正多面体化合物の一覧

この記事では、ユークリッド空間、球面空間、双曲空間における正多面体化合物を一覧表示します。

任意の自然数 n に対して、シュレーフリ記号 {n/m} を持つ n 角星型正多角形が存在し、m < n/2 (厳密には {n/m}={n/(n−m)}) かつ m と n は互いに素であるすべての m に対して存在します。m と n が互いに素でない場合、得られる星型多角形はn / m辺を持つ正多角形になります。これらの正n / m角形を、元の多角形上で頂点を 1 つ左に、回転した頂点の数がn / mから1 引いた数になるまで回転させ、これらの図形を組み合わせることで、新しい図形が得られます。極端な例ではn / mが 2 で、 n /2 個の直線セグメントからなる図形が生成されます。これは退化した星型多角形と呼ばれます。

nとm が共通の因数を持つその他の場合には、より小さいnの星型多角形が得られ、回転バージョンを組み合わせることができます。これらの図形は、星型図形、不完全な星型多角形、または複合多角形と呼ばれます。同じ表記法 { n / m } がこれらによく使用されますが、Grünbaum (1994) などの権威者は (ある程度の正当性を持って) k { n }という形式がより正確であると考えています。この場合、通常はk = mです。

さらに複雑なのは、2 つ以上の星型多角形、たとえば 10 角形に内接する 36° 回転が異なる 2 つの五芒星を合成する場合です。これは、一般的に使用される {10/4} ではなく、 k { n / m } の形式、つまり 2{5/2} で正しく表記されます。

Coxeter の複合語の拡張表記法は、c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} という形式です。これは、d個の異なる { p , q ,...} が合わせて { m , n ,...}の頂点をc回、{ s , t ,...}の面をe回カバーすることを示します。正規の { m , n ,...} が存在しない場合は、表記法の最初の部分が削除され、[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} が残ります。正規の { s , t ,...} が存在しない場合は、その逆が当てはまります。c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}の双対はe { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...} です。cまたはeが 1 の場合は省略できます。複合多角形の場合、この表記は { nk }[ k { n / m }]{ nk } に簡略化されます。たとえば、六芒星は{6} [ 2{3}]{6} と記述できます。

規則的な斜めの多角形も複合面を作成します。これは、反プリズムのプリズム複合面のエッジに見られます。たとえば、次のようになります。

正多面体化合物は、正多面体のように、頂点推移、辺推移、面推移である化合物として定義できます。この定義では、5 つの正多面体化合物が存在します。

上の表は、シュレーフリ記号を組み込んだ、通常の複合語の Coxeter 表記法を示しています。角括弧内の要素 [ d { p , q }] は、複合語の構成要素を表します。d個が{ p、q } を分離します。角括弧の前の要素は、複合語の頂点の配置を表します。c { m 、 n } [ d { p、q }] は、 d { p、q } が { m、n }の頂点をc回共有する複合語です。角括弧の後の要素は、複合語の面の配置を表します。[ d { p、q }] e { s、t } は、 d { p、q } が { s、t }の面をe回共有する複合語です。これらは組み合わせることもできる。つまり、c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } は、 { m , n }の頂点をc回、 { s , t }の面をe回共有するd { p , q } の合成である。この表記法は、任意の次元数の合成に一般化できる。^[1]

不完全な正多面体（二面体と細面体）が許容される場合、さらに2つの化合物、2{3,4}[3{4,2}]{4,3}とその双対である{3,4}[3{2,4}]2{4,3}が可能になります。^[2]

ユークリッド平面の正則複合タイル分割には、2パラメータ族が18個ある。双曲面では、1パラメータ族が5個と孤立したケースが17個知られているが、このリストの完全性はまだ証明されていない。^[2]

