論理哲学

論理の哲学は、論理の範囲と性質を研究する哲学の一分野である。論理の理論とその応用において暗黙のうちに作用することが多い前提など、論理によって提起される哲学的問題を研究する。これには、論理をどのように定義するか、さまざまな論理体系が互いにどのように関連しているかという問題が含まれる。論理で使用される基本概念の性質と、論理と他の分野との関係の研究が含まれる。一般的な特徴付けによれば、哲学的論理は、様相論理などの拡張された論理体系の形で、多くの場合、論理的方法の哲学的問題への適用を研究する論理の哲学の一部である。しかし、他の理論家は、論理の哲学と哲学的論理の区別を異なる方法で、またはまったく区別していない。メタロジックは、一貫性や完全性などの形式論理体系の特性を研究する分野として、論理の哲学と密接に関連している。

学術文献には、論理の性質に関するさまざまな特徴づけが見られる。論理は、思考の法則、正しい推論、有効な 推論、または論理的真理の研究と見なされることが多い。論理は、トピックに中立な方法で、つまり議論されている特定の主題とは無関係に、前提から結論がどのように導かれるかを調査する形式科学である。論理の性質を調査する 1 つの形式は、さまざまな論理形式システム間の共通点と、それらが非論理形式システムとどのように異なるかに焦点を当てている。この点で重要な考慮事項は、問題の形式システムが基本的な論理的直観と互換性があるかどうか、および完全かどうかである。論理のさまざまな概念は、論理を有効な推論の研究と定義するか、論理的真理の研究と定義するかによって区別できる。論理の概念間のさらなる区別は、有効な推論と論理的真理の基準が構文と意味論のどちらで指定されているかに基づいている。

異なるタイプの論理は、しばしば区別されます。論理は通常、形式論理として理解されており、この記事のほとんどでもそのように扱われます。形式論理は、形式言語で表現された議論の形式のみを対象とし、演繹推論に焦点を当てています。一方、非形式論理は、自然言語にも見られる、非演繹的議論を含む、はるかに広い範囲の議論を扱います。議論の正しさは、その内容や文脈など、その形式以外の要因に依存する場合があります。20 世紀にはさまざまな論理形式システムまたは論理が開発されており、それらを分類し、それらが互いにどのように関連しているかを示し、普遍的に正しい 1 つの論理とは対照的に、さまざまな論理が存在する可能性があるという問題に対処することが、論理哲学の仕事です。これらの論理は、通常、一階述語論理として識別される古典論理、拡張論理、および逸脱論理に分類できます。拡張論理は、古典論理の基本的な形式主義と公理を受け入れますが、新しい論理語彙でそれらを拡張します。一方、逸脱論理は古典論理の特定の中核的仮定を拒否するため、古典論理とは互換性がありません。

論理の哲学では、論理の基本概念の性質と哲学的含意も調査します。これには、真理の問題、特に論理的真理の問題が含まれます。論理的真理は、使用される論理用語の意味のみに応じて真理として定義される場合があります。別の問題は、前提と結論の性質、つまり、それらを思考、命題、または文として理解するかどうか、およびそれらがより単純な構成要素からどのように構成されているかに関するものです。前提と結論は一緒になって推論を構成し、推論は、それが必然的に真理を保存するか、新しい、場合によっては誤った情報を導入するかどうかに応じて、演繹的または増幅的になります。論理における中心的な関心事は、演繹的推論が有効かどうかです。有効性は多くの場合、必然性の観点から定義されます。つまり、推論が有効であるのは、前提が真であり、結論が偽であることが不可能である場合のみです。一方、誤った推論と議論は、結論を裏付けることができません。それらは、形式論理に属するか非形式論理に属するかに応じて、形式的または非形式的な誤謬に分類できます。論理学は主に定義規則、つまりどの推論規則が議論の正当性を決定するかという問題に取り組んできました。別の研究テーマは、論理の戦略的規則、つまり、特定の前提セットを前提として意図した結論に到達する方法を規定する規則、つまり、そこに到達するためにどのような推論を行う必要があるかという規則に関するものです。

論理学の形而上学は、論理の法則と対象の形而上学的地位に関係している。この分野における重要な論争は、論理は心から独立した存在である事実に基づいていると主張する実在論者と、論理の法則は言語の使用を規定する慣習に基づいていると主張する慣習主義者のような反実在論者との間で起きている。論理学はさまざまな分野と密接に関連している。存在論に関する中心的な問題は、特異項や存在量指定子など、論理の使用に関連する存在論的コミットメントに関するものである。数学における重要な問題は、すべての数学的真理が集合論とともに論理の公理に根拠付けられるかどうかである。その他の関連分野には、コンピューターサイエンスや心理学がある。

論理哲学は、論理の性質を研究する哲学の一分野です。^{[1] [2]}他の多くの分野と同様に、論理学にはさまざまな哲学的前提が含まれており、論理哲学はそれらを扱います。^[3]論理哲学は、他の分野固有の哲学の分野と類推して理解できます。科学哲学が科学によって提起された哲学的問題を調査するのと同じように、論理哲学は論理によって提起された哲学的問題を調査します。^[4]

論理の哲学が研究する重要な問題は、論理がどのように定義されるか、例えば、妥当な推論や論理的真理の観点からである。^[5]これには、論理的形式体系と非論理的形式体系をどのように区別するかという問題が含まれる。^[3]これは、古典的および非古典的な様々な提案された論理体系間の関係を明らかにすること、およびこれらすべての体系が実際に論理体系として適格であるかどうかを評価することに特に関連している。^{[4]論理の哲学は、}真理、前提、結論、推論、議論、妥当性など、論理の最も基本的な概念を理解する方法も研究する。^{[4]論理と、}存在論、数学、心理学などの他の分野との関係を明らかにしようとする。^{[2] [6] [1]}

論理学の哲学は哲学的論理学と密接に関連しているが、これらの分野が互いにどのような関係にあるかについては一般的な合意はない。^{[3] [7]}理論家の中には、これら 2 つの用語を同じ分野に使用する人もいれば、これらを異なる分野と見なす人もいる。^{[4] [6] [8]}後者の見解によると、哲学的論理学は、通常、逸脱した論理や拡張された論理を展開することによって、哲学的問題に論理的方法を適用するものと見なされる点で、論理学の哲学とは対照的である。 ^{[9] [5]}この意味で、哲学的論理学は論理学の哲学内の研究領域、すなわち、論理学によって提起される哲学的問題の一般的な研究の一部である。^[3]しかし、この形式の区別は普遍的に受け入れられているわけではなく、一部の著者は異なる特徴付けを提案している。^{[8] [3]}論理学と哲学の密接な関係は、多くの有名な論理学者が哲学者でもあったという事実にも反映されている。^[3]論理学の哲学はメタ論理学と密接に関連しているが、同一ではない。メタロジックは、与えられた論理システムが一貫しているか完全であるかなど、形式論理システムの特性を調査します。^[4]通常、形式言語と形式システムの意味論と構文の研究が含まれます。^{[10] [11]}

