結び目理論

トポロジーにおいて、結び目理論は数学的な結び目の研究である。靴ひもやロープなど、日常生活に現れる結び目に着想を得ているが、数学的な結び目は、端が繋がっているため解くことができないという点で異なり、最も単純な結び目はリング（または「解けない結び目」）である。数学的な言葉で言えば、結び目は3次元ユークリッド空間における円の埋め込みである。 $\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ 2 つの数学的結び目は、一方を変形によって他方に変換できる場合に同等である。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ それ自体に対する変換（環境同位体として知られる）；これらの変換は、結び目のある紐を切断したり、それ自体に通したりすることなく、紐を操作することに対応する。

結び目は様々な方法で記述できます。異なる記述方法を用いると、同じ結び目でも複数の記述が存在する場合があります。例えば、結び目を記述する一般的な方法の一つに、結び目図と呼ばれる平面図があり、この図ではどんな結び目でも様々な描き方ができます。したがって、結び目理論における根本的な問題の一つは、2つの記述が同じ結び目を表しているかどうかを判断することです。

この問題に対する完全なアルゴリズム的解法が存在するが、その複雑さは不明である。^{[ 1 ]}実際には、結び目は結び目不変量、つまり結び目の異なる記述から計算されたときに同じになる「量」を使用して区別されることが多い。重要な不変量には、結び目多項式、結び目群、双曲不変量などがある。

結び目理論の創始者たちの当初の目的は、複数の要素が絡み合った結び目である結び目と絡み目の表を作成することでした。19世紀に結び目理論が始まって以来、 60億を超える結び目と絡み目が表にまとめられています。

より深い理解を得るために、数学者たちは結び目の概念を様々な方法で一般化してきた。結び目は他の3次元空間でも考えることができ、円以外の物体も使用できる（結び目（数学）を参照）。例えば、高次元の結び目は、( n +2)次元ユークリッド空間に埋め込まれたn次元球である。結び目理論は、タンパク質、DNA、物理的なロープの結び目を研究するために用いられる開曲線の絡み合いを記述するように拡張することもできる。

歴史

考古学者は、結び目を作る習慣が先史時代にまで遡ることを発見しました。結び目は、情報の記録や物を結び合わせるなどの用途に加え、その美しさや精神的な象徴性から人々の関心を集めてきました。結び目は、紀元前数世紀に遡る様々な形態の中国美術に登場します（中国の結び目を参照）。エンドレスノットはチベット仏教に見られ、ボロメオの輪は様々な文化で繰り返し登場し、しばしば団結の強さを表しています。ケルズの書を作成したケルトの修道士たちは、複雑なケルトの結び目模様でページ全体を覆い尽くしました。

結び目の数学理論は、1771 年にアレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンドによって初めて開発され、位置の幾何学に関連する結び目の性質を議論する際に、位相的特徴の重要性を明示的に指摘しました。結び目の数学的研究は、19 世紀にカール・フリードリヒ・ガウスによって始まり、彼は連結積分を定義しました( Silver 2006 )。1860 年代には、原子はエーテル中の結び目であるというケルビン卿の理論により、ピーター・ガスリー・テイトが完全な分類のための最初の結び目表を作成しました。テイトは 1885 年に、最大 10 個の交差を持つ結び目の表と、後にテイト予想として知られるようになったものを発表しました。この記録は初期の結び目理論家たちを刺激しましたが、結び目理論は最終的に新興のトポロジーの分野の一部となりました。

20世紀初頭のトポロジー学者、マックス・デーン、J・W・アレクサンダーらは、結び目群の観点から結び目を研究し、アレクサンダー多項式などのホモロジー理論における不変量を用いた。これが、一連の画期的な発見によって結び目理論が変革されるまで、結び目理論の主要なアプローチとなった。

1970年代後半、ウィリアム・サーストンは双曲化定理を用いて双曲幾何学を結び目の研究に導入した。多くの結び目が双曲結び目であることが示され、幾何学を用いて新たな強力な結び目不変量を定義することが可能になった。 1984年にヴォーン・ジョーンズがジョーンズ多項式を発見し（Sossinsky 2002 、pp. 71–89）、その後エドワード・ウィッテン、マキシム・コンツェヴィッチ、ルイス・カウフマンらが貢献したことで、結び目理論と統計力学や量子場理論における数学的手法との間に深い繋がりがあることが明らかになった。それ以来、量子群やフローアホモロジーなどの高度なツールを用いて、数多くの結び目不変量が考案されてきた。

20世紀後半の数十年間、科学者たちはDNAやその他のポリマーにおける結び目現象を理解するために、物理的な結び目の研究に興味を持つようになった。結び目理論は、分子がキラル（「左右対称性」を持つ）であるかどうかを判断するために使用できる（Simon 1986 ）。両端が固定された紐であるタングルは、 DNAに対するトポイソメラーゼの作用を研究するために効果的に使用されてきた（Flapan 2000 ）。結び目理論は、トポロジカル量子計算のモデルを通して、量子コンピュータの構築において重要な役割を果たす可能性がある（Collins 2006 ）。

結び目の等価性

左側には、解けた結び目と、それに相当する結び目が示されています。右側のような複雑な結び目が、解けた結び目と等価かどうかを判断するのは、より難しい場合があります。

結び目は、まず一次元の線分から始め、それを任意に巻き付け、その両端を融合させて閉じたループを形成することによって作られます（Adams 2004 ）（Sossinsky 2002 ）。簡単に言えば、結び目とは $K$ これは「単純閉曲線」（曲線を参照）であり、つまり「ほぼ」単射かつ連続な関数である。 $\displaystyle K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}$ 唯一の「非単射性」は $K(0)=K(1)$ トポロジー学者は、結び目と、リンクや編み紐などの他の絡み合いは、結び目が交差することなく滑らかに移動して別の結び目と一致する場合、同等であると考える。

結び目の等価性の概念は、空間内で位置がかなり異なっていても、2 つの結び目が同じであるとみなされるべき場合を正確に定義することです。正式な数学的定義は、2 つの結び目が $K_{1},K_{2}$ 向きを保存する同相写像が存在する場合、それらは同等である。 $\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ と $h(K_{1})=K_{2}$ 。

