オッズ

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確率論では、オッズは特定の結果の確率の尺度を提供します。オッズはギャンブルや統計でよく使用されます。たとえば、確率が 40% のイベントの場合、オッズは「5 分の 2」、 「2 対 3 が有利」、「3 対 2 が不利」などと言えます。

ギャンブルをするとき、オッズは多くの場合、起こりうる純利益と起こりうる純損失の比率として示されます。しかし、多くの場合、起こりうる損失（「賭け金」または「賭け金」）を前払いし、勝った場合は純利益に加えて賭け金が返還されます。したがって、「3対2」で2を賭けると、 3 + 2 = 5が支払われ、 「5 for 2」と呼ばれます。マネーライン オッズが正の数+ Xとして引用されている場合、賭け金はXに対して 100支払われることを意味します。 マネーライン オッズが負の数− Xとして引用されている場合、賭け金は100 に対してX支払われることを意味します。

オッズは確率と単純な関係があります。確率が 0 から 1 までの数値として表される場合、確率pとオッズの関係は次のようになります。確率をパーセンテージとして表す場合は、これらの確率値に 100% を掛ける必要があることに注意してください。

• 「X in Y」は確率がp = X / Yであることを意味します。
• 「XがYに有利」とは、確率がp = X / ( X + Y )であることを意味します。
• 「X対Y」は確率がp = Y / ( X + Y )であることを意味します。
• 「 X対Yで支払う」とは、確率がp = Y / ( X + Y )である場合に賭けが公平であることを意味します。
• 「Yに対してX を支払う」とは、確率がp = Y / Xである場合に賭けが公平であることを意味します。
• 「pays + X 」（マネーラインオッズ）は、確率がp = 100 / ( X + 100)の場合に賭けが公平であることを意味します。
• 「pays − X」（マネーラインオッズ）は、確率がp = X / ( X + 100)の場合に賭けが公平であることを意味します。

オッズの数値はスケール化できます。kが任意の正の数である場合、X対Y はkX対kYと同じであり、同様に「to」が「in」または「for」に置き換えられた場合も同様です。たとえば、「3 対 2 対」は、「1.5 対 1 対」および「6 対 4 対」の両方と同じです。

確率pの値(0 から 1 の間、パーセンテージではない) を分数N / Dで表すことができる場合、オッズは「p /(1− p )対 1 が有利」、 「(1− p )/ p対 1 が不利」、 「NがDに」、 「NがD − Nが有利」、「D − N対N が不利」と表現でき、これらは同等のオッズにスケーリングできます。同様に、公正な賭けのオッズは「(1− p )/ p対 1」、 「1/ p対 1」、 「+ 100(1− p )/ p」、 「−100 p /(1− p )」、 「D − N対N」、 「D対N」、 「+ 100( D − N )/ N」、または「−100 N /( D − N )」と表現できます。

直感的に推定されたリスクを表す「10対1」などのフレーズの使用など、オッズに関する言語は、確率論が発展するずっと前の16世紀に見られました。^[1] シェイクスピアは次のように書いています。

危険な海に挑むことを知ってい
た 人生をやり遂げれば10倍の確率

— ウィリアム・シェイクスピア『ヘンリー四世 第2部』第1幕第1場181～2行

16世紀の博学者 カルダノは、オッズを好ましい結果と好ましくない結果の比率として定義することの有効性を実証しました。この定義によって暗示されるのは、ある出来事の確率は好ましい結果と起こり得る結果の総数の比率によって与えられるという事実です。 ^[2]