「論理」という用語は、ギリシャ語の「ロゴス」に由来しており、これは理性、談話、言語など、さまざまな意味に関連付けられています。論理とは何か、どのように定義されるべきかについては、多くの意見の相違があります。^{[4] [3] [5]}論理には、前提と結論の関係を研究することや、トピックに中立な方法でそれを行うことなど、さまざまな特徴が一般的にあります。論理哲学の重要な課題は、形式体系が論理と見なされるべき基準を調査することです。^[4]論理のさまざまな概念では、論理は有効な推論または論理的真実のいずれかに基づいていると理解されています。有効な推論と論理的真実の基準自体は、構文的または意味的考慮に基づいて、さまざまな方法で指定できます。^[5]

伝統的に、論理学は思考の法則を研究する学問として理解されることが多い。^[2]この特徴づけの問題の 1 つは、論理学が実際の人間の思考に見られる規則性を研究する経験的な学問ではないということである。この学問は心理学に属する。^[2]このことは、文献で時々見られる別の特徴づけによってよりよく捉えられる。つまり、論理学は正しい思考、より具体的には正しい推論の法則に関するものである、というものである。^[2]これは、適切な推論を導き、起こりうる間違いに気づくことで推論力を向上させるツールとしての論理学の実際的な重要性を反映している。^[5]論理学は、有効な議論の科学としても定義されている。^[4]これは、議論が内なる推論の外なる表現として理解される可能性があるため、推論に関する定義を反映している。^[2]

論理学は、すべての知識の形式的な基礎であるとみなされることが多い。^[1]形式科学として、論理学は物理学や生物学などの物質科学や経験科学とは対照的である。なぜなら、論理学は主に命題間の含意関係に関心があり、これらの命題が実際に真であるかどうかには関心がないからである。^[12]たとえば、「すべての月はチーズでできている」という命題から「地球の月はチーズでできている」と推論することは、有効な推論である。この例の誤りは、経験的天文学に属する誤った前提によるものである。^[12]

論理学の中心的な特徴は、トピック中立であることです。^{[13] [14]}これは、論理学が議論の主題とは無関係に議論の妥当性に関係していることを意味します。^[4]この意味で、通常の科学は、たとえば古典力学の物質的物体や生物学の生物など、特定の研究領域内での正しい推論に関係していますが、論理学はこれらすべての分野に当てはまる一般的な正しい推論に関係しています。^[4]この特徴付けの問題の 1 つは、この文脈で「トピック中立」および「主題」という用語をどのように理解すべきかが常に明確ではないことです。^[14]たとえば、一階述語論理は単数形と量化子を使用しているため、個体を主題としており、したがって完全にトピック中立ではないと主張することができます。^[4]密接に関連する特徴付けでは、論理は議論の内容ではなく形式に関係しています。この見方では、通常の科学は真の前提を探求し、論理学はこれらの前提または任意の前提から結論を導き出す方法を研究していると見なすことができます。しかし、この特徴付けには、形式と内容を区別することが難しいため、問題もあります。たとえば、時間論理は時間について話しているのですが、これは、時間は議論の内容ではなく形式に属するという、信じがたい結論につながります。^[4]これらの困難さから、一部の理論家は、論理が明確に指定できる範囲や本質的な性質を持っているかどうか疑問に思っています。^[4]

論理学は規範的な学問であるという点については広く合意されている。これは、論理学が研究する法則が人々の考え方を決定し、その法則に違反することは非合理的であることを意味する。^{[15] [16]}しかし、この考えには個別の異論もある。例えば、ギルバート・ハーマンは演繹論理学は正しい推論ではなく命題間の関係を研究すると主張している。彼は、これらの関係が人々の信念をどのように変えるべきかを直接決定するものではないと主張している。^[15]

論理の性質を決定するための 1 つのアプローチは、「論理」と呼ばれるさまざまな形式体系を研究し、それらすべてに不可欠なもの、つまりそれらを論理たらしめているものを決定することです。^[3]形式論理体系は、公理と呼ばれる特定の原則に基づく論理的真理の体系化です。^[5]形式論理に関しては、論理哲学における中心的な問題は、形式体系を単なる記号とその操作方法の規則の集合ではなく論理体系にするものは何なのかということです。^[4]中心となる要件の 1 つは、記号とその操作方法が、有効な議論に関する基本的な直観を反映するように解釈できることであると主張されてきました。これは、たとえば、真理値があり、一部の記号の動作が否定や結合などの論理演算子の動作に対応することを意味します。 [ ^4]この特徴に基づいて、一部の理論家は、三値論理やファジー論理などの特定の形式体系は、論理体系と見なすには論理の一般的な概念からあまりにもかけ離れていると主張する。^[4]このような立場は、いくつかの基本的な論理的仮定を拒否することによって、基本的な論理的直観からあまりにも根本的に逸脱しているため、論理と見なすことはできないという考えに基づいて擁護されるかもしれない。真理の二価性、つまり命題は真か偽のどちらかであるという原理を拒否することが、そのようなケースを構成すると示唆されている。^[4]

メタ論理学者は、論理的完全性は論理システムの必須要件であると主張することがある。 ^[4]形式システムは、その公理からそれに属するすべての定理を導き出すことができる場合、完全である。^{[5] [2]}これは、完全な形式システムのみが論理システムを構成すると理解されるべきであることを意味する。このアプローチに対する議論の1つは、不完全な理論は完全に形式化できないというものであり、これは論理の形式的性質と対照的である。この見解では、一階論理は論理システムを構成する。^[4]しかし、これはまた、高階「論理」は不​​完全であるため、厳密に言えば論理ではないことを意味する。^[5]

論理学は、しばしば、有効または正しい推論の研究と定義される。^{[1] [17] [5]}この概念では、正しい推論と誤った推論の違いについて一般的な説明を提供することが論理学の課題である。推論は、結論を伴う一連の前提である。推論が有効であるのは、結論が前提から導かれる場合、すなわち、前提の真実性が結論の真実性を保証する場合である。^{[18] [17] [1] [3]}論理を定義する別の方法は、論理的真実の研究である。^[5]論理的真実は、物事がどのようになっているか、すなわち、どの可能世界が現実であるかに依存しないため、真実の特別な形式である。代わりに、論理的に正しい命題は、すべての可能世界で真実である。^[5]それらの真実性は、経験的な事実とは無関係に、それらに含まれる用語の意味のみに基づいている。^[2]これら2つの概念の間には重要なつながりがある。前提から結論への推論は、前提から結論への物質的な条件が論理的に真実である場合に有効である。 ^[5]例えば、「バラは赤く、草は緑である」から「バラは赤い」への推論は、「バラが赤く、草が緑であるならば、バラは赤い」という物質的条件が論理的に真であるため有効である。