この結び目同値性の定義が意味するところは、2つの結び目が同相写像の連続族が存在する場合に同値であるということである。 $\{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1\}$ 空間をそれ自身に重ね合わせることで、最後の結び目が最初の結び目を2番目の結び目に運ぶ。（詳細：2つの結び目 $K_{1}$ そして $\displaystyle K_{2}}$ 連続写像が存在する場合、それらは同等である。 $H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ a) 各 $t ∈ [0,1]$ マッピング $x\in \mathbb {R} ^{3}$ に $\displaystyle H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}}$ は同相写像である $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ b) それ自体に重ねて; $H(x,0)=x$ すべての人々のために $x\in \mathbb {R} ^{3}$ c) $H(K_{1},1)=K_{2}$ このような関数 $H$ （環境同位体として知られています。）

これら2つの結び目同値性の概念は、どの結び目が同値であるかについて完全に一致しています。方向保存同相写像の定義の下で同値である2つの結び目は、周囲の同位性の定義の下でも同値です。なぜなら、任意の方向保存同相写像は $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 自身への変換は、同一性から始まる環境同位性の最終段階です。逆に、環境同位性の定義の下で等価な 2 つの結び目は、方向保存同相の定義の下でも等価です。なぜなら、 $t=1$ （最終）環境同位性の段階は、一方の結び目を他方の結び目へ運ぶ、方向を保持する同相写像でなければならない。

周囲の同位性というより限定的な性質ではなく、「同位性」に基づいて結び目の同値性を定義しようとするかもしれない。つまり、2 つの結び目は、から始まる連続関数が存在する場合に同位である。 $t=0$ 与える $K_{1}$ 埋め込み、終了 $t=1$ 与える $\displaystyle K_{2}}$ 埋め込みであり、すべての中間値は埋め込みに対応します。しかし、この定義では、結び目のある部分を直線に「縮約」できるため、すべての結び目が結び目のない部分と等価になってしまいます。問題は、これは連続ではあるものの、結び目が埋め込まれているユークリッド空間の単射関数ではないことです。ホモトピーが同相写像によるものであることを要求することで、この問題は解決します。

結び目理論の基本的な問題である認識問題は、2 つの結び目の等価性を決定することです。この問題を解決するためのアルゴリズムが存在し、最初のアルゴリズムは1960 年代後半にWolfgang Hakenによって提案されました( Hass 1998 )。しかしながら、これらのアルゴリズムは非常に時間がかかる場合があり、理論における大きな課題は、この問題が実際にどれほど難しいかを理解することです( Hass 1998 ) 。結び目が存在しないことを認識する特殊なケースは、結び目解除問題と呼ばれ、特に興味深いものです( Hoste 2005 )。2021 年 2 月にMarc Lackenby は、準多項式時間で実行される新しい結び目が存在しない認識アルゴリズムを発表しました。^{[ 2 ]}

結び目図

結び目を視覚化して操作する便利な方法は、結び目を平面に投影することです。壁に影を落とす結び目を想像してみてください。投影方向を少し変更すると、交差と呼ばれる2点を除いて1対1になります。交差では、結び目の「影」が横方向に1回交差します（Rolfsen 1976 ）。各交差で、元の結び目を再現できるようにするには、上側の糸と下側の糸を区別する必要があります。これは、下側の糸に切れ目を入れることでよく行われます。結果として得られる図は、各交差でどちらの糸が上側でどちらが下側かという追加データを持つ埋め込み平面曲線です。（これらの図は、結び目を表す場合は結び目図、リンクを表す場合はリンク図と呼ばれます。）同様に、4次元空間の結び目のある曲面は、3次元空間の埋め込み曲面と関連付けることができます。

縮約図とは、縮約可能な交点（無効交点または除去可能な交点とも呼ばれる）がない、または縮約可能な交点がすべて除去された結び目図のことである。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}花弁投影とは、二重点を形成する代わりに、結び目のすべてのストランドが単一の交点で交わり、入れ子になっていない「花弁」を形成するループによってその交点に接続されるタイプの投影である。^{[ 5 ]}

ライデマイスターが動く

1927年、JWアレクサンダーとガーランド・ベアード・ブリッグスは、この結び目の図式形式を用いて、またクルト・ライデマイスターもそれぞれ独立に、同じ結び目に属する2つの結び目図は、以下に示す図上の3種類の操作のシーケンスによって関連付けられることを実証した。これらの操作は現在ライデマイスター操作と呼ばれており、以下の通りである。

どちらの方向にもひねったり、元に戻したりできます。
一方の糸をもう一方の糸の上に完全に重ねてください。
交差部分を完全に上または下に通します。

同値な結び目の図がライデマイスター移動によって結び付けられるという証明は、ある結び目から別の結び目への移動の平面投影の下で何が起こるかを分析することに基づいています。この移動は、2本以上のストランドが一点で交差したり、複数のストランドが一点で接線になったりするなど、「イベント」または「カタストロフィ」が発生する有限個の場合を除いて、投影がほぼ常に結び目図になるように配置できます。詳しく調べると、複雑なイベントは排除でき、最も単純なイベントだけが残ることがわかります。(1)「キンク」が形成されるか、まっすぐになる。(2) 2本のストランドが一点で接線になり、そこを通過する。(3) 3本のストランドが一点で交差する。これらはまさにライデマイスター移動です( Sossinsky 2002 、第3章) ( Lickorish 1997 、第1章)。

結び目不変量

結び目不変量とは、同値な結び目に対して同じ値をとる「量」である（Adams 2004 ）（Lickorish 1997 ）（Rolfsen 1976 ）。例えば、結び目図から不変量を計算する場合、同値な結び目を表す2つの結び目図に対して同じ値を与えるはずである。不変量は2つの異なる結び目で同じ値をとる場合もあるため、それだけではすべての結び目を区別できない可能性がある。基本的な不変量としては、三色性がある。

「古典的」な結び目不変量には、結び目補元の基本群である結び目群と、結び目補元の無限巡回被覆から構成される加群であるアレクサンダー不変量から計算できるアレクサンダー多項式が含まれます（Lickorish 1997 ）（Rolfsen 1976 ）。20世紀後半には、「量子」結び目多項式、ヴァシリエフ不変量、双曲不変量などの不変量が発見されました。これらの不変量は、現代の結び目理論の氷山の一角にすぎません。

結び目多項式

結び目多項式とは、結び目不変量である多項式のことである。よく知られた例としては、ジョーンズ多項式、アレクサンダー多項式、カウフマン多項式などがある。アレクサンダー多項式の変形であるアレクサンダー・コンウェイ多項式は、変数zに関する整数係数の多項式である( Lickorish 1997 )。