統計学において、オッズは相対的な確率の表現であり、一般的には有利なオッズとして引用されます。イベントまたは命題のオッズ（有利なオッズ）は、イベントが発生する確率とイベントが発生しない確率の比です。数学的には、これはベルヌーイ試行であり、結果がちょうど 2 つあります。等確率の結果の有限の標本空間の場合、これはイベントが発生する結果の数とイベントが発生しない結果の数の比です。これらは、 WとL（勝ちと負け）、またはSとF（成功と失敗）として表すことができます。たとえば、ランダムに選択された曜日が週末であるオッズは 2 対 5（2:5）です。これは、曜日が 7 つの結果の標本空間を形成し、イベントが 2 つの結果（土曜日と日曜日）で発生し、他の 5 つの結果では発生しないためです。^{[3] [4]}逆に、オッズを整数の比として考えると、これは有限個の等確率の結果の確率空間で表すことができます。これらの定義は等価です。比率の両方の項を結果の数で割ると確率が得られるからです。逆に、オッズ反対は反対の比率です。たとえば、ランダムな曜日が週末になるオッズは 5:2 です。 ${\displaystyle 2:5=(2/7):(5/7)。}$

オッズと確率は、前置詞toとin を使って散文で表現できます。「[あるイベント] の（または反対の）オッズが何対何」は、オッズ（賛成と反対（またはその逆）の（同じ確率の）結果の数の比）を指します。「 [結果] が何対何で、何対何」は、確率（賛成と反対の合計数に対する賛成（同じ確率の）結果の数）を指します。たとえば、「週末のオッズは 2対5 です」と「週末のオッズは 7 分の 2 です」です。日常的な使用では、オッズとチャンス（またはチャンス）という言葉は、オッズまたは確率の何らかの尺度を漠然と示すために互換的に使用されることがよくありますが、2 つの数字の間の前置詞がtoかin かに注目することで、意図された意味を推測できます。^{[5] [6] [7]}

オッズは 2 つの数値の比率として表すことができますが、その場合、一意ではありません。つまり、両方の項を同じ係数でスケーリングしても、比率は変わりません。1:1 のオッズと 100:100 のオッズは同じです (偶数オッズ)。オッズは、比率の項を割ることにより数値として表すこともできます。この場合は一意です (異なる分数で同じ有理数を表すことができます)。比率としてのオッズ、数値としてのオッズ、および確率 (これも数値) は簡単な式で関連しており、同様に、有利なオッズと不利なオッズ、成功の確率と失敗の確率にも簡単な関係があります。オッズの範囲は 0 から無限大ですが、確率の範囲は 0 から 1 であるため、多くの場合、0% から 100% のパーセンテージとして表されます。比率を逆にすると、有利なオッズと不利なオッズが入れ替わり、同様に成功の確率と失敗の確率が入れ替わります。

オッズ（有利）を W:L（勝利数:敗北数）の比率として与えれば、有利なオッズ（数値）と不利なオッズ（数値）は単純に割ることで計算でき、乗法逆数になります。 ${\displaystyle o_{f}}$${\displaystyle o_{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\cdot o_{a}&=1\end{aligned}}}$

同様に、オッズを比率として与えれば、成功確率pまたは失敗確率q は割り算で計算でき、成功確率と失敗確率は唯一の可能な結果であるため、合計は 1 になります。等確率の結果が有限数ある場合、これはイベントが発生する結果の数をイベントの総数で割ったものとして解釈できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\q&=L/(W+L)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}}$

確率p が与えられた場合、比率としてのオッズは(成功の確率と失敗の確率) となり、数値としてのオッズは次のように割ることで計算できます。 ${\displaystyle p:q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}$

逆に、オッズを数値として与えると、比率として表すことができ、逆にそこから成功または失敗の確率を計算することができます。 ${\displaystyle o_{f},}$${\displaystyle o_{f}:1,}$${\displaystyle 1:(1/o_{f})=1:o_{a},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{f}+1)\end{aligned}}}$

したがって、分子が 1 の分数として表すと、確率とオッズは分母がちょうど 1 だけ異なります。つまり、 100分の1 の確率(1/100 = 1%) は 1対99 のオッズ (1/99 = 0.0101... = 0.01 )と同じですが、1対100 のオッズ (1/100 = 0.01) は 101分の 1 の確率(1/101 = 0.00990099... = 0.0099 )と同じです。これは、確率が小さい (ゼロに近い、つまり「ロング オッズ」) 場合は小さな違いですが、確率が大きい (1 に近い) 場合は大きな違いになります。