論理学を妥当な推論の研究と定義するか、論理的真理の研究と定義するかによって、その正確な基準は決まっていない。これらの基準を特定する重要な方法が 2 つある。統語論的アプローチと意味論的アプローチは、演繹理論的アプローチやモデル理論的アプローチとも呼ばれる。^{[5] [17]}この意味で、論理は、論理的帰結の演繹理論的説明またはモデル理論的説明のいずれかを伴う形式言語として定義することができる。^{[17] [19] [20]}統語論的アプローチは、前提と結論の統語論的特徴または形式的特徴のみに基づいて、これらの特徴を捉えようとする。^[5]これは通常、これらの特徴を明示し、自然言語の曖昧さや不規則性から独立させるために、形式的な記号を通してそれらを表現することによって達成される。^[5]この形式主義では、議論の妥当性は議論の構造、具体的には前提と結論で使用される論理定数のみによって決まる。^{[2] [5]}この見解では、命題が一連の前提の論理的帰結となるのは、命題がこれらの前提から演繹できる場合のみである。^{[20]この演繹は}推論規則を使用することで行われる。^[5]これは、有効な議論では、論理定数をそのままにして、構成要素を同様のカテゴリに属する​​要素に置き換えることによって、誤った結論を伴う真の前提を生み出すことはできないことを意味する。^[1]論理的真理の場合、そのような置き換えによって真理が偽になることはない。 推論規則の異なるセットは、たとえば古典論理や直観論理に関連するものなど、異なる演繹システムを構成します。したがって、命題が論理的帰結であるかどうかは、前提だけでなく、使用される演繹システムにも依存します。^[20]

統語論的アプローチの問題は、形式言語の使用が中心となっていることである。しかし、論理の問題、すなわち有効な推論と論理的真理の問題は、形式言語だけでなく自然言語にも見られる。^[5]しかし、形式言語の範囲内でさえ、真理の問題はさまざまな問題を提起し、より豊かなメタ言語を適切に扱うことが必要となることが多い。これは、形式言語に限定されている場合でも、統語論的アプローチを脅かす。^[5]もう1つの困難は、形式的特徴と非形式的特徴、すなわち論理的記号と非論理的記号を区別する方法が明確でないことが多いという事実によってもたらされる。この区別は、有効な推論または論理的真理の定義における役割のため、統語論的アプローチのまさに核心である。^{[21] [2]}

一方、意味論的アプローチは、言語と現実の関係に焦点を当てています。論理学では、この関係の研究はしばしばモデル理論と呼ばれます。^[22]このため、意味論的アプローチは論理のモデル理論的概念とも呼ばれます。^{[19]これは、もともと}アルフレッド・タルスキによって考案され、文中で使用される論理定数との関係で論理的真実を特徴付けるのではなく、これらの文を解釈するために使用される集合論的構造に基づいています。 ^{[2] [19] [22]このアプローチの背後にある考え方は、文はそれ自体では真または偽ではなく、}解釈との関係でのみ真または偽であるというものです。^{[22] [19]集合論的な用語では、解釈は通常、文で使用される記号とオブジェクトのドメインとの間の}関数として理解されます。このような関数は、ドメインの個々の要素に個々の定数を割り当て、ドメインの要素のタプルに述語を割り当てます。 ^{[22] [19]}ある文（または様々な文からなる理論）の解釈は、その解釈によればその文が真であるとき、その文のモデルと呼ばれる。 ^{[22] [19]}文が論理的に真であるのは、それがあらゆる解釈において真である場合、つまりあらゆる解釈がその文のモデルである場合である。この場合、解釈関数とそれが指し示すオブジェクトのドメインがどのように定義されても、その文は常に真である。^{[2] [23] [19]}解釈が可能世界の観点から理解される場合、論理的に真の文はあらゆる可能世界において真である文と見なすことができる。^[2]有効な議論の観点から表現すると、議論が有効であるためには、その前提が真であるすべての可能世界でその結論が真でなければならない。^[1]

この概念は、論理的記号と非論理的記号を区別することの難しさに関連する統語論的アプローチの問題を回避する。しかし、それは独自の他の問題に直面している。^[2]一方で、真理の問題に対処するためにメタ言語を必要とするという統語論的アプローチの問題を共有している。^[5]したがって、それは、それ自体の外部の視点から研究できる形式言語を前提としている。これは、その洞察を、包括的な媒体としての言語一般の論理に一般化する上で問題を引き起こす。 [2 ^]他方では、それは、記号と集合論的オブジェクトの間でのみ行われる解釈に基づいて真理を定義するため、言語と世界の関係を無視している。^[2]

多様な競合する論理システムから選択しなければならないという問題は、比較的最近のものである。歴史上長い間、アリストテレスの三段論法は論理学の規範として扱われ、ジョージ・ブール、ベルナルド・ボルツァーノ、フランツ・ブレンターノ、ゴットロープ・フレーゲらの著作が登場するまで、2000年以上にわたって実質的な改善はほとんど行われなかった。^[3]これらの発展は、論理の表現の柔軟性を高め、特定の使用分野に適応させる必要性によって推進されることが多かった。^[3]現代の論理システムの急増によって提起された論理哲学の中心的な問題は、これらのシステムがどのように相互に関連しているのかを説明することである。^[3]これにより、これらすべての形式的なシステムが「論理」というタイトルに値する理由という疑問が生じる。別の疑問は、これらのシステムのうちの1つだけが正しいのか、または1つの普遍的な論理ではなく、複数の論理システムがどのように可能なのかである。^{[4] [3]}一元論は、ただ一つの論理が正しいという主張であるが、多元論は、異なる論理体系が様々な言説領域において正しいと認める。^[4]また、異なる論理体系の根底にあり、それらを統一する一つの普遍的な論理概念が存在する可能性も示唆されている。^[3]

論理学と論理哲学は伝統的に、形式的議論、つまり形式言語で表現された議論に主に焦点を当ててきました。しかし、自然言語に見られる非形式的議論の研究も含まれています。^[4]形式論理は通常、論理のパラダイム形式と見なされていますが、さまざまな現代の発展により、形式論理だけではすべての問題を解決できない多くの実用的な目的において、非形式的論理の重要性が強調されています。^{[18] [24]}形式論理と非形式的論理はどちらも議論の正しさを評価することを目的としています。^[25]しかし、形式論理は、この評価の正確な基準を提供するために使用する要素に関して制限されています。^{[18] [ 26]}非形式的論理はさまざまな追加要素を考慮に入れようとするため、形式論理の範囲外の多くの議論に関連していますが、正確さと一般規則を犠牲にしてそうしています。^{[18] [26]}この評価に失敗する議論は誤謬と呼ばれます。形式的誤謬は形式論理の範囲内の誤謬ですが、非形式的誤謬は非形式的論理に属します。^[27]