アレクサンダー・コンウェイ多項式は、実際にはリンクという概念に基づいて定義されます。リンクとは、互いに絡み合った1つ以上の結び目から構成されます。結び目について上述した概念（例えば、図やライデマイスター移動など）は、リンクにも当てはまります。

方向付きリンク図、つまりリンクの各構成要素が矢印で示される優先方向を持つ図を考えます。図の特定の交点について、 $L_{+}、L_{-}、L_{0}$ 図に示すように図を変更することによって得られる、方向付けされたリンク図を以下に示す。

元の図は次のいずれかである可能性があります $L_{+}$ または $L_{-}$ 選択された交差点の構成に応じて、アレクサンダー・コンウェイ多項式は、 $C(z)$ は、以下の規則に従って再帰的に定義されます。

$C(O)=1$ （どこ $O$ （解けた結び目の図）
$C(L_{+})=C(L_{-})+zC(L_{0})。$

2つ目の規則は、しばしば「糸束関係」と呼ばれるものです。これらの規則が向き付けられた結び目の不変量を与えることを確認するには、多項式が3つのライデマイスター操作の下で変化しないことを確認する必要があります。多くの重要な結び目多項式はこのように定義できます。

以下は、スケイン関係を用いた典型的な計算例です。これは、三つ葉結びのアレクサンダー・コンウェイ多項式を計算します。黄色の部分は、関係が適用される箇所を示しています。

C (

) = C ( ) + z C ( )

解結びとホップリンクを与える。指示されたホップリンクに関係を適用すると、

C (

) = C (

) + z C (

)

交差が0のリンク（実際には2つのコンポーネントのリンク解除）と解結び目を生成する。リンク解除には少し工夫が必要だ。

C (

) = C (

) + z C (

)

これは、最初の 2 つの多項式が結び目のないものであるため等しいことから、C (2 つの成分の連結解除) = 0 であることを意味します。

これら全てをまとめると、次のことが分かります。

C(\mathrm {三つ葉} )=1+z(0+z)=1+z^{2}

アレクサンダー・コンウェイ多項式は結び目不変量であるため、これは三つ葉結び目が結び目のないものと等価ではないことを示しています。したがって、三つ葉結び目は実際には「結び目がある」と言えます。

左利きの三つ葉結び。
右結びの三つ葉結び。

実際には、右巻きと左巻きの2種類の三つ葉結び目があり、これらは互いに鏡像の関係にあります（上記の三つ葉結び目の図を取り、各交差を反対方向に変更すると鏡像が得られます）。これらは互いに等価ではなく、両性キラルではありません。これは、結び目多項式が発明される前に、マックス・デーンが群論的手法を用いて示しました（デーン 1914 ）。しかし、各種類の三つ葉結び目のアレクサンダー・コンウェイ多項式は同じになります。これは、上記の計算を鏡像で実行することで確認できます。ジョーンズ多項式は、実際には左巻きと右巻きの三つ葉結び目を区別することができます（リコリッシュ 1997 ）。

双曲型不変量

ウィリアム・サーストンは、多くの結び目が双曲結び目であることを証明した。これは、結び目の補集合（つまり、結び目上にない3次元空間の点の集合）が幾何学的構造、特に双曲幾何学の構造を持つことを意味する。双曲構造は結び目のみに依存するため、双曲構造から計算される量はすべて結び目不変量となる（アダムス 2004 ）。

ボロメオ環は、一つの環を取り除くと他の環の繋がりが断たれるという性質を持つ環である。

SnapPeaの特異点からの視点：ボロメオ環は、赤い成分の近くに住む住民の視点から見ると、互いに補完し合っている。

幾何学では、光線が幾何学の測地線に沿って進む様子を想像することで、結び目やリンク補空間の内部がどのように見えるかを視覚化できます。例として、ボロメオ環の補空間の図が挙げられます。このリンク補空間の住人は、赤い成分の近くから空間を見ています。図中の球は、リンクのホロボール近傍のビューです。リンクを標準的な方法で太くすることで、リンク成分のホロボール近傍が得られます。近傍の境界はトーラスですが、リンク補空間の内部から見ると球のように見えます。各リンク成分は、観察者からリンク成分への光線が無限にあるため、無限に多くの球（同じ色）として現れます。基本的な平行四辺形（図に示されています）は、垂直方向にも水平方向にもタイル状に敷き詰められ、球のパターンを無限に拡張する方法を示しています。

このパターン、ホロボールパターンは、それ自体が有用な不変量です。他の双曲不変量には、基本平行四辺形の形状、最短測地線の長さ、体積などがあります。現代の結び目と絡み目の表作成の取り組みでは、これらの不変量が効果的に利用されています。高速コンピュータとこれらの不変量を取得する巧妙な方法により、これらの不変量の計算は実際には簡単な作業となっています（Adams、Hildebrand & Weeks 1991 ）。

高次元

3次元空間における結び目は、4次元空間に置くと解くことができます。これは、交差する位置を変えることによって行われます。例えば、ある点から見て、一方の糸がもう一方の糸の後ろにあるとします。その糸を4次元空間に持ち上げると、障害物がなくなります（手前の糸にはその位置に要素がなくなります）。次に、糸を前にスライドさせ、再び手前に戻します。平面における例えとしては、糸を表面から持ち上げたり、円の内側から点を取り除いたりすることが挙げられます。

実際、4次元空間では、交差しない1次元の紐の閉じたループはすべて、解けた結び目と同等です。まず、そのループを3次元の部分空間に「押し込む」必要があります。これは常に可能ですが、説明するには技術的な知識が必要です。

しかし、古典的な結び目理論では4次元空間が登場し、スライス結び目やリボン結び目の研究は重要なテーマとなっている。

ラルフ・フォックスに起因するとされる悪名高い未解決問題[6][7]は、すべて^の^スライス^結び目^が^リボン^結び目でもあるかどうかを問うものである。結び目が滑らかにスライスであるとは、それが4次元球に滑らかに埋め込まれた円盤の境界となる場合をいう。（形容詞「滑らかに」は通常仮定され、滑らかにスライスされた結び目はスライス結び目と呼ばれる。合理的スライスなど、必ずしも滑らかにスライスではない他の種類の結び目もある。）リボン結び目は、3次元球に埋め込まれた円盤Dを境界とする結び目である。すべてのリボン結び目はスライス結び目であることが知られている。

