論理学は経験的か？

「論理は経験的か？ 」は、論理の代数的性質が経験的に決定される可能性がある、あるいは決定されるべきだという考えを論じた2つの論文（1つはヒラリー・パトナム、もう1つはマイケル・ダメットによるもの）^{[ 1 ] [ 2 ]}のタイトルである。特に、量子現象に関する経験的事実が、現実の一貫した論理的表現としての古典論理を修正する根拠となるかどうかという問題を扱っている。この置き換えは、ギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンによる量子論理の研究に由来する。彼らの研究では、量子測定の結果は二項命題として表現でき、これらの量子力学的命題は古典論理の命題と同様の方法で組み合わせることができることを示した。しかし、この構造の代数的性質は、分配原理が成り立たない点で、古典命題論理の代数的性質とは多少異なっている。

論理の原理が経験的根拠に基づいて修正される可能性があるという考えには、 WV クワインの研究やハンス ライヘンバッハの基礎研究など、多くの起源がある。^{[ 3 ]}

論理法則の認識論的地位とは何でしょうか？論理の原理とされるものを批判するには、どのような議論が適切でしょうか？論理学者であり哲学者でもあるW・V・クワインは、その代表作「経験主義の二つのドグマ」の中で、いわゆる分析命題を含め、すべての信念は原則として経験的データに照らして修正される可能性があると主張しました。したがって、分析命題の典型的な例である論理法則も、修正の対象となり得るのです。

この主張を正当化するために、彼は量子力学のいわゆるパラドックスを引用した。ビルコフとフォン・ノイマンは、分配原理を放棄することでこれらのパラドックスを解決し、古典論理の代わりに量子論理を導入することを提案した。

クワインは当初、この議論を真剣に追求せず、その論文ではこの主張を裏付ける確固たる論拠を示さなかった。『論理哲学』（「逸脱論理」と題された章）の中で、クワインはパラドックスに対応して古典論理を修正すべきだという考えを否定し、「深刻な単純性の喪失」と「逸脱論理の中で思考しなければならないというハンディキャップ」を懸念している。しかし、クワインは論理は原理的に修正から免れることはできないという主張を堅持した。

ハンス・ライヘンバッハは、量子力学に関連する異常現象の一つである相補性の問題に着目した。ある系の性質のペアは、それぞれに何らかの実験設定で真偽値を割り当てることができるが、両方の性質に真偽値を割り当てる設定は存在しない場合に相補的であると言われる。相補性の古典的な例は、二重スリット実験で示されている。この実験では、光子の存在を検出するために使用する実験設定に応じて、光子が粒子のような性質を示すか、波のような性質を示すかが決まる。相補性のもう一つの例は、位置や運動量を正確に観測できることである。

ライヘンバッハは、論理実証主義者の哲学的枠組みの中でこの問題に取り組んだ。そこでは、適切な言語の選択は、与えられた言語（この場合は量子力学を記述する言語）の真偽の問題ではなく、「言語体系の技術的利点」の問題であった。彼の解決策は、3値意味論を持つ性質の論理であった。各性質は、真、偽、不確定の3つの真偽値のいずれかを持つことができる。このような論理体系の形式的性質は、かなり単純な規則の集合によって与えられる。これは、数年前にビルコフとフォン・ノイマンが導入した「射影代数」よりもはるかに単純である。

ライヘンバッハの指導のもと博士課程を修了したヒラリー・パトナムは、論文「論理は経験的か？」の中で、クワインの考えを体系的に追求した。まず、彼は論理法則と幾何学法則の間に類似点を見出した。かつてユークリッドの公準は、我々が住む物理空間に関する真理だと信じられていたが、現代の物理理論は非ユークリッド幾何学に基づいており、直線の概念も異なり、根本的に相容れないものとなっている。