形式論理は、推論や議論の妥当性を、その形式のみに基づいて、つまり、その具体的な内容や使用される文脈とは無関係に扱う。^[18]これは通常、特定の議論をある形式の議論のインスタンスとして見ることによって抽象化される。議論の形式は、論理定数と変数が互いにどのように関連しているかによって定義される。このように、非常に異なる内容を持つ異なる議論が同じ論理形式を持つ可能性がある。^[18]議論が妥当かどうかは、その形式のみに依存する。形式論理の重要な特徴は、妥当な議論の場合、その前提が真であれば結論も真であることが保証される、つまり、前提が真で結論が偽であることはあり得ないということである。^{[18] [17] [1] [3]}

さまざまな分野の理論を表現するために形式論理を使用する場合の深刻な問題は、これらの理論を形式言語、通常は一階論理の言語に翻訳する必要があることです。^{[5] [12]}これは、形式論理が特定の形式言語に対してのみ定義されているため必要です。したがって、異なる方法で表現された多くの議論に直接適用することはできません。形式言語はしばしば非常に制限的であるため、このような翻訳は困難です。たとえば、形式言語には自然言語に見られる非形式的なデバイスの多くが欠けていることがよくあります。^[12]繰り返し発生する問題の 1 つは、英語の単語「is」に関するもので、この単語は、同一性、存在、述語、クラス包含、場所など、コンテキストに応じてさまざまな意味を持ちます。^[5]

一方、非形式論理は、議論の特定のインスタンスが良いか悪いかを評価しようとするという点で、より具体的な方向性を持っています。^{[18] [25]}これにより、問題の議論の一般的な形式だけでなく、この議論の前提として使用されている内容と、この議論が使用されるコンテキストも研究する必要が生じます。^[18]これは、同じ議論が、あるコンテキストで使用される場合は良いものであっても、別のコンテキストで使用される場合は悪いものになる可能性があることを意味します。たとえば、ストローマン議論は、相手の立場を弱くし、その立場が間違っていることを証明することで、相手の立場を克服しようとします。^{[28] [29]}相手がこの立場を保持していないコンテキストでは、その議論は悪いものですが、ストローマンの立場を実際に擁護している相手に対しては良い議論になることがあります。^[28]非形式論理で研究される議論は、通常、自然言語で表現されます。^{[26] [25]}

非形式論理では、自然言語の議論を評価するためにそれを形式言語に翻訳する必要がありません。このようにして、この翻訳に関連するさまざまな問題を回避します。しかし、これは、曖昧さ、あいまいな表現、または前提を明示的に述べる代わりに暗黙的に仮定することなど、自然言語の使用に伴う多くの問題を解決しません。^{[28] [30] [26]}非形式論理で議論される誤謬の多くは、これらの特徴から直接生じます。これは、たとえば、曖昧さの誤謬と推定の誤謬に関係します。^{[28] [30] [31] [32]}

形式論理の領域では、古典論理と非古典論理の間に重要な区別がある。古典論理という用語は、主に命題論理と一階述語論理を指す。^[4]これは、ほとんどの理論家によって受け入れられ、使用されている支配的な論理システムである。しかし、論理の哲学は、非古典的または代替論理にも関係している。^[2]これらは、拡張論理と逸脱論理に分けられることがある。拡張論理は古典論理の拡張であり、つまり、古典論理の基本的な形式主義と公理を受け入れながら、様相論理における「可能性」と「必然性」の記号や、時相論理における「時々」と「常に」の記号を導入するなど、新しい論理語彙で拡張している。^[4]一方、逸脱論理は、古典論理の特定の中核的な仮定を拒否する。^{[1] [4]}これらは古典論理とは異なる公理を使用しており、どの推論が有効であるかに関してより制限的であることが多い。これらは古典論理とは相容れないという意味で「逸脱」しており、古典論理のライバルとみなされることもある。^[4]

古典論理という用語は、主に命題論理と一階論理を指します。^[4]哲学者によって論理のパラダイム形式として扱われ、さまざまな分野で使用されています。^[33]これは、少数の中心的な論理概念に関係し、これらの概念が有効な推論を行う際に果たす役割を指定します。^{[5] [12]}これらの中核概念には、「すべて」や「一部」などのアイデアを表現する量指定子や、「および」、「または」、「if-then」などの命題接続詞が含まれます。^[5]非論理概念の中で、重要な区別は、単数項と述語です。単数項はオブジェクトを表し、述語はこれらのオブジェクトのプロパティまたはオブジェクト間の関係を表します。この点で、一階論理は、関係に対応する述語がなかった従来のアリストテレス論理とは異なります。^[5]一階論理では、述語も量化できる高階論理とは対照的に、個体に対してのみ量化が可能です。^[5]

拡張論理は、古典論理の公理と中核語彙を受け入れます。これは、古典論理の定理が拡張論理でも有効であるという事実に反映されています。しかし、拡張論理は追加の新しい記号と定理を含めることで古典論理を超えています。^[34] これらの変更の目的は、通常、論理的処理を新しい領域に適用するか、たとえば、単数項だけでなく述語や命題にも適用される量化の形で、または真理述語を通じて、より高いレベルの抽象化を導入することです。^[1]この意味で、逸脱論理は通常、古典論理のライバルと見なされ、拡張論理は古典論理の補足です。^[35]拡張論理の重要な例としては、様相論理と高階論理があります。^[1]

「様相論理」という用語は、その最も広い意味で理解される場合、アレティック、義務論的、または時間的様相論理などのさまざまな拡張論理を指します。狭義では、アレティック様相論理と同一です。^[2]古典論理は真か偽かのみに関係しますが、アレティック様相論理には、可能性または必然的に真または偽であることを表す新しい記号が含まれます。^{[1] [2] [36] [37] [38]}これらの記号は文演算子の形をとります。通常、記号「」${\displaystyle \Diamond }$と「」${\displaystyle \Box}$は、それらの後に続く文が可能性または必然的に真であることを表すために使用されます。様相論理には、これらの新しい記号が有効な議論でどのように機能するかを指定するさまざまな新しい推論規則も含まれています。^{[36] [37]}一例は、式、つまり、何かが必然的に真である場合、それは可能性も真であるということです。アレティック様相論理以外の様相論理の形式は、同じ原理をさまざまな分野に適用します。^[2]義務論的様相論理では、記号「」と「」は、どの行為が許容されるか義務付けられるかを表すために使用されます。時間論理では、ある時点または常に当てはまることを表します。認識論的論理では、人の信念と一致するもの、またはその人が知っていることを表します。^{[2] [36] [37]}${\displaystyle \Box P\rightarrow \Diamond P}$${\displaystyle \Diamond }$${\displaystyle \Box}$