より高次元の球体を結び付ける

結び目は位相的に1次元球とみなせるので、次の一般化は2次元球を考えることである（ $\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ）4次元ユークリッド空間に埋め込まれた（ $\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ) の同相写像が存在しない場合、このような埋め込みは結び目がある。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 埋め込み2球面をそれ自身に重ね合わせることで、2球面の標準的な「円形」埋め込みを実現します。吊り下げ結び目と紡ぎ結び目は、このような2球面結び目の代表的な2つのファミリーです。

「一般位置」と呼ばれる数学的手法は、m次元ユークリッド空間における与えられたn次元球面について、mが十分に大きい場合 ( nに依存する)、球面は結び目がないことを示唆している。一般に、区分的線形 n 次元球面は( n + 2) 次元空間でのみ結び目を形成する( Zeeman 1963 )が、これは滑らかに結び目のある球面の要件ではなくなった。実際、滑らかに結び目のある球面は存在する。 $(4k-1)$ 6k次元空間における球体。例えば、滑らかに結び目のある3次元球体が存在する。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$ （ヘフリガー 1962 ）（レヴィン 1965 ）。したがって、結び目のある球の次元を固定しない場合、滑らかな結び目の余次元は任意に大きくなる可能性があります。ただし、に埋め込まれた任意の滑らかなk球は $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ と $2n-3k-3>0$ 結び目がない。結び目の概念は数学においてさらに一般化されている。参照:結び目 (数学)、埋め込みの同位体分類。

n 球面内のすべての結び目 $\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ は、孤立した特異点を持つ実代数集合のリンクである。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ (アクブルト＆キング1981 )

nノットは単一の $\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ 埋め込まれた $\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ nリンクはkコピーから構成される。 $\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ 埋め込まれた $\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ここでkは自然数である。 $m=n+2$ そして $m>n+2$ 事例はよく研究されており、 $n>1$ 事例。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

結び目を追加する

2 つの結び目は、両方の結び目を切断して両端のペアを結合することによって追加できます。この操作は結び目和、または連結和、あるいは2 つの結び目の合成と呼ばれます。これは、次のように正式に定義できます( Adams 2004 )。各結び目の平面投影を考え、これらの投影が互いに分離していると仮定します。平面内に、1 組の対向する辺が各結び目に沿った弧であり、残りの長方形が結び目と分離している長方形を見つけます。最初の対向する辺のペアを削除し、もう 1 組の対向する辺を隣接させることによって、新しい結び目を形成します。結果として得られる結び目は、元の結び目の和です。この操作の方法によっては、2 つの異なる結び目 (それ以上は生成されない) が生じる可能性があります。この和の曖昧さは、結び目を方向付けされている、つまり結び目に沿って優先される移動方向があり、和の中の結び目の弧が長方形の方向付けされた境界と一貫して方向付けられていることを要求することによって解消できます。

向き付けられた結び目の結び目和は可換かつ結合的である。結び目が非自明であり、かつ2つの非自明な結び目の結び目和として表せない場合、その結び目は素数である。そのような和として表せる結び目は合成数である。結び目には素数分解があり、これは素数と合成数に類似している（シューベルト 1949 ）。向き付けられた結び目の場合、この分解も一意である。高次元の結び目も加算できるが、いくつかの違いがある。3次元では2つの非自明な結び目を追加してアンノットを形成することはできないが、少なくとも余次元が3以上の滑らかな結び目を考えると、高次元ではアンノットを形成できる。

ノットは、回路トポロジーアプローチを使用して構築することもできます。これは、ソフトコンタクトと呼ばれる基本ユニットを5つの操作（並列、直列、交差、協調、サブ）で組み合わせることによって行われます。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}このアプローチはオープンチェーンにも適用でき、いわゆるハードコンタクトを含めるように拡張することもできます。

結び目の増殖

2020年の論文（元々は1970年代に得られた結果に基づく）で、VM NezhinskijとVV Nesterenokは、向き付けられた結び目同位クラスの集合に対する二項演算を導入した。 ${\mathcal {K}}$ 、で示される $[\cdot ,\cdot ]:{\mathcal {K}}\times {\mathcal {K}}\to {\mathcal {K}}$ [ ¹²^]

クラスの操作を定義する $\alpha$ そして $\beta$ 代表者は左右の半空間から選出される $\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{3}}$ そして $\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{3}}$ それぞれ、分離平面との交点が特定の直交線分となるようにする。 $V_{1}$ そして $V_{2}$ これらのセグメントの境界が構築され、操作 $[\alpha ,\beta ]$ は、和集合の平滑化された境界の同位体クラスとして定義される。 $\partial (V_{1}\cup V_{2})$ 。

この操作は反対称であり、 $[\beta ,\alpha ]=-[\alpha ,\beta ]$ 標準的な自明な結び目があります $\omega$ 右側のヌル要素として: $[\alpha ,\omega ]=\omega$ この括弧演算の重要な位相的性質は、自明なアレクサンダー・コンウェイ多項式を持つ結び目を生成することである。具体的には、 $\nabla ([\alpha ,\beta ])=1$ また、この記事では、この括弧演算とHOMFLY-PT多項式との関係も明らかにしている。 ${\mathcal {P}}$ 表現する ${\mathcal {P}}([\alpha ,\beta ])$ 連結和の多項式と2倍した成分の線形結合として $D(\alpha )$ そして $D(\beta )$ 。

結び目の表作成

従来、結び目は交差数で分類されてきました。結び目表には一般的に素結び目のみが含まれており、結び目とその鏡像（異なる場合でも）には 1 つのエントリしかありません( Hoste、Thistlethwaite & Weeks 1998 )。特定の交差数の非自明な結び目の数は急速に増加するため、表の作成は計算上困難です( Hoste 2005 、p. 20 )。表の作成の取り組みにより、60 億を超える結び目とリンクが列挙されています( Hoste 2005 、p. 28)。交差数 16 までの特定の交差数の素結び目の数のシーケンスは、0、0、1、1、2、3、7、21、49、165、552、2176、9988 です。 46 972、253 293、1 388 705 ... ( OEISのシーケンスA002863 )。このシーケンスの指数的な上限と下限は知られていますが、このシーケンスが厳密に増加していることは証明されていません( Adams 2004 )。

