}{ba}}}$は高さです。基線の長さが増加すると、高さ（分布境界内の任意の特定の値における密度）は減少します。 ^{[ 4 ]}

平均に関して${\displaystyle \mu }$および分散${\displaystyle \sigma ^{2},}$連続一様分布の確率密度関数は $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\[2pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

連続一様分布の 累積分布関数は次のとおりです。$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}}$$

その逆数は次のとおりです。 $${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad {\text{ for }}0<p<1.}$$

平均に関して${\displaystyle \mu }$および分散${\displaystyle \sigma ^{2},}$連続一様分布の累積分布関数は次のとおりです。 $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}},\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}},\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}};\end{cases}}}$$

その逆数は次のとおりです。 $${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{ for }}0\leq p\leq 1.}$$

パラメータを持つ連続一様分布${\displaystyle a=0}$そして${\displaystyle b=1,}$つまり${\displaystyle U(0,1),}$これは標準一様分布と呼ばれます。

標準一様分布の興味深い特性の 1 つは、${\displaystyle u_{1}}$が標準一様分布を持つならば、${\displaystyle 1-u_{1}.}$この性質は、とりわけ、対照的な変量を生成するために使用できます。言い換えれば、この性質は反転法として知られており、連続標準一様分布を使用して、他の任意の連続分布の乱数を生成できます。 ^{[ 4 ]}もし${\displaystyle u_{1}}$は標準一様分布に従う一様乱数です。${\displaystyle U(0,1),}$それから${\displaystyle x=F^{-1}(u_{1})}$乱数を生成する${\displaystyle x}$指定された累積分布関数を持つ任意の連続分布から${\displaystyle F.}$^{[ 4 ]}

遷移点において同じ慣例が守られている限り、連続一様分布の確率密度関数は、ヘヴィサイド階段関数を用いて次のように表すこともできる。 $${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},}$$

または、矩形関数の観点からは、次のようになります。 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \operatorname {rect} \left({\frac {x-{\frac {a+b}{2}}}{b-a}}\right).}$$

符号関数の遷移点には曖昧さはありません。遷移点における半最大値規約を用いると、連続一様分布は符号関数を用いて次のように表すことができます。 $${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$$

連続一様分布の 平均（一次モーメント）は次のとおりです。$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {b+a}{2}}.}$$

この分布の2次モーメントは次のとおりです。 $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.}$$

一般的に、${\displaystyle n}$この分布の 番目のモーメントは次のとおりです。 $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}$$

この分布の 分散（2次中心モーメント）は次のとおりです。$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$$

させて${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$からiidサンプルである${\displaystyle U(0,1),}$そして${\displaystyle X_{(k)}}$になる${\displaystyle k}$このサンプルから得られた 番目の順序統計量。

${\displaystyle X_{(k)}}$ベータ分布に従い、パラメータは${\displaystyle k}$そして​${\displaystyle n-k+1.}$⁠

期待値は以下のとおりです。 $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k}{n+1}}.}$$

この事実は、 Q-Qプロットを作成する際に役立ちます。

分散は次のとおりです。 $${\displaystyle \operatorname {Var} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}.}$$

連続的に一様分布する確率変数が、固定長の任意の区間内に含まれる確率は、区間自体の位置には依存しない（ただし、区間の大きさには依存する）。${\displaystyle (\ell )}$区間が分布のサポートに含まれている限り、）

実際、もし${\displaystyle X\sim U(a,b)}$そしてもし${\displaystyle [x,x+\ell ]}$は、${\displaystyle [a,b]}$固定${\displaystyle \ell >0,}$それから： $${\displaystyle \Pr {\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},}$$ これは${\displaystyle x.}$この事実が、このディストリビューションの名前の由来となっている。

一様分布は、区間よりも一般的な集合に一般化することができる。

正式には、${\displaystyle S}$正の有限ルベーグ測度を持つボレル集合とする${\displaystyle \lambda (S),}$つまり${\displaystyle 0<\lambda (S)<+\infty .}$均一分布${\displaystyle S}$確率密度関数をゼロに定義することで指定できます${\displaystyle S}$そして常に等しい${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda (S)}}}$の上${\displaystyle S.}$

多くの特殊なケースが知られています。たとえば、集合 S が単体である場合^{[ 8 ] :セクション V、定理 2.1}。

経済学の分野では、通常、需要と補充は期待される正規分布に従わない可能性があります。そのため、ベルヌーイ過程などの他の分布モデルを使用して、確率と傾向をより適切に予測します。^{[ 11 ]}しかし、Wanke (2008) によると、まったく新しい製品が分析されているライフサイクルの初期段階で在庫管理のリードタイムを調査する特定のケースでは、一様分布の方がより有用であることがわかっています。^{[ 11 ]}このような状況では、新しい製品に関する既存のデータがない、または需要履歴が利用できないため、適切な分布や既知の分布が実際には存在しないため、他の分布は実行可能ではない可能性があります。^{[ 11 ]}この状況では、リードタイム (需要に関連) の確率変数は新しい製品では不明ですが、結果は 2 つの値の妥当な範囲に収まる可能性が高いため、一様分布が理想的です。^{[ 11 ]}したがって、リードタイムは確率変数を表します。一様分布モデルから、サイクルサービスレベルやサイクルあたりの不足など、リードタイムに関連する他の要因を計算することができた。また、計算が簡単なため、一様分布が使用されたことも指摘されている。^{[ 11 ]}

一様分布は、任意の分布からのサンプリングに役立ちます。一般的な方法として、対象となる確率変数の累積分布関数（CDF）を用いる逆変換サンプリング法があります。この方法は理論的な研究において非常に有用です。この方法を用いたシミュレーションでは対象変数のCDFを逆変換する必要があるため、CDFが閉形式で既知でない場合のために代替方法が考案されています。そのような方法の一つが棄却サンプリングです。

正規分布は、逆変換法が効率的でない重要な例です。しかし、ボックス・ミュラー変換という正確な方法があり、これは逆変換を用いて2つの独立した一様分布乱数を2つの独立した正規分布乱数に変換します。

アナログ-デジタル変換では、量子化誤差が発生します。この誤差は、丸め誤差または切り捨て誤差によって生じます。元の信号が最下位ビット（LSB）よりもはるかに大きい場合、量子化誤差は信号と有意な相関関係を持たず、ほぼ均一な分布を示します。したがって、 RMS誤差はこの分布の分散から求められます。