解釈（モデル理論）

モデル理論 において、構造Mを別の構造N（通常は異なるシグネチャを持つ）で解釈することは、 MをNの内部で表現するという考え方を近似する技術的な概念である。例えば、構造Nのすべての縮約または定義展開は、 Nにおける解釈を持つ。

多くのモデル理論的性質は、解釈可能性の下でも保持される。例えば、Nの理論が安定であり、MがNにおいて解釈可能であるならば、 Mの理論も安定である。

数学論理学の他の分野では、「解釈」という用語は、ここで定義されている意味ではなく、構造を指す場合があることに注意してください。[1][2] これら2つの「解釈」の概念は関連していますが、それでも区別されます。同様に、「解釈可能^{性」は、理論間}の文の表現と証明可能性に関する、関連しているが区別される概念を指す場合があります。

パラメータを持つ（またはパラメータを持たない）構造Nにおける構造Mの解釈は、ペアである。${\displaystyle (n,f)}$ここで nは自然数であり、${\displaystyle f}$N ⁿの部分集合から Mへの全射写像であり 、${\displaystyle f}$-preimage (より正確には${\displaystyle f^{k}}$パラメータなしの1階式でMで定義可能なすべての集合X  ⊆ M ^kの逆像は、パラメータあり（またはパラメータなし）の1階式で（ Nで）定義可能である。解釈のためのnの値は ${\displaystyle (n,f)}$文脈から明らかであることが多い地図${\displaystyle f}$それ自体も解釈と呼ばれる。

M内のすべての定義可能な（パラメータなしの）集合の逆像がN内で定義可能である（パラメータありまたはなし）ことを検証するには、次の定義可能な集合の逆像をチェックすれば十分です。

• Mのドメイン;
• M2の対角線。​^​
• Mの署名内のすべての関係。
• Mの符号に含まれるすべての関数のグラフ。

モデル理論において、「定義可能」という用語は、しばしばパラメータを用いた定義可能性を指します。この慣例を用いる場合、パラメータを用いない定義可能性は「0-定義可能」という用語で表されます。同様に、パラメータを用いた解釈は単に「解釈」と呼ばれ、パラメータを用いない解釈は「0-解釈」と呼ばれます。

L、M、N が3 つの構造であり、 Lが Mで解釈され 、MがNで解釈される場合、 LのNにおける複合解釈を自然に構築できます。2 つの構造MとN が互いに解釈される場合、2 つの可能な方法で解釈を組み合わせることにより、それぞれの構造のそれ自身における解釈が得られます。この観察により、位相空間間のホモトピー同値性を彷彿とさせる、構造間の同値関係を定義することができます。

2つの構造MとNは、 MのNにおける解釈とNのMにおける解釈が存在し、 M自身の合成解釈とN自身の合成解釈がそれぞれMとNで定義可能である場合、双方向解釈可能であるという（合成解釈は、MとNに対する操作とみなされる）。

Z × ZからQへの部分写像f は、y ≠ 0の場合に( x , y ) をx / yに写像するもので、整数環Zにおける有理数体Qの解釈を与えます(正確には、その解釈は (2, f ) です)。実際、この特定の解釈は、有理数を定義するためによく使用されます。これが (パラメータのない) 解釈であることを確認するには、 Qの定義可能な集合の次の逆像を調べる必要があります。    

• Qの逆像は、¬ ( y = 0)で与えられる式 φ( x , y ) によって定義されます。    
• Qの対角線の逆像は、 x ₁ × y ₂ = x ₂ × y ₁で与えられる式φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ )によって定義されます。
• 0 と 1 の逆像は、 x = 0 およびx = yで与えられる式 φ( x , y )によって定義されます。     
• 加算のグラフの逆像は、式φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ , x ₃ , y ₃ )で定義され、 x ₁ × y ₂ × y ₃ + x ₂ × y ₁ × y ₃ = x ₃ × y ₁ × y ₂で与えられます。
• 乗算のグラフの逆像は、_x 1 _× x 2 _× y 3 ₌ x 3 _{× y 1} × y 2で与えられる式φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ , x ₃ , y ₃ )によって定義され_ます。

• アールブラント、ギゼラ、ツィーグラー、マーティン（1986）「準有限公理化可能な完全圏論」、純粋および応用論理学年報、30：63–82、doi：10.1016/0168-0072(86)90037-0
• ホッジス、ウィルフリッド（1997）、『より短いモデル理論』、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58713-6（第 4.3節）
• ポワザ、ブルーノ（2000）、『モデル理論入門』、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-98655-5（第 9.4項）