テイト、リトル、カークマンによる最初の結び目表は結び目図を使用していたが、テイトはダウカー記法の前身も使用していた。結び目については、より効率的な表作成を可能にするさまざまな記法が考案されている（Hoste 2005 ）。

初期の表では、最大10個の交点を持つすべての結び目と、11個の交点を持つすべての交互結び目をリストアップしようと試みました（Hoste、Thistlethwaite 、 Weeks 1998 ）。Alexander、Reidemeister、Seifertらによる結び目理論の発展により検証作業が容易になり、1920年代後半にはAlexander-BriggsとReidemeisterによって9個までの交点を持つ結び目の表が発表されました。

この研究の最初の主要な検証は、1960年代にジョン・ホートン・コンウェイによって行われました。彼は新しい記法を開発しただけでなく、アレクサンダー・コンウェイ多項式も開発しました（コンウェイ 1970 ）（ドール＆ホステ 1991 ）。これにより、最大11個の交点を持つ結び目のリストと、最大10個の交点を持つ新しいリンクのリストが検証されました。コンウェイはテイト・リトル表に多くの省略を発見しましたが、重複は1つだけでした。しかし、彼はペルコペアと呼ばれる重複を見落としており、これは1974年にケネス・ペルコによって初めて指摘されました（ペルコ 1974 ）。この有名な誤りは、コンウェイの研究に基づいてデール・ロルフセンが影響力のあるテキストに結び目表を追加したときに広まりました。コンウェイの1970年の結び目理論に関する論文には、非交代11交差結び目のページにタイプミスによる重複があり、4つの例が省略されている。そのうち2つはD.ロンバルデロの1968年のプリンストン大学の卒業論文に既に記載されており、さらに2つは後にアラン・コードロンによって発見されたものである。[Perko (1982)、「特定の結び目の素性」、Topology Proceedingsを参照] あまり知られていないのは、彼の10交差リンク表の重複である。2.-2.-20.20は8*-20:-20の鏡像である。[Perko (2016)、「非巡回結び目理論の歴史的ハイライト」、J. Knot Theory Ramificationsを参照]

1990年代後半、Hoste、Thistlethwaite、およびWeeksは、16回の交差までのすべての結び目を表にまとめました（Hoste、Thistlethwaite、およびWeeks 1998 ）。2003年には、Rankin、Flint、およびSchermannが、22回の交差までの交互結び目を表にまとめました（Hoste 2005 ）。2020年には、Burtonが、最大19回の交差を持つすべての素結び目を表にまとめました（Burton 2020 ）。

アレクサンダー・ブリッグス記法

これは、1927 年のJames W. AlexanderとGarland B. Briggsの論文に由来し、後にDale Rolfsenが結び目表で拡張した最も伝統的な表記法です (上の画像と素結び目のリストを参照)。この表記法は、結び目をその交差数で単純に整理します。交差数には、その交差数を持つすべての結び目の中での順序を示す添え字を付けて記述します。この順序は任意であり、特別な意味はありません (ただし、各交差数において、ねじれ結び目はトーラス結び目の後に来ます)。リンクは、交差数に上付き文字を付けて成分の数を示し、下付き文字を付けて成分と交差数が同じリンク内での順序を示すように記述します。したがって、三つ葉結び目は 3 ₁と表記され、ホップリンクは 2 ²₁と表記されます。アレクサンダー・ブリッグスの名前は、_{チャールズ}_・ニュートン・リトルのオリジナルおよびその後の結び目表でペルコペアが発見されたこと、およびこの時点以降に作成された結び目表やその他の出版物でこのエラーを修正するアプローチに違いがあることから、10 162 から 10 166 の範囲で曖昧です。^[¹³^]

ダウカー・シスルスウェイト記法

結び目のダウカー・シスルスウェイト記法（ダウカー記法またはコードとも呼ばれる）は、偶数の有限列です。これらの数字は、結び目をたどり、交点を連続する整数でマークすることによって生成されます。各交点は2回訪れるため、偶数と奇数のペアが作成されます。交差のオーバークロスとアンダークロスを示すために適切な符号が付けられます。たとえば、この図では、結び目図の交点には、(1,6) (3, − 12) (5,2) (7,8) (9, − 4) および (11, − 10) のペアがラベル付けされています。このラベル付けに対するダウカー・シスルスウェイト記法は、6、−12、2、8、−4、−10 のシーケンスです。結び目図には複数の可能なダウカー記法があり、ダウカー・シスルスウェイト記法から結び目を再構築する際には、よく知られた曖昧さが存在します。

コンウェイ記法

結び目と絡み目を表すコンウェイ記法は、ジョン・ホートン・コンウェイにちなんで名付けられ、絡み合いの理論（コンウェイ 1970）に基づいている。この記法の利点は、結び目や絡み目のいくつかの特性を反映している点である。

この表記法は、リンクの特定のリンク図を作成する方法を説明しています。まず、基本多面体、つまり二角形領域を持たない4価の連結平面グラフから始めます。このような多面体は、まず頂点の数、次に基本多面体のリストにおける位置を示すアスタリスクの数で表されます。たとえば、10** は、コンウェイのリストにある2番目の10頂点多面体を表します。

各頂点には代数的な絡み目が代入されます（各頂点は、代入において恣意的な選択がないように向き付けられています）。このような絡み目はそれぞれ、数字とプラスまたはマイナスの記号からなる表記を持ちます。

例として、1*2 − 3 2 があります。1* は、頂点が 1 個の基本的な多面体を表します。2 − 3 2 は、有理タングルに関連付けられた連分数を表す数列です。このタングルを、基本的な多面体 1*の頂点に挿入します。

より複雑な例として、8*3.1.2 0.1.1.1.1.1 があります。ここでも 8* は 8 つの頂点を持つ基本的な多面体を表します。ピリオドは、各タングルの表記を区切っています。

どのような結び目でもこのような記述が可能であり、非常に大きな交差数であっても、これは非常に簡潔な表記法であることは明らかです。他にも一般的に用いられる略記法がいくつかあります。最後の例は通常 8*3:2 0 と表記され、1 は省略され、末尾のドットを除くドットの数がそのまま残されます。最初の例のような代数結び目の場合、1* はしばしば省略されます。