これらは、いくつかの単純なオッズに基づいて計算されます。

これらの変換には、ある特別な幾何学的特性があります。成功の確率と失敗の確率の間の変換、およびオッズと確率の間の変換はすべてメビウス変換（分数線形変換）です。したがって、これらは3 つの点によって指定されます（鋭く 3 推移的）。成功の確率と失敗の確率を交換すると、0 と無限大が交換されて 1 が固定され、成功の確率と失敗の確率を交換すると、0 と 1 が交換されて .5 が固定されます。これらは両方とも 2 次であるため、円変換です。オッズを確率に変換すると、0 が固定され、無限大が 1 に、1 が .5 に送られます（偶数オッズは 50% の確率です）。その逆の場合、これは放物線変換です。

確率論や統計学では、オッズや類似の比率は確率よりも自然で便利な場合があります。場合によっては、確率のロジットである対数オッズが使用されます。最も単純なのは、オッズは頻繁に乗算または除算され、対数により乗算が加算に、除算が減算に変換されることです。これは、対象変数の対数オッズが観測変数の 線形結合であるロジスティック モデルで特に重要です。

同様の比率は統計学の他の分野でも使用されていますが、最も重要なのは尤度統計学における尤度比であり、これはベイズ統計学ではベイズ係数として使用されます。

オッズは、オッズ アルゴリズムによって解決される最後の特定のイベントで (オンラインで) どのように停止するかという問題など、順次意思決定の問題で特に役立ちます。

オッズは確率の比率です。オッズ比はオッズの比率、つまり確率の比率の比率です。オッズ比は臨床試験の分析でよく使用されます。オッズ比には便利な数学的特性がありますが、直感に反する結果を生み出す可能性があります。つまり、発生確率が 80% のイベントは、発生確率が 20% のイベントよりも 4 倍発生しますが、発生確率の低いイベント (に対して4-1 、つまり 4) のオッズは、発生確率の高いイベント ( に対して 1-4、つまり4-1、つまり 0.25)の 16 倍になります。

例 1

ピンクのビー玉が 5 個、青いビー玉が 2 個、紫のビー玉が 8 個あります。青いビー玉を選ぶ確率はどれくらいでしょうか?

答え: 青いビー玉が出る確率は 2:13 です。同様に、青いビー玉が出ない確率は 13:2 であると言えます。青が出る確率は 15 回中 2 回、青が出ない確率は 15 回中 13 回です。

確率論と統計学では、変数p は2 値イベントの起こる確率であり、イベントが起きない確率は 1- pであるため、イベントの「オッズ」は 2 つの商、つまり です。その値は、イベントが起こる相対的な確率とみなされ、イベントが起きない可能性の分数 (1 未満の場合) または倍数 (1 以上の場合) として表されます。 ${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}$

例2

上の最初の例では、日曜日のオッズが「1対6」、またはあまり一般的ではないが「6分の1」であると言うことは、日曜日をランダムに選ぶ確率が日曜日を選ばない確率の6分の1であることを意味します。イベントの数学的確率は0から1の範囲の値を持ちますが、同じイベントに有利な「オッズ」は0から無限大の間にあります。確率がpで与えられるイベントに不利なオッズは です。日曜日に不利なオッズは6:1、つまり6/1 = 6です。ランダムな日が日曜日でない確率は6倍です。 ${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}$

コイントスや、実力が互角の 2 頭の馬によるマッチレースでは、2 人が同額の賭け金を賭けるのが妥当です。ただし、複数の馬が参加する競馬や、実力が互角でない 2 チームによるサッカーの試合など、より変動の大きい状況では、「オッズ」で賭けることで、起こり得る結果のそれぞれの可能性を考慮に入れることができます。ギャンブルでオッズを使用すると、異なる結果の確率が異なるイベントに賭けやすくなります。

現代では、固定オッズ賭博のほとんどは、個人同士ではなく、ブックメーカーなどの賭博組織と個人の間で行われます。顧客にオッズを伝える方法については、さまざまな伝統が育まれてきました。

