確率公理

標準確率公理は、 1933年にロシアの数学者アンドレイ・コルモゴロフによって導入された確率論の基礎です。 ^[1]これらの公理は今でも中心的なものであり、数学、物理科学、そして現実世界の確率の事例に直接貢献しています。^[2]

確率を形式化する他の（同等の）アプローチはいくつかある。ベイズ主義者は、コックスの定理やオランダの本の議論を引用してコルモゴロフの公理を動機付けることが多い。^{[3] [4]}

公理の設定に関する仮定は、次のようにまとめることができます。 を測度空間とし、 を何らかの事象の確率 とします。するとは確率空間となり、標本空間、事象空間 、確率測度 を持ちます。[ 1 ^]${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$${\displaystyle P(E)}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle P(\Omega )=1}$${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

イベントの確率は負でない実数です。

${\displaystyle P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F}$

ここで は事象空間です。これは、（2 番目の公理と組み合わせると）より一般的な測度理論とは対照的に、常に有限であることがわかります。負の確率を割り当てる理論は、最初の公理を緩和します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle P(E)}$

これは単位測定の仮定であり、標本空間全体における 基本イベントの少なくとも 1 つが発生する確率は 1 であるという仮定です。

${\displaystyle P(\Omega )=1}$

これはσ加法性の仮定である：

互いに素な集合の可算な列（相互に排他的なイベントと同義）は、 ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

一部の著者は単に有限加法確率空間を考察しており、その場合にはσ代数ではなく集合の代数だけが必要である。^[5]準確率分布は一般に第3公理を緩和する。

コルモゴロフ公理から、確率の研究に役立つ他の規則を導き出すことができます。これらの規則の証明^{[6] [7] [8]}は、3 番目の公理の威力と、前の 2 つの公理との相互作用を示す非常に洞察に富んだ手順です。4 つの直接的な系とその証明を以下に示します。

${\displaystyle \quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).}$

A が B のサブセットであるか、B と等しい場合、A の確率は B の確率以下になります。

単調性の性質を検証するために、およびと設定します。ここで、に対してとなります。空集合( )の性質から、集合は互いに素であり であることが容易にわかります。したがって、3番目の公理から次の式が得られます。 ${\displaystyle E_{1}=A}$${\displaystyle E_{2}=B\setminus A}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$${\displaystyle i\geq 3}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B}$

${\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}$

最初の公理により、この式の左辺は非負の数の列であり、 に収束し、 は有限であるため、と の両方が得られます。 ${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

多くの場合、確率 0 のイベントは 1 つだけではありません。 ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )}$以来、 ${\displaystyle \varnothing \cup \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )}$３番目の公理を左辺に適用すると（注意：それ自体と交わらない）、 ${\displaystyle \varnothing }$

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$方程式の両辺から 減算することによって。${\displaystyle P(\varnothing )}$

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)}$

と は相互に排他的であり、次のことが言えます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$

${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})}$ ...（公理3による）

そして、 ... （公理2より）${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$

${\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}$

単調性の性質から、

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

補数規則と公理1が与えられると、 ${\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)}$ ${\displaystyle P(E^{c})\geq 0}$

${\displaystyle 1-P(E)\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\geq P(E)}$

${\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1}$

もう一つの重要な特性は次のとおりです。

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

これは、確率の加法則、または和則と呼ばれます。つまり、A または Bのイベントが発生する確率は、 Aのイベントの確率とBのイベントの確率の合計から、 A と B の両方に含まれるイベントの確率を引いたものです。この証明は次のとおりです。

まず、

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)}$（公理3より）

それで、

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$（による）。${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$

また、

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)}$

両方の方程式から を消去すると、目的の結果が得られます。 ${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$

加法則を任意の数の集合に拡張したものが包含排他原理です。

加法則において BをAの補集合A ^cに代入すると、

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

つまり、何らかのイベントが発生しない確率（またはそのイベントの補数）は、そのイベントが発生する確率から 1 を引いた値になります。

コインを1回投げて、コインが表（H）か裏（T）のどちらか（両方ではない）が出ると仮定します。コインが公平であるかどうか、またはコインの投げ方によって偏りが生じるかどうかについては仮定しません。^[9]

次のように定義できます。

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

コルモゴロフの公理は次のことを意味します。

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

表も裏も出ない確率は0 です。

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

表か裏が出る確率は1です。

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

表が出る確率と裏が出る確率の合計は 1 です。

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• デグルート、モリス H. (1975)。確率と統計。読み物: Addison-Wesley。pp. 12–16。ISBN 0-201-01503-X。
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964)。「公理的確率」確率論入門。ニューヨーク: Macmillan。pp. 13–28。
• ミザールシステムにおける確率の正式な定義、およびそれについて正式に証明された定理のリスト。