コンウェイによるこの分野の先駆的な論文では、彼がリンクを表にまとめるために使用した最大10頂点の基本多面体が列挙されており、これらのリンクの表は標準となっている。さらに高頂点の多面体については、非標準的な選択肢も存在する。

ガウスコード

ガウス符号は、ダウカー・シスルスウェイト記法と同様に、整数列で結び目を表します。ただし、すべての交点が2つの異なる数値で表されるのではなく、交点には1つの数値のみがラベル付けされます。交点が交差している場合は正の数値が、交差していない場合は負の数値が示されます。例えば、三つ葉結びはガウス符号で次のように表されます。1,−2,3,−1,2,−3

ガウス符号は、結び目を識別する能力に限界がある。この問題は、拡張ガウス符号によって部分的に解決される。

鎖内結合を持つ結び目

古典的な結び目理論では交差によって埋め込みを分類しますが、自然界に存在する多くの折り畳まれた鎖には、従来の結び目理論の手法では捉えられない鎖内結合とともに鎖の交差が含まれており、主に回路トポロジーによって研究されています。2019年、Alireza MashaghiとColin Adamsは、鎖内結合を持つ線形鎖の3D埋め込みに結び目理論を拡張しました。^{[ 14 ]}彼らは、自己相互作用する開鎖を分類するための不変量として、一般化されたReidemeister移動、適応されたガウスコード、および「ボンドル」（結合クアンドル）を導入し、古典的な不変量を超えたより豊かな結び目階層を明らかにしました。

アプリケーション

結び目理論は、純粋数学の枠を超えて、さまざまな科学分野で重要な応用を見出しています。化学においては、分子のキラリティを研究するための枠組みを提供し、カテナンや分子結び目といった位相的に非自明な構造を記述するのに役立ちます。これらの構造では、分子骨格の結び目が物理的および化学的性質に影響を与えます。分子生物学においては、結び目理論は、 DNAの連結数と超らせん構造を変化させるトポイソメラーゼなどの酵素の作用を分析したり、環状DNAの組換えや複製などのプロセスをモデル化するために用いられます。物理学においては、結び目不変量は位相的量子場理論において自然に現れます（例えば、ジョーンズ多項式はチャーン・サイモンズ理論から生じます）。また、結び目理論の考え方は、渦力学、宇宙ひも、および特定の統計力学モデルの研究に用いられています。近年では、結び目理論の手法が量子コンピューティングに応用され、そこでは組紐群表現がトポロジカル量子ビットのモデルとして用いられている。また、材料科学においても、新しいポリマーや機械的メタマテリアルの設計に応用されている。

参考文献

情報源

アダムス、コリン（2004）『結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門』アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3678-1
Adams, Colin; Crawford, Thomas; DeMeo, Benjamin; Landry, Michael; Lin, Alex Tong; Montee, MurphyKate; Park, Seojung; Venkatesh, Saraswathi; Yhee, Farrah (2015)、「単一の多重交差を持つ結び目射影」、Journal of Knot Theory and Its Ramifications、24 (3): 1550011、30、arXiv : 1208.5742、doi : 10.1142/S021821651550011X、MR 3342136、S2CID 119320887
Adams, Colin; Hildebrand, Martin; Weeks, Jeffrey (1991)、「結び目と絡み目の双曲不変量」、アメリカ数学会紀要、326 (1): 1–56、doi : 10.1090/s0002-9947-1991-0994161-2、JSTOR 2001854
Akbulut, Selman ; King, Henry C. (1981), "すべての結び目は代数的である", Comment. Math. Helv. , 56 (3): 339– 351, doi : 10.1007/BF02566217 , S2CID 120218312
Bar-Natan, Dror (1995)、「ヴァシリエフ結び目の不変量について」、トポロジー、34 (2): 423–472、doi : 10.1016/0040-9383(95)93237-2
バートン、ベンジャミン A. (2020)。「次の 3 億 5,000 万ノット」。第 36 回計算幾何学国際シンポジウム (SoCG 2020)。ライプニッツ国際空港手順知らせる。 Vol. 164. ダグシュトゥール情報局ライプニッツツェントルム城。 25 :1–25:17。土井：10.4230/LIPIcs.SoCG.2020.25。
コリンズ、グラハム（2006年4月）「量子結び目による計算」、サイエンティフィック・アメリカン、294（4）：56–63、Bibcode：2006SciAm.294d..56C、doi：10.1038/scientificamerican0406-56、PMID 16596880
Dehn、Max (1914)、「Die beiden Kleeblattschlingen」、Mathematische Annalen、75 (3): 402–413、doi : 10.1007/BF01563732、S2CID 120452571
Conway, John H. (1970)、「結び目と絡み目の列挙とその代数的性質」、抽象代数学における計算問題、Pergamon、pp. 329–358、doi : 10.1016/B978-0-08-012975-4.50034-5、ISBN 978-0-08-012975-4
Doll, Helmut; Hoste, Jim (1991)、「向き付けられたリンクの表。マイクロフィッシュ補足付き」、Math. Comp.、57 (196): 747–761、Bibcode : 1991MaCom..57..747D、doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1094946-4
フラパン、エリカ（2000）、『トポロジーと化学が出会うとき：分子キラリティのトポロジー的考察』、Outlook、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-66254-3
Haefliger, André (1962)、「6k空間における結び目のある(4k - 1 )球面」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、75 (3): 452–466、doi : 10.2307/1970208、JSTOR 1970208
Haken, Wolfgang (1962)、「Über das Homöomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. I」、Mathematische Zeitschrift、80 : 89–120、doi : 10.1007/BF01162369、ISSN 0025-5874、MR 0160196
Hass, Joel (1998)、「結び目と3次元多様体を認識するためのアルゴリズム」、Chaos, Solitons and Fractals、9 ( 4–5 ): 569–581、arXiv : math/9712269、Bibcode : 1998CSF.....9..569H、doi : 10.1016/S0960-0779(97)00109-4、S2CID 7381505
Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen ; Weeks, Jeffrey (1998)、「最初の1,701,935個の結び目」、Math. Intelligencer、20 (4): 33–48、doi : 10.1007/BF03025227、S2CID 18027155
Hoste, Jim (2005). 「結び目と絡み目の列挙と分類」『結び目理論ハンドブック』pp. 209–232 . doi : 10.1016/B978-044451452-3/50006-X . ISBN 978-0-444-51452-3。
レヴィン、ジェローム（1965）「微分可能な結び目の分類」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、1982（1）：15–50、doi：10.2307/1970561、JSTOR 1970561
Kontsevich、M. (1993)。「ヴァシリエフの結び目の不変条件」。IMゲルファンドセミナー。 ADVSOV。 Vol. 16. pp. 137–150 .土井: 10.1090/advsov/016.2/04。ISBN 978-0-8218-4117-4。
Lickorish, WB Raymond (1997)『結び目理論入門』、Graduate Texts in Mathematics、第 175巻、Springer-Verlag、doi : 10.1007/978-1-4612-0691-0、ISBN 978-0-387-98254-0S2CID 122824389
Perko, Kenneth (1974)、「結び目の分類について」、アメリカ数学会紀要、45 (2): 262–6、doi : 10.2307/2040074、JSTOR 2040074
ロルフセン、デール（1976）、『結び目と連結』、数学講義シリーズ、第 7巻、カリフォルニア州バークレー：Publish or Perish、ISBN 978-0-914098-16-4MR 0515288
シューベルト、ホルスト (2013) [1949]。プリムノッテンのクノテンスを見つけてください。土井：10.1007/978-3-642-45813-2。ISBN 978-3-540-01419-5。
Silver, Daniel (2006). 「結び目理論の奇妙な起源」。American Scientist . 94 (2): 158. doi : 10.1511/2006.2.158。
Simon, Jonathan (1986)、「特定の分子のトポロジカルキラリティ」、トポロジー、25 (2): 229–235、doi : 10.1016/0040-9383(86)90041-8
ソシンスキー、アレクセイ（2002）、『結び目：ひねりの効いた数学』、ハーバード大学出版局、ISBN 978-0-674-00944-8
トゥラエフ、ウラジミール・G. (2016).結び目と3次元多様体の量子不変量. doi : 10.1515/9783110435221 . ISBN 978-3-11-043522-1. S2CID 118682559 .
Weisstein, Eric W. (2013). "Reduced Knot Diagram" . MathWorld . Wolfram . 2013年5月8日取得.
Weisstein, Eric W. (2013a). "還元可能な交差" . MathWorld . Wolfram . 2013年5月8日取得.
Witten, Edward (1989)、「量子場理論とジョーンズ多項式」、Comm. Math. Phys.、121 (3): 351–399、Bibcode : 1989CMaPh.121..351W、doi : 10.1007/BF01217730、S2CID 14951363
Zeeman, Erik C. (1963)、「組み合わせ球の結び目を解く」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、78 (3): 501–526、doi : 10.2307/1970538、JSTOR 1970538