特に、物理学者が量子力学について学んだことは、古典論理の馴染み深い原理の一部を放棄する説得力のある根拠となる、と彼は主張した。その理由は、パトナムが概ね支持する物理世界に関する実在論は、量子現象に伴う異常に正面から向き合うことを要求するからである。パトナムは、物理対象に関する実在論は、量子に運動量と位置という性質が存在することを意味すると理解している。不確定性原理によれば、どちらか一方は決定できるが、両方を同時に決定することはできないため、彼はパラドックスに直面する。彼は、このパラドックスの唯一の解決策は、矛盾しないと考える量子論理を受け入れることにあると見ている。

物理理論の形式的な法則は、繰り返し行われる制御された観測によって正当化される。物理学者の視点から言えば、これがこれらの法則の経験的性質の意味するところである。

ブール論理とは根本的に異なる規則を持つ命題論理という概念自体は新しいものではなかった。実際、1930年代半ばにギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンによって、非古典的な命題論理と量子力学における測定過程のいくつかの側面との間に一種の類似性が確立されていた。パトナムと物理学者のデイヴィッド・フィンケルスタインは、この対応関係は単なる漠然とした類似性以上のものだと提唱した。すなわち、ヒルベルト空間上の射影演算子の束によって意味論が与えられる論理体系が存在するというのである。そして、これこそが、微視的な世界について推論するための正しい論理体系であると彼らは主張した。

この見方によれば、古典論理は単にこの新しい論理の極限的な場合であったに過ぎない。もしそうだとすれば、我々が「先入観に基づいて」抱いていたブール論理は、ユークリッド幾何学（物理空間の正しい幾何学とみなされていた）が一般相対性理論（の理論を支持する事実）に基づいて否定されたのと同様に、経験的証拠によって否定されなければならないだろう。この議論は、論理の規則は経験的であるという見解を支持するものである。

その論理は量子論理として知られるようになった。しかし、今日ではこの論理を古典論理の代替とみなす哲学者はほとんどいない。パトナム自身も晩年にはもはやそのような見解を持っていなかったかもしれない。量子論理は今でも量子力学の基礎的な形式体系として用いられているが、その際、原始的な事象は原子的な文としてではなく、観測の可能な結果として操作的に解釈される。このように、量子論理は物理的観測量と量子測定に関する統一的かつ一貫した数学的理論を提供する。

同じく「論理は経験的か？」と題された記事の中で、マイケル・ダメットは、パトナムのリアリズムへの欲求は分配原理を必要とすると主張している。分配原理は、彼が二値原理について主張するのと同様に、命題が世界について真である理由をリアリストが理解する上で不可欠である。その理由を理解するために、真理値表が古典論理で機能する理由を考えてみよう。まず、命題の可変部分は真か偽かのどちらかでなければならない。もしそれらが他の値を取り得る、あるいはそもそも真偽値を持たないとしたら、論理結合子の真理値表分析では、それらが適用できる可能性のある方法を網羅できないことになる。例えば、直観主義論理は古典的な真理値表は尊重するが、古典論理の法則は尊重しない。なぜなら、直観主義論理では命題が真か偽以外の値を取ることを許容するからである。第二に、真理値表を用いて結合子を記述できるかどうかは分配性に依存します。真理値表は結合可能性の選言であり、その妥当性は全体の真理が命題の二値性の結果であることに依存しますが、これは分配性の原理が適用される場合にのみ真となります。

したがって、パトナムは古典論理を受け入れずに実在論を受け入れることはできず、量子に関する実在論を理由に量子論理を支持するという彼の主張は、全く見込みのないものである。

ダメットの議論は、彼が古典論理の支持者ではないという点において、なおさら興味深い。実在論と古典論理の関連性に関する彼の議論は、特定の種類の存在の存在自体が議論の的となる場合と同様に、そのような存在の客観的な存在に関する議論もまた議論の的となる、というより広範な議論の一部である。したがって、客観的な存在が論争の的となる現象に関する議論においては、直観主義論理が古典論理よりも優位に立つことになる。

したがって、ダメットにとって「論理は経験的か？」という問いは、現代形而上学における最も根深い問題の一つである、実在論と反実在論をめぐる論争へと自然と繋がるのである。