整数が b ² +c ²または b ² +bc+c ^{2 の}形式で2 つの異なる方法で表現できる場合は、区別する必要があります。たとえば、 145 = 12 ² + 1 ² = 9 ² + 8 ²、または 91 = 9 ² + 9 ⋅ 1 + 1 ² = 6 ² + 6 ⋅ 5 + 5 ²です。このような場合、Coxeter は合計を明示的に表記します。たとえば、{4,4}[(144+1){4,4}]{4,4} ではなく、{4,4}[(81+64){4,4}]{4,4} です。^[2]

1964年にコクセターは、コンパクトまたはパラコンパクト双曲面タイル分割の次の複合を知っていましたが、その完全性の証明は当時は知られていませんでした。^[2]

ユークリッド複合族と双曲複合族 {4,q}[2{q,q}]{q,4} は、h{4,q} = {q,q} であるため、つまり、{4,q} の交互の頂点を取ると {q,q} になるために出現します。したがって、これらは q=3 の場合である球状 stella octangula のユークリッドおよび双曲類似体です。^[2]

h{2q,q} = {q,2q} の場合も同様で、複合 {2q,q}[2{q,2q}] とその双対 [2{2q,q}]{q,2q} が生成されます。ここで、{2q,q} の双対を取ると、頂点が他の 2 つの {q,2q} の交互の面の中心にある 3 番目の {q,2q} が得られます。これにより、複合 {3,2q}[3{q,2q}]2{2q,3} とその双対 2{3,2q}[3{2q,q}]{2q,3} が生成されます。これらの化合物は、q > 3 の場合は双曲型、q = 3 の場合はユークリッド型です。これらの化合物は、球状化合物 {4,3,3}[2{3,3,4}]、[2{4,3,3}]{3,3,4}、{3,4,3}[3{3,3,4}]2{3,4,3}、および 2{3,4,3}[3{4,3,3}]{3,4,3} と類似しています。^[2]

{4,q}[2{q,q}]{q,4} で q = 8 とし、{3,2q}[3{q,2q}]2{2q,3} で q = 4 とすると、特殊なケース {4,8}[2{8,8}]{8,4} と {3,8}[3{4,8}]2{8,3} が得られる。後者の {4,8} は前者に従って {8,8} のペアに置き換えることができ、自己双対化合物 {3,8}[6{8,8}]{8,3} が得られる。^[2]

コクセターは著書「正則多面体」の中で、正則4次元多面体の正則化合物を32個挙げている。^[3] マクマレンは論文「4次元多面体の新しい正則化合物」で6個を追加し、リストが完全であることを証明している。^[4]以下の表で、上付き文字(var)は、ラベルの付いた化合物が同じ記号の他の化合物と異なることを示している。

75 個の四次元方陣には 2 つの異なる化合物があります。1 つは 120 個のセルの頂点を共有し、もう 1 つは 600 個のセルの頂点を共有します。したがって、75 個の 16 個のセルの対応する二重化合物も異なることがわかります。

また、頂点推移的またはセル推移的であるが両方ではない、部分的に正規な複合語が 14 個あります。7 つの頂点推移的部分的に正規な複合語は、7 つのセル推移的部分的に正規な複合語の双対です。

5 セルと 24 セルはどちらも自己双対ですが、それらの双対合成物 ( 2 つの 5 セルの合成物と 2 つの 24 セルの合成物) は、2 つの四面体の合成物やさまざまな双対多角形合成物とは異なり、頂点正則でもセル正則でもないため、正則とは見なされません。つまり、それらは任意の正則 4 次元多面体のファセットや星型ではありません。ただし、頂点、辺、面、およびセルは推移的です。

唯一の正規ユークリッド複合ハニカムは、立方ハニカムの無限複合族であり、すべてが別の立方ハニカムと頂点と面を共有しています。この複合には、任意の数の立方ハニカムを含めることができます。コクセター表記は {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4} です。