脚注

↑ハーケン多様体の理論を用いて最初に概略を示したのはハーケン（1962）である。より最近の概説については、ハス（1998）を参照のこと。
↑ Marc Lackenby 氏が準多項式時間で動作する新しい結び目認識アルゴリズムを発表、オックスフォード大学数学研究所、2021年2月3日、 2021年2月3日取得
↑ワイススタイン 2013。
↑ Weisstein 2013a。
↑アダムスら、2015年。
↑ Fox, RH (1962)、「結び目理論におけるいくつかの問題」、3次元多様体のトポロジーと関連トピック（ジョージア大学研究所論文集、1961年）、ニュージャージー州エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール、pp. 168–176、MR 0140100 ドーバーブックスより2010年に復刻。
↑カービー、ロビオン (1997)。「低次元トポロジーの問題」。ウィリアム・H・カゼズ編『幾何学的トポロジー：1993年ジョージア国際トポロジー会議（第2巻）』所収。ロードアイランド州プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-0653-1。（問題1.33）
↑ Levine, J.; Orr, K (2000)、「結び目とリンク理論への外科的アプローチの応用に関する概観」、Surveys on Surgery Theory: Papers Dedicated to CTC Wall、Annals of mathematics studies、vol. 1、Princeton University Press、CiteSeerX 10.1.1.64.4359、ISBN 978-0691049380― 上級読者向けの高次元結び目とリンクに関する入門記事
↑小笠英二 (2013),高次元結び目入門, arXiv : 1304.6053 , Bibcode : 2013arXiv1304.6053O— 初心者向け高次元結び目とリンクの入門記事
↑ Golovnev, Anatoly; Mashaghi, Alireza (2021年12月7日). "分子結び目のボトムアップエンジニアリングのための回路トポロジー" . Symmetry . 13 (12): 2353. arXiv : 2106.03925 . Bibcode : 2021Symm...13.2353G . doi : 10.3390/sym13122353 .
↑フラパン、エリカ。マシャギ、アリレザ。ウォン、ヘレン（2023年6月1日）。「自己絡み生体高分子の回路トポロジーのタイルモデル」。科学的報告書。13 (1): 8889。ビブコード: 2023NatSR..13.8889F。土井: 10.1038/s41598-023-35771-8。PMC 10235088。PMID 37264056。
↑ Nezhinskij, VM; Nesterenok, VV (2020). "古典的結び目の乗算". Journal of Mathematical Sciences . 251 : 518– 523. doi : 10.1007/s10958-020-05112-5 .
↑「パーコ・ペアの復讐」、 RichardElwes.co.uk。2016年2月アクセス。リチャード・エルウェスは、パーコ・ペアの説明におけるよくある間違いを指摘している。
↑ Adams, Colin; Devadoss, Judah; Elhamdadi, Mohamed; Mashaghi, Alireza (2020年9月). "タンパク質の結び目理論: ガウス符号、クアンドル、ボンドル". Journal of Mathematical Chemistry . 58 (8): 1711–1736 . doi : 10.1007/s10910-020-01151-0 .