英国とアイルランドのブックメーカーに好まれ、競馬でも一般的な分数オッズは、賭け金に応じて、賭け手が勝った場合に支払われる純合計額を示します。^[8]オッズが4/1の場合、賭け手は100ポンドの賭け金で400ポンドの利益を得ることになります。オッズが1/4の場合、賭け手は100ポンドの賭け金で25ポンドの利益を得ます。どちらの場合でも、勝った場合、賭け手は必ず元の賭け金を取り戻します。したがって、オッズが4/1の場合、賭け手は合計500ポンド（400ポンドと元の100ポンド）を受け取ります。オッズが1/1はイーブンまたはイーブンマネーと呼ばれます。

分数オッズの分子と分母は整数であることが多いため、ブックメーカーの支払額が 1 ポンドの賭け金につき 1.25 ポンドである場合、これは賭けた 4 ポンドにつき 5 ポンドに相当し、したがってオッズは 5/4 と表されます。ただし、分数オッズはすべて、伝統的に最小公分母を使用して読み取られるわけではありません。たとえば、オッズには 5/4、7/4、9/4 などのパターンがあるため、数学的には 3/2 のオッズは、同等の形式である 6/4 で表すと比較しやすくなります。

分数オッズは、ブリティッシュオッズ、 UKオッズ^[9]、またはその国ではトラディショナルオッズとも呼ばれます。通常は「/」で表されますが、「-」で表すこともできます（例：4/1または4–1）。分母が1のオッズは、分子のみでリストに表示されることがよくあります。^{[引用が必要]}

分数オッズのバリエーションは香港オッズとして知られています。分数オッズと香港オッズは実際には交換可能です。唯一の違いは、英国のオッズは分数表記（例：6/5）で表示されるのに対し、香港オッズは小数（例：1.2）で表示されることです。どちらも純利益を示します。

ヨーロッパのオッズは潜在的な賞金（純利益）も表しますが、さらに賭け金も考慮されます（例：6/5または1.2プラス1=2.2）。^[10]

ヨーロッパ大陸、オーストラリア、ニュージーランド、カナダ、シンガポールで好まれているデシマルオッズは、元の賭け金を含む配当額と賭け金自体の比率を示します。したがって、結果のデシマルオッズは、フラクショナルオッズの小数値に1を加えたものに相当します。^[11]したがって、偶数オッズ1/1は、デシマルオッズでは2.00と表示されます。前述の4/1のフラクショナルオッズは5.00と表示され、1/4のオッズは1.25と表示されます。これは、支払われるオッズが賭けられた各結果のオッズの積にすぎないため、パーレーベッティングに最適であると考えられています。ベッティングの観点でデシマルオッズを見ると、アンダードッグは2つの小数点のうち大きい方を持ち、フェイバリットは2つのうち小さい方を持ちます。デシマルオッズを計算するには、配当 = 初期賭け金 × 小数値^{[12]という式を使用できます}。例えば、リバプールがマンチェスターシティに勝つことに2.00のオッズで100ユーロを賭けた場合、賭け金を含めた配当は200ユーロ（100ユーロ×2.00）になります。小数点オッズは結果の確率の逆数を反映しているため、取引に最も扱いやすいため、賭け取引所では好まれています。 ^[13]例えば、5.00のオッズは1 / 5.00の確率、つまり0.20または20%に相当します。

デシマルオッズは、ヨーロピアンオッズ、デジタルオッズ、コンチネンタルオッズとも呼ばれます。 ^[9]

マネーライン オッズはアメリカのブックメーカーに好まれています。引用される数字はプラスかマイナスのいずれかです。

• マネーライン オッズがプラスの場合、その数字は 100 ドルの賭けに対する純利益を示します (これは、結果が起こる可能性が低いと考えられる場合に行われます)。たとえば、純利益が 4/1 の場合は +400 と表示されます。
• マネーライン オッズがマイナスの場合、その数字は、純利益 100 ドルを得るために賭けなければならない金額を示します (これは、起こる可能性が起こらない可能性よりも高いと考えられる結果に対して行われます)。たとえば、純利益が 1/4 の場合は、-400 と表示されます。