CWL ガーナーは 1970 年に、正則双曲型複合ハニカムの 2 つの双対ペアについて説明しました。コンパクト ペア 2{5,3,4}[5{4,3,5}] と [5{5,3,4}]2{4,3,5}、およびパラコンパクト ペア {6,3,3}[5{6,3,4}] と [5{4,3,6}]{3,3,6} です。彼は、頂点が無限遠にある頂点正則複合や、（逆に）セルの中心が無限遠にあるセル正則複合については考慮しませんでした。^[7] 2019年にピーター・マクマレン（コンパクトなケースのみに焦点を当てた）はガーナーの完全性の証明のギャップを指摘して埋め、現在では2{5,3,4}[5{4,3,5}]と[5{5,3,4}]2{4,3,5}が唯一のコンパクトな正則双曲型ハニカム化合物であることが証明されています。^[8]

5 次元または 6 次元には、規則的な化合物は存在しません。7 次元の化合物は 3 つ (16、240、または 480 の7 単体)、8 次元の化合物は 6 つ (16、240、または 480 の8 立方体または8 正複素数) 知られています。また、nが 2 の累乗より 1 小さい場合、 n次元空間にはn単体の化合物が 1 つ存在し、 nが 2 の累乗の場合、 n次元空間には化合物が 2 つ ( n立方体の 1 つとn正複素数の双対の 1 つ)存在します。

これらの化合物のCoxeter表記法は次の通りです（αn ⁼ {3n ^{− 1} }、βn ⁼ { ^{3n −} 2,4}、γn ₌ {4,3n ^{− 2} }を使用）。

• 7単体: c γ ₇ [16 c α ₇ ] c β ₇、ただしc = 1、15、または30
• 8-オルソプレックス: c γ ₈ [16 c β ₈ ]
• 8立方体: [16 c γ ₈ ] c β ₈

一般的なケース（n = 2 ^kかつd = 2 ^{2 k − k − 1}、k = 2、3、4、...）:

• 単体: γ _{n −1} [ d α _{n −1} ]β _{n −1}
• オルソプレックス: γ _n [ d β _n ]
• 超立方体: [ d γ _n ]β _n

5次元以上の既知の正則ユークリッド複合ハニカム族は、他の超立方ハニカムと頂点と面を共有する超立方ハニカムの複合の無限族です。この複合には、任意の数の超立方ハニカムを含めることができます。コクセター表記は δ _n [ d δ _n ]δ _nで、 n = 2 のときはδ _n = {∞} 、 n ≥ 3 のときは{4,3 ^{n −3} ,4} です。

4次元では、ガーナー（1970）は{3,3,3,5}[26{5,3,3,5}]{5,3,3,3}の存在を主張した。^[7]根拠も構成も示されていないが、マクマレン（2019）はこの主張が正しいことを証明した。^[8]マクマレンは、以下のコンパクト化合物の存在を示した。^[8]

• 2{3,3,3,5}[17{4,3,3,5}]および双対[17{5,3,3,4}]2{5,3,3,3};
• 10{3,3,3,5}[85{4,3,3,5}]およびデュアル[85{5,3,3,4}]10{5,3,3,3};
• {3,3,3,5}[26{5,3,3,5}]{5,3,3,3} (自己双対、左利きと右利きの形式がある);
• 6{3,3,3,5}[156{5,3,3,5}]6{5,3,3,3} (自己双対、左利きと右利きの形式がある);
• 12{3,3,3,5}[312{5,3,3,5}]12{5,3,3,3}（自己双対）。

マクマレンは、このリストはコンパクト化合物に関しては完全であると推測している。もしこれよりコンパクトな化合物が存在するなら、{4,3,3,5}または{5,3,3,5}が{5,3,3,3}に内接している必要がある（まだ除外されていない唯一のケース）。^[8]

5次元では、頂点が無限遠にない正則双曲ハニカムは1つだけ存在する: {3,4,3,3,3}。したがって、頂点正則複合の頂点は無限遠にあってはならないというガーナーの制限に適合する正則複合は存在しない。6次元以上では、コンパクトまたはパラコンパクト正則双曲ハニカムはまったく存在しないため、コンパクトまたはパラコンパクト複合は存在しない。^[7]

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