さらに読む

入門教科書

結び目理論の入門書は数多くあります。大学院生や上級学部生向けの古典的な入門書としては、（Rolfsen 1976 ）があります。参考文献にある他の優れたテキストとしては、（Adams 2004 ）と（Lickorish 1997 ）があります。Adamsは、高校生にも大部分が理解しやすいように、形式ばらず分かりやすい内容になっています。Lickorishは、古典的なトピックと現代的なトピックをバランスよく網羅した、大学院生向けの厳密な入門書です。（Cromwell 2004 ）は、点集合トポロジーの知識がある学部生に適しています。代数トポロジーの知識は必要ありません。

Burde, ゲルハルト; Zieschang、Heiner (2013)、Knots、De Gruyter Studies in Mathematics、vol. 5 (第 3 版)、Walter de Gruyter、ISBN 978-3-11-008675-1
クロウェル、リチャード・H.、フォックス、ラルフ（1977）。結び目理論入門。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-90272-2。
カウフマン、ルイス・H. (1987)、『結び目について』、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08435-0
カウフマン、ルイス・H. (2013)、結び目と物理学（第4 版）、ワールド・サイエンティフィック、ISBN 978-981-4383-00-4
クロムウェル、ピーター・R. (2004)、『結び目と連結』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54831-1

調査

メナスコ、ウィリアム W.、シスルスウェイト、モーウェン編 (2005)、『結び目理論ハンドブック』、エルゼビア、ISBN 978-0-444-51452-3
- メナスコとシスルスウェイトのハンドブックは、最新の研究動向に関連する様々なトピックを網羅的に解説しており、上級学部生にも理解しやすい内容でありながら、専門の研究者にとっても興味深いものとなっている。
リヴィオ、マリオ（2009）「第8章：不合理な有効性？」、『神は数学者か？』、サイモン＆シュスター、 203～ 218ページ、ISBN 978-0-7432-9405-8

百科事典および参考資料

コリン・アダムス、エリカ・フラパン、アリソン・ヘンリッチ、ルイス・H・カウフマン、ルイス・D・ルドウィグ、サム・ネルソン編（2020）。『結び目理論百科事典』。フロリダ州ボカラトン：チャップマン・アンド・ホール／CRCプレス。ISBN 978-1138297845。

外部リンク

「数学と結び目」これは、1989年に英国王立協会が開催した「PopMath RoadShow」のために制作された展覧会のオンライン版です。その目的は、結び目を用いて数学の手法を一般の人々に分かりやすく紹介することでした。

歴史

トムソン卿、ウィリアム（1867）、「渦状原子について」、エジンバラ王立協会紀要、VI：94-105
シリマン、ロバート・H.（1963年12月）「ウィリアム・トムソン：煙の輪と19世紀の原子論」、Isis、54（4）：461–474、doi：10.1086/349764、JSTOR 228151、S2CID 144988108
テイトの煙輪実験を現代風に再現した映像
結び目理論の歴史（アンドリュー・ラニッキのホームページより）

結び目表とソフトウェア

KnotInfo：結び目不変量表と結び目理論リソース（ 2022年10月19日にWayback Machineにアーカイブ済み）
The Knot Atlas (2021年6月28日アーカイブ) at the Wayback Machine — 結び目表における個々の結び目の詳細情報
KnotPlot ― 結び目の幾何学的特性を調べるためのソフトウェア
Knotscape（ 2020年2月28日、 Wayback Machineにアーカイブ） —結び目の画像を作成するソフトウェア
Knoutilus（結び目のオンラインデータベースおよび画像生成ツール）は、2020年6月27日にWayback Machineにアーカイブされました。
KnotData.html — Wolfram Mathematicaの結び目を調べるための関数
Regina ( 2022年8月11日、 Wayback Machineにアーカイブ) — 結び目とリンクをネイティブにサポートする低次元トポロジー用ソフトウェア。最大19個の交差を持つ素結び目のテーブル

[1] ハーケン多様体の理論を用いて最初に概略を示したのはハーケン（1962）である。より最近の概説については、ハス（1998）を参照のこと。

[2] Marc Lackenby 氏が準多項式時間で動作する新しい結び目認識アルゴリズムを発表、オックスフォード大学数学研究所、2021年2月3日、 2021年2月3日取得

[FOOTNOTEWeisstein2013-3] ワイススタイン 2013。

[FOOTNOTEWeisstein2013a-4] Weisstein 2013a。

[FOOTNOTEAdamsCrawfordDeMeoLandry2015-5] アダムスら、2015年。

[6] Fox, RH (1962)、「結び目理論におけるいくつかの問題」、3次元多様体のトポロジーと関連トピック（ジョージア大学研究所論文集、1961年）、ニュージャージー州エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール、pp. 168–176、MR 0140100 ドーバーブックスより2010年に復刻。

[KirbyProblemList-7] カービー、ロビオン (1997)。「低次元トポロジーの問題」。ウィリアム・H・カゼズ編『幾何学的トポロジー：1993年ジョージア国際トポロジー会議（第2巻）』所収。ロードアイランド州プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-0653-1。（問題1.33）

[8] Levine, J.; Orr, K (2000)、「結び目とリンク理論への外科的アプローチの応用に関する概観」、Surveys on Surgery Theory: Papers Dedicated to CTC Wall、Annals of mathematics studies、vol. 1、Princeton University Press、CiteSeerX 10.1.1.64.4359、ISBN 978-0691049380― 上級読者向けの高次元結び目とリンクに関する入門記事

[9] 小笠英二 (2013),高次元結び目入門, arXiv : 1304.6053 , Bibcode : 2013arXiv1304.6053O— 初心者向け高次元結び目とリンクの入門記事

[10] Golovnev, Anatoly; Mashaghi, Alireza (2021年12月7日). "分子結び目のボトムアップエンジニアリングのための回路トポロジー" . Symmetry . 13 (12): 2353. arXiv : 2106.03925 . Bibcode : 2021Symm...13.2353G . doi : 10.3390/sym13122353 .

[11] フラパン、エリカ。マシャギ、アリレザ。ウォン、ヘレン（2023年6月1日）。「自己絡み生体高分子の回路トポロジーのタイルモデル」。科学的報告書。13 (1): 8889。ビブコード: 2023NatSR..13.8889F。土井: 10.1038/s41598-023-35771-8。PMC 10235088。PMID 37264056。

[12] Nezhinskij, VM; Nesterenok, VV (2020). "古典的結び目の乗算". Journal of Mathematical Sciences . 251 : 518– 523. doi : 10.1007/s10958-020-05112-5 .

[13] 「パーコ・ペアの復讐」、 RichardElwes.co.uk。2016年2月アクセス。リチャード・エルウェスは、パーコ・ペアの説明におけるよくある間違いを指摘している。

[14] Adams, Colin; Devadoss, Judah; Elhamdadi, Mohamed; Mashaghi, Alireza (2020年9月). "タンパク質の結び目理論: ガウス符号、クアンドル、ボンドル". Journal of Mathematical Chemistry . 58 (8): 1711–1736 . doi : 10.1007/s10910-020-01151-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

の

結び目

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

12

[

[ 14 ]