マネーライン オッズは、アメリカン オッズと呼ばれることがよくあります。「マネーライン」賭けは、ポイント スプレッドを考慮せずに、ゲームのストレートアップの結果に対するオッズを指します。ほとんどの場合、優勝候補のマネーライン オッズはマイナス (より安全な賭けで配当は少ない) になり、劣勢のチームはプラス (リスクの高い賭けで配当は多い) になります。ただし、チームの実力が互角の場合、ハウス テイクにより、両方のチームが同時にマイナスのラインになることがあります (例: -110 -110 または -105 -115)。

ホールセール オッズは「実際のオッズ」、つまりイベント発生の 100% の確率です。この 100% ブックはブックメーカーの利益率なしで表示され、ブックメーカーの「オーバーラウンド」が組み込まれていると言われることがよくあります。

「ホールセール オッズ」指数は、100% の競争力で運営される確率市場のすべての価格の指数であり、市場参加者の利益率を考慮せずに表示されます。

ギャンブルでは、表示されるオッズは、イベントが発生するか発生しないかの真の確率 (ブックメーカーが想定する) を表すものではなく、ブックメーカーが賭け金に勝った場合に支払う金額と必要な賭け金の合計です。ブックメーカーは、表示するオッズを作成する際に利益率を組み込んでいます。これは、勝った賭け手への支払いが、イベントが発生する真の確率で表される金額よりも少ないことを意味します。この利益は、「ブック」の「オーバーラウンド」として知られており (「ブック」は賭け金を記録した昔ながらの元帳を指し、「ブックメーカー」という用語の由来です)、次のように「オッズ」の合計と関連しています。

たとえば、3頭立てのレースでは、それぞれの馬の相対的な能力に基づいて、それぞれの馬が勝つ真の確率は50%、40%、10%になります。これら3つのパーセンテージの合計は100%なので、公平な「ブック」を表します。3頭の馬が勝つ確率はそれぞれ1対1、3対2、9対1です。

受け入れられた賭け金で利益を上げるために、ブックメーカーは3頭の馬の値をそれぞれ60%、50%、20%に増やすことを決めるかもしれません。これは、それぞれに対するオッズを表し、順に4–6、1–1、4–1です。これらの値の合計は130%になり、ブックのオーバーラウンドは30（130−100）であることを意味します。この30という値は、ブックメーカーが各馬に適切な割合で賭け金を獲得した場合の利益額を表しています。たとえば、ブックメーカーが3頭の馬にそれぞれ60ポンド、50ポンド、20ポンドの賭け金を取った場合、賭け金として130ポンドを受け取りますが、どの馬が勝っても返金されるのは（賭け金を含めて）100ポンドだけです。また、全員が同じ馬に賭けたとしても、利益の期待値はプラスになります。ブックメーカーの技術は、オッズを低く設定して利益の期待値がプラスになるようにしつつ、顧客を引き付けるのに十分なオッズを維持し、同時に各結果に対して十分な賭け金を引き付けてリスクの露出を減らすことです。

サッカー賭博に関する研究によると、ホームチームが勝つ確率は、オッズから計算された値（例えば、均等オッズの場合は46.6％）よりも一般的に約3.4％低いことがわかった。ビジターチームの勝利の場合は約3.7％低く、引き分けの場合は5.7％低かった。^[14]

ルーレットの確率を理解して計算するには、公式を知る必要があります。賭ける数字をルーレットの数字の総数（ゲームのバージョンによって異なります）で割ります。そして100を掛けます。^[15]

ギャンブルで利益を上げるには、実際の確率と配当オッズの関係を予測する必要があります。スポーツ情報サービスは、プロやセミプロのスポーツ賭博者がこの目標を達成するためによく利用されます。

ブックメーカーが支払うオッズまたは金額は、起こりうるすべてのイベントに賭けられた合計金額によって決まります。オッズはイベントの両側の賭け金の残高を反映し、ブックメーカーの仲介手数料 (「vig」または「vigorish 」 ) の控除が含まれます。

また、賭けが管轄区域によってどのように影響を受けるかに応じて、ブックメーカーや勝ったプレイヤーに税金がかかる場合があります。これはオッズを提供する際に考慮され、プレイヤーの獲得額が減額される可能性があります。

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