様々な推論規則が、様々な様相論理の基本公理として提案されてきたが、どれが正しいかについては一般的な合意はない。^{[1] [8]}様相演算子の解釈で影響力のあったのは、ソール・クリプキによるもので、可能世界に対する量化子として理解されている。可能世界とは、物事がどのようになっていたかを示す完全かつ一貫した方法である。^{[39] [40]}この見方では、何かが必然的に真であると言うことは、それがアクセス可能なすべての可能世界において真であると言うことである。^{[1] [8]この種の特徴付けの問題の 1 つは、可能世界自体が様相用語、つまり物事がどのようになって}いたかという方法で定義されているため、循環的であるように見えることである。^[8]

論理的様相論理に限定した場合でも、これらの用語が意味する可能性のある可能性と必然性には、また異なる種類があります。^{[8] [3]}たとえば、物理的様相によれば、物体が落とされた場合、それが自然法則の定めであるので、落ちることは必然です。しかし、論理的様相によれば、自然法則は論理的矛盾をもたらさずに異なっていた可能性があるため、これは必然ではありません。^[8]

高階論理は、新しい形式の量化を含めることによって、古典的な一階述語論理を拡張します。^{[1] [41] [42] [43]}一階論理では、量化は個体に制限され、たとえば式(甘いリンゴがいくつかあります) がそうです。高階論理では、個体だけでなく述語の量化も可能で、たとえば(メアリーとジョンにはいくつかの性質があります) がそうです。^{[1] [41] [42] [43]}高階論理の表現力の向上は、特に数学に関連しています。たとえば、一階論理ではペアノ算術とツェルメロ-フランケル集合論に無限の数の公理が必要ですが、二階論理では同じことを行うのに少数の公理しか必要ありません。^[1]しかし、この表現力の向上には一定のコストがかかります。一方で、高階理論は不完全です。^[1]この理論の公理に基づいてすべての真の文を証明することはできません。^[5]一方、一階述語論理の理論では、これは可能である。もう一つの欠点は、高階論理は個体だけでなく、性質や関係も量化するため、ある種のプラトン主義に傾倒しているように見えることである。^{[1] [42]}${\displaystyle \exists x(Apple(x)\land Sweet(x))}$${\displaystyle \exists P(P(mary)\land P(john))}$

逸脱論理は、どの推論が有効であるかを説明するという、古典論理と同じ目標を持つ論理形式である。逸脱論理は、異なる説明を与える点で古典論理と異なる。例えば、直観主義論理は、古典論理では有効な推論形式である排中律を拒否する。 ^{[1] [2]この拒否は、数学的真理は}証明による検証に依存するという考えに基づいている。この法則は、そのような証明が不可能な場合には成り立たないが、ゲーデルの不完全性定理によれば、十分に強力な形式体系には必ず存在する。^{[44] [45] [46] [47]} 自由論理は存在の前提が少ない点で古典論理と異なり、非表示表現、つまりドメイン内のオブジェクトを参照しない個々の用語を許容する。^{[2] [6]}この種の変更の中心的な動機は、自由論理が「サンタクロースは存在しない」という表現のような空虚な単数形を含む談話を分析するために使用できることである。^{[1] [48] [49] [6]} 多値論理は、古典論理における真と偽に加えて追加の真理値を許容する論理である。 ^{[1] [50] [2]}この意味で、多値論理は真理の二価性の原理を否定する。^{[8] [4]}たとえば、単純な形の三値論理では、3番目の真理値であるundefinedが導入される。^[51]

論理学では、真理は通常、命題や文の特性として見られる。真理は論理学において中心的な役割を果たす。なぜなら、妥当性はしばしば真理の観点から定義されるからである。推論は、その前提が真であり、かつその結論が偽であることが不可能である場合にのみ、妥当である。^{[18] [17] [1] [3]}真理の理論は、真理の本質を特徴づけようとする。^[8]対応理論によれば、命題は現実に対応している場合、すなわち、物事を実際のありのままに表現している場合、真である。一方、一貫性理論は、真理を一貫性と同一視する。この見解では、命題は、指定された命題セットの一貫した部分である場合、すなわち、これらの命題が互いに一貫しており、相互に推論のサポートを提供している場合、真である。 ^{[52] [8]}実用的な真理の理論によれば、命題が真であるかどうかは、実践との関係によって決まる。いくつかのバージョンでは、命題が真であるのは、それが有用であると信じること、終わりのない探求の理想的な結果であること、またはそれが保証された主張可能性の基準を満たす場合であると主張している。 ^[53] 真理のデフレ理論では、真理はそれ自体の興味深い性質を欠いたむしろ空虚な概念であると見なしている。この見解では、命題が真であると主張することは、命題自体を主張することと同じである。^{[54] [8]}論理の哲学における真理に関するその他の重要なトピックは、真理の価値、嘘つきのパラドックス、および真理の二価性の原理である。^[8]

論理学の中心にあるのは、論理的真理の概念である。論理的真理は、分析的・総合的区別の観点から理解されることが多い。命題が分析的に真であるのは、その真理が、命題を構成する用語の意味のみに依存する場合である。一方、総合的命題は、その真理が非論理的または経験的要因に依存するという特徴がある。^[55]これは、分析的真理はトートロジーであり、その否定は矛盾を意味するが、総合的命題は真または偽である可能性があると述べることによって表現されることがある。^[56]この意味で、「独身者は全員未婚である」という命題は、未婚であることが「独身者」という用語の定義の一部であるため、分析的に真である。一方、「独身者の中には幸せな者もいる」という命題は、用語の意味に含まれない経験的要因に依存するため、総合的に真である。^[57]しかし、この区別が妥当かどうかは疑問視されてきた。例えば、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは、純粋に分析的な真理は存在しない、つまりすべての命題はある程度経験的であると主張した。^{[58] [56] [55]}しかし、クワインの批判に対して分析的・総合的区別を明確に擁護する者もいる。^{[59] [60]}

しかし、論理的真理が分析的真理と同一視できるかどうかは、必ずしも受け入れられているわけではない。^{[61] [21} ]別のアプローチでは、すべての用語の意味の小さなサブセットに関して論理的真理を特徴付ける、いわゆる論理定数またはシンカテゴレマタがある。^{[21] [2] [17] [62]}これらには、「and」や「if-then」などの命題接続詞、「for some」や「for all」などの量指定子、および同一性が含まれる。^{[2] [17]}命題論理は命題接続詞による真理のみを扱うが、述語論理は量指定子および同一性の使用に基づいて真理も調査する。^[2]拡張論理は、様相論理における可能性や必然性のような、さらに多くの論理定数を導入する。^{[21] [36]}文が論理定数のみによって真であるのは、すべての非論理用語が、文の真理値に何ら変化を与えることなく、適切なタイプの他の用語に自由に置き換えられる場合である。^{[2] [17]}たとえば、「雨が降れば、雨が降る」という文は、論理形式のみで真である。なぜなら、「雨が降る」という表現を「ソクラテスは賢い」という表現に置き換えるなど、このような置き換えもすべて真となるからである。この論理の特徴付けの問題の 1 つは、論理定数と他の記号を区別する方法が必ずしも明確ではないことである。典型的なケースではほとんど議論がないが、問題を決定するための適切な基準がないと思われるさまざまな境界線上のケースがある。^{[21] [2] [17]}

前提と結論の性質についてはさまざまな議論がある。前提と結論は真理の担い手でなければならない、つまり真か偽かのどちらかでなければならないことは広く認められている。^[8]これは前提と結論が論理的な役割を果たすために必要である。^[1]これらは伝統的に思考や命題、つまり精神的または抽象的な対象として理解されている。このアプローチは、これらのタイプの実体の明確な同一性基準を指定することが困難であることが判明したため、さまざまな哲学者によって拒否されてきた。 ^[1]別のアプローチでは、前提と結論として機能できるのは文のみであると考えられている。^{[17] [1]}命題は文の意味であるため、文と密接に関連している。文は命題を表現する。^[8]しかし、このアプローチにはさまざまな問題があります。1つは、文の意味は通常文脈に依存するという事実によるものです。このため、同じ推論がある文脈では有効でも、別の文脈では無効である可能性があります。^{[1] [63]}もう一つの問題は、いくつかの文が曖昧であるという事実、つまり推論が有効であるかどうかが解釈によって変わることがあるということである。^{[1] [63]}

命題と文の両方の重要な側面は、それらが単純または複雑である可能性があることです。^[64]複合命題は、命題接続詞によって互いにリンクされた単純な命題で構成されています。単純な命題は、他の命題をその部分として持ちません。それでも、それらは通常、単数項や述語などのサブ命題部分など、他のエンティティによっても構成されていると理解されています。^{[8] [64]}たとえば、「火星は赤い」という単純な命題は、述語「赤」が適用された単数項「火星」で構成されています。^[8]対照的に、「火星は赤で、金星は白い」という命題は、命題接続詞「and」によって接続された2つの命題で構成されています。^[8]最も単純なケースでは、これらの接続詞は真理関数接続詞です。つまり、複合命題の真理値は、その構成要素の真理値の関数です。^[8]したがって、「火星は赤く、金星は白い」という命題は、それを構成する 2 つの命題が真であるため真である。一方、単純な命題の真理値は、そのサブ命題部分に依存する。^{[8] [64]}これは通常、指示の観点から理解される。つまり、その真理は、サブ命題部分が世界、つまりそれらが指示する言語外オブジェクトとどのように関係しているかによって決定される。この関係は指示理論によって研究され、単数名がどのようにオブジェクトを指示し、述語がこれらのオブジェクトにどのように適用されるかを特定しようとする。^{[8] [65]}単数名の場合、単数名がオブジェクトを、明確な記述を通じて、またはオブジェクトとの因果関係に基づいて指示するという一般的な提案がある。^{[8] [6] [65]}前者の意味では、「アリストテレス」という名前は、「アレクサンダーを教えたプラトンの弟子」という明確な記述として理解される可能性がある。^[6]述語に関しては、普遍性、概念、またはオブジェクトのクラスのいずれかを参照するものとして見られることが多い。^[8]

推論とは、前提から結論を推論するプロセスです。^{[5] [17]}前提と結論の関係は「含意」または「論理的帰結」と呼ばれます。議論は前提、結論、およびそれらの関係で構成されます。ただし、「推論」、「議論」、「含意」、および「論理的帰結」という用語は、多くの場合、同じ意味で使用されます。複雑な議論とは、複数のステップを含む議論であり、前のステップの結論が次のステップの前提として表されます。^[1]推論と議論は正しい場合もあれば、間違っている場合もあります。これは、前提が実際に結論を支持しているかどうか、つまり、結論が前提から導かれるかどうかによって異なります。^{[1] [5]}たとえば、「ケリーは自宅と職場の両方にいるわけではない」と「ケリーは自宅にいる」から、「ケリーは職場ではない」という結論が導き出されます。しかし、「ケリーはフットボールファンである」という結論は導き出されません。^[17]

推論の重要な区別は、演繹推論と増幅推論であり、これらは単調推論と非単調推論とも呼ばれる。^{[5] [66] [67]}アルフレッド・タルスキによれば、演繹推論には3つの中心的な特徴がある。(1) 形式的である、すなわち前提と結論の形式のみに依存する。(2) 演繹推論は先験的である、すなわちそれが成立するかどうかを判断するのに感覚経験は必要ない。(3) 様相的である、すなわち他の状況とは無関係に、与えられた命題に対して必然的に成立する。^[17]演繹推論は必然的に真理保存的である、すなわち全ての前提が真であれば結論が偽になることはない。^{[5] [66] [67]}このため、演繹推論は前提にまだ見つかっていない新しい情報を導入することができず、この意味で非情報的である。演繹的推論を有益でないと特徴づけることの問題点は、演繹的推論が役に立たないことを示唆しているように思われること、つまり、演繹的推論を使用したり研究したりする理由を説明できないことである。^{[5] [68]}この困難は、深度情報と表面情報を区別することで対処できる。この見方では、演繹的論理は深度情報のレベルでは有益でないが、特定の側面を新しい方法で提示することで、表面情報のレベルでは驚くべき結果につながる可能性がある。^[5]

一方、増幅的推論は、新しい情報を提供することを目的としているため有益である。これは、必然的に真理を保持する性質を失うという代償を払って起こる。^{[5] [66] [67]}増幅的推論の最も顕著な形態は帰納である。帰納的推論は、特定の命題を前提として含み、それを使って結論としてさらに1つの特定の命題または一般化を推論する。^{[5] [67]}演繹的推論は、推論の典型的な形態であり、論理学の主な焦点である。しかし、経験科学や日常会話で行われる推論の多くは増幅的推論である。^{[5] [69]}

論理学における中心的な問題は、正しいまたは有効な議論を、正しくないまたは無効な議論とどのように区別するかである。^[5]論理学の哲学は、議論が有効であるとはどういうことかといった問題を研究する。^{[4] [3]}これには、この種のサポートをどのように理解するか、または前提が結論をサポートする基準は何かという問題が含まれる。^[1]一部の論理学者は、有効な推論または含意を論理的必然性の観点から定義する。前提が真で結論が偽であることが不可能である場合、前提は結論を含意する。^[17]これは、前提と結論の否定の結合は論理的に不可能であると言って表現することもできる。^{[8] [3]}この概念には、爆発の原理、つまり矛盾から何でも生じるという原理が伴う。^[8]しかし、有効な推論は推論規則の観点から特徴付けることもできる。^[5]推論規則は、前提から結論への移行を規定する。この見方では、推論は適切な推論規則に従っている場合に有効である。^[5]

妥当な推論の概念と密接に関連しているのは、確認の概念です。^[8]妥当な推論は形式論理に属し、演繹的に妥当な議論と関連しています。しかし、科学や日常会話に見られる議論の多くは、結論の真実性を保証することなく支持しています。それらは非形式論理の範囲内にあり、良い議論と悪い議論に分けることができます。この意味では、たとえば、観察は科学的仮説を支持する経験的証拠として機能する場合があります。 ^{[70] [71]}これは、証拠が仮説が真である可能性を高めるという確率の観点から理解されることがよくあります。^[8]

特に興味深いのは、いわゆる誤謬、すなわち一見正しいように見える誤った議論である。^{[27] [5]}これらは前提が想定された方法で結論を支持していないため誤っている。誤解を招くような外見のため、人々はそれらを受け入れて使用するように誘惑することができる。多くの場合、誤りの原因として、形式、内容、および文脈の3つの要素が特定されている。^{[72] [} 29]議論の形式とは、その構造、つまりどの推論規則を採用しているかを指す。^[5]形式のレベルでの誤りは、無効な推論規則の使用を伴う。^{[27] [29]}内容のレベルで誤った議論は、誤った命題を前提とする。^{[27] [29]議論の文脈とは、それが使用される状況と、それが果たすことになっている役割を指す。議論は、}ストローマン誤謬のように、議論者が相手が持っていない過度に弱い立場を攻撃する場合のように、意図された役割を果たしていない場合、誤謬である可能性がある。^{[29] [28]}

誤謬の重要な区別は、これらの誤りの源に基づいて、形式的誤謬と非形式的誤謬の間に分けることができる。形式的誤謬は形式論理に関係し、無効な推論規則を採用することで形式上の誤りのみを伴う。^{[27] [73]} 先行詞の否定は形式的誤謬の一種であり、例えば「オセロが独身であれば、彼は男性である。オセロは独身ではない。したがって、オセロは男性ではない」。^{[74] [75]}非形式的誤謬は非形式論理に属し、その主な誤りの源は内容と文脈のレベルにある。例えば、誤ったジレンマは、実行可能な選択肢を排除することで現実を過度に単純化する誤った選言的前提に基づいている。例えば「ステイシーは資本主義に反対を表明した。したがって、彼女は共産主義者に違いない」。^{[76] [29] [31]}

論理は議論を良いか悪いかで評価するので、論理はこれらの評価を導く規範の性質と正当性の問題に直面します。^{[1] [77]}これは、道徳規範を正当化する方法に関するメタ倫理学で見られる問題に似ています。^[1]この問題への1つのアプローチは、論理の規範を自然言語や科学に見られる推論慣行の一般化として特徴付けることです。このようにして、正当性は、対応する分野で使用される良い推論と悪い推論の評価から継承されます。^[1]

論理の規則の中で重要な区別は、定義的規則と戦略的規則の区別である。^{[5] [78] [79]}推論規則は定義的規則である。つまり、どの推論が有効であるかを規定する。そして、有効な推論と無効な推論を区別することが論理の主な目的であったが、論理にしばしば関連付けられる二次的な目的もある。それは、一連の前提に基づいて与えられた命題を証明または反証するために必要な推論ステップを決定することである。^{[5] [78] [79]}これは戦略的規則の領域である。推論規則は、どのステップが許可されるかを指定するが、特定の結論に到達するためにどのステップを実行する必要があるかについては何も述べていない。定義的規則と戦略的規則の違いは、論理だけでなく、さまざまなゲームにも見られる。^{[5] [78] [79]}例えばチェスでは、定義的ルールではビショップは斜めにしか動けないと規定されているが、戦略的ルールでは、センターをコントロールしたり、キングを守ったりするなど、ゲームに勝つために許可された動きをどのように使用できるかが規定されている。定義的ルールに従うことで、チェスをするか他の何かをするかが決まり、戦略的ルールに従うことで、チェスの上手いプレイヤーか下手なプレイヤーかが決まる。^{[5] [79]}定義的ルールと戦略的ルールはどちらも、正しいか間違っているかに関わらず、人々が実際に推論を導き出す方法を一般化する経験的記述的ルールとは区別される。この意味で、定義的ルールは許容的であり、戦略的ルールは規範的であるのに対し、経験的一般化は記述的である。^[5]論理の定義的ルールに違反すると、誤謬を犯すことになる。^[5]論理学者が定義的ルールにほぼ独占的に焦点を当てることは正当化されないと主張されてきた。この見解では、論理の多くの応用、例えば合理的信念の変化の問題は定義的ルールよりも戦略的ルールに依存するため、戦略的ルールに重点を置くべきである。^[5]

論理学の哲学は、特にその形而上学的側面に関して、多くの点で数学の哲学と密接に関係している。^[80]論理学の形而上学は、その対象の形而上学的地位とそれを支配する法則に関係している。論理学の形而上学内の理論は、大まかに実在論と非実在論の立場に分けることができる。

論理的実在論者は、論理の法則は客観的であり、つまり人間やその考え方から独立していると主張する。^{[80] [81]}この見解では、論理に見られる構造は世界自体の構造である。^[81]サンドラ・ラポインテが提唱した定義によると、論理的実在論は2つの命題からなる。すなわち、論理的事実が存在するということと、それが我々の認知的、言語的構成や実践から独立しているということである。^{[82] [81]論理的実在論は、しばしば}プラトン主義の観点から解釈される。すなわち、論理の対象を含む抽象的対象の理解可能な領域が存在するということである。^[83]この見解では、論理は発明されたものではなく、発見されたものである。^{[83] [81]}この立場の重要な帰結は、論理の事実自体と、これらの事実についての我々の信念との間には明らかな隔たりがあるということである。^[84]この立場の困難さの1つは、論理が人間から独立していると言うとき、どの意味での独立性を意味しているのかを明確にすることである。もしそれを可能な限り厳密な意味で理解するならば、完全に独立した現実は人間の意識の中で何の役割も果たすことができないので、それについての知識は不可能であろう。^[84]もう一つの問題は、一つの世界と提案されている多くの異なる論理体系との関係を説明することである。これは、真の論理は一つだけであり、他のすべての論理体系は誤りか不完全であることを示唆する。^[81]

論理的実在論は反実在論者によって拒絶され、彼らは論理は現実の客観的特徴を記述しないと主張する。論理に関する反実在論はしばしば概念主義または心理主義の形をとり、論理の対象は心的概念から成り、または論理法則は心理法則と同一視される。^{[80] [85]}これには、よく言われるように論理法則は先験的に知ることはできないが、実験的調査の方法を通じて発見されるというテーゼが含まれる。^[85]心理主義を支持する議論は、論理は心理学のサブ分野であるという考えに基づいている。論理は思考のすべての法則を研究するのではなく、有効な推論に対応する法則のサブセットのみを研究する。^[85]別の議論は、人間は自明性の感覚を通じて論理的真実について学び、その自明性は心理学によって研究されるというテーゼに焦点を当てている。^{[85]心理主義に対するさまざまな反論が、特に20世紀初頭の}ドイツ哲学において、いわゆる「心理主義運動」の中で提起されてきた。 ^[85]一つの反論は、論理の法則は先験的に知られているという主張に焦点を当てているが、これは心理学で研究されている経験的法則には当てはまらない。別の反論は、心理学の法則は通常曖昧であるのに対し、論理は明確な法則を持つ正確な科学であると指摘している。^[85]

慣習主義は反実在論の別の形態であり、論理的真理は使用される用語の意味に依存し、その意味は、一群の行為者が採用する言語慣習に依存する。^{[86] [80] [87]}この立場の問題の 1 つは、「慣習」という用語の明確な定義を提供することである。慣習とは、広く観察される規則性である。しかし、広く観察される規則性のすべてが慣習であるわけではない。慣習には、正しい行動と間違った行動を区別する特定の規範的要素が含まれるが、不規則な行動が自動的に間違っているわけではない。^[86]もう 1 つの問題は、慣習が偶発的であるのに対し、論理的真理は必然的であるという事実に関するものである。これは、偶発的な慣習が必然的真理を根拠づけることができるというもっともらしい説明が与えられない限り、慣習の観点から論理的真理を定義する可能性に疑問を投げかける。^[88]

存在論における中心的な問題は存在の問題、すなわちある実体またはある種の実体が存在するかどうかである。^[2]一部の理論家によると、存在論の主な目的は、何が存在し、何が存在しないかを決定することである。^[89]存在の問題は、名前などの単数形の言葉や存在量指定子 ( ) と密接に関連している。これらの装置は、存在の前提または存在論的コミットメントを伴うとよく考えられている。^{[2] [89] [90] [91]}この見解では、「」や「」などの文は、それぞれリンゴとペガサスの存在に対する存在論的コミットメントを伴う。このアプローチの最も有名な擁護者はウィラード・ヴァン・オーマン・クワインで、彼は理論の存在論的コミットメントは、それを第 1 階述語論理に翻訳し、この翻訳で使用されている存在量指定子から読み取ることによって決定できると主張している。^{[91] [2] [89] [4]}${\displaystyle \exists x}$${\displaystyle \exists x(Apple(x))}$${\displaystyle 馬(ペガサス)}$

このアプローチの問題点は、さまざまな議論の余地のある存在論的コミットメントにつながる可能性があることです。^{[2] [89]}たとえば、数学では、「1000 から 1010 の間に素数がある」などの文で数を量化します。^[91]これは、数の存在に対する存在論的コミットメント、つまり数に関する実在論がすでに数学に組み込まれていることを意味します。 [91]もう 1 つの問題は、自然言語にはペガサスやサンタクロースなどの架空の存在の名前が多数含まれているという事実によるものです。^{[92]しかし}、名前に存在論的コミットメントが伴う場合、「サンタクロースは存在しない」などの文は矛盾することになります。 存在論では、これらの問題は、問題のある実体は存在するが、具体的または物質的な存在を欠き、抽象的または精神的なオブジェクトの形でのみ存在するというプラトン主義または心理学を通じてアプローチされることがあります。^[92]論理学では、これらの問題は、特定の形式の非古典的論理を使用することで回避できます。例えば、自由論理では、ドメイン内のオブジェクトを何も表さない空の単数項が許容され、したがって存在論的コミットメントは伴わない。^{[1] [48] [6]}これは、単数項がドメイン内のオブジェクトを表すかどうかを指定するために使用できる存在述語と組み合わされることが多い。^{[2] [48]}しかし、述語としての存在の話は議論の余地がある。このアプローチの反対者は、オブジェクトが述語を持つためには存在が必要であるため、述語の1つにはなり得ないと指摘することが多い。^{[2] [93] [94]}

存在の問題は、高階論理の場合、それ自体の問題をもたらす。^{[2] [41]}たとえば、第二階論理には、単数項だけでなく述語についても存在量化が含まれる。これは、通常のオブジェクトだけでなく、これらのオブジェクトによってインスタンス化された特性と関係にも存在論的コミットメントを伴うと理解されることが多い。^{[2] [41] [4]この立場は実在論として知られており、}自然主義的な考慮により現代哲学ではしばしば拒否される。これは、個体のみが存在するという見解である名目論とは対照的である。 ^{[2] [95] [96]}

数学と論理学はさまざまな形で関連している。どちらも形式科学とみなされており、多くの場合、これら2つの分野の発展は並行して起こった。^{[2] [97]}たとえば、命題論理はブール代数の一例である。^[98]数学は、原理的には、集合論とともに一階述語論理のみに基づいているとよく主張される。^[2] Metamath はそのようなプロジェクトの一例である。これは、命題論理、一階述語論理、およびツェルメロ-フランケル集合論の20の公理に基づいており、これらの公理に基づくかなりの数の数学定理をすでに証明している。^{[99] [100]}このプロジェクトと密接に関連しているのは論理主義である。これは、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツとゴットロープ・フレーゲによって擁護された、算術は論理のみに還元できるというテーゼである。^[4]これは、算術における「2 + 2 = 4」のような文は、純粋に論理的な用語で、つまり数字や加算のような算術演算子を使わずに表現できることを意味します。この場合、算術のすべての定理は論理の公理から導き出せます。^[4]この命題が正しいかどうかは、「論理」という用語の理解方法によって異なります。「論理」が一階述語論理の公理のみを指す場合、それは誤りです。しかし、集合論や高階論理を含めると、算術は論理に還元できます。^[4]

論理とコンピュータサイエンスの重要な関係は、命題論理の命題接続詞とコンピュータサイエンスの論理ゲートの類似点から生じます。どちらもブール代数の法則に従います。^[2]命題は偽か真のいずれかであり、論理ゲートの入力と出力は 0 と 1 と呼ばれます。どちらも命題接続詞と論理ゲートの機能を説明するために真理値表を使用します。論理とのもう 1 つの重要な関係は、論理学者が証明を定式化したり、プロセスを自動化したりすることを支援できる論理ソフトウェアの開発です。^[3] Prover9 は、一階述語論理の自動定理証明器の例です。^[101]

論理学を思考の法則の科学と見なすと、心理学と論理学の間には非常に密接な関係があると言える。^[2]この特徴づけから見て、心理学と論理学の重要な違いは、心理学は人間が実際にどのように考えるかを研究することを目的とする経験科学であるという点である。一方、論理学は、実際の人間の思考がこの理想に及ばないことが多いかどうかとは関係なく、正しい推論の法則を発見することを目的とする。^{[2] [85]}心理学者ジャン・ピアジェは、人間の心理的発達のさまざまな段階を識別するために論理学を心理学に応用した。彼の見解では、論理的に推論する能力は子供の発達の特定の段階でのみ発現し、それをそれ以前の段階と区別する基準として使用できる。^{[2] [102] [103]}

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