かせ関係

かせ関係は、結び目を研究するために使用される数学的なツールです。結び目に関する数学的理論における中心的な問題は、2 つの結び目図が同じ結び目を表しているかどうかです。この質問に答える 1 つの方法は、結び目の不変量である結び目多項式を使用することです。2 つの図が異なる多項式を持つ場合、それらは異なる結び目を表します。ただし、その逆は真ではありません。

かせ関係は、結び目多項式の簡単な定義を与えるためによく使用されます。かせ関係は、小さな領域でのみ互いに​​異なる3 つのリンクの集合上の結び目多項式の値間の線形関係を与えます。コンウェイ多項式、アレクサンダー多項式、ジョーンズ多項式などの一部の結び目多項式では、関連するかせ関係は多項式を再帰的に計算するのに十分です。

かせ関係には、1 つの交差点を除いて同一の 3 つのリンク図が必要です。3 つの図は、その交差点で 2 つの線分に発生する可能性のある 3 つの可能性、つまり、いずれかの線が 下を通過する、同じ線が上を通過する、または 2 つの線がまったく交差しない、を示す必要があります。1 つのかせの変更により、結び目を表す図がリンクを表す図に変わる可能性があり、その逆もあるため、リンク図を考慮する必要があります。問題の結び目多項式に応じて、かせ関係に現れるリンク (または絡み合い) は、方向付けられている場合とそうでない場合があります。

3 つの図には、次のようにラベルが付けられています。3 つのリンクの図を回転させて、問題の交差点の方向が両方ともほぼ北向きになるようにします。1 つの図では、北西が北東より上になり、ラベルはL ₋です。もう 1 つの図では、北東が北西より上になり、ラベルはL ₊です。残りの図にはその交差点がないため、ラベルはL ₀です。

(ラベル付けは方向とは無関係であり、すべての方向が反転されても同じままです。したがって、無向ノット上の多項式はこの方法によって明確に定義されます。ただし、リンク上の方向は、多項式計算を再帰的に実行するときに保持する必要がある重要な詳細です。)

既存のリンク図を取得し、それを「パッチ」して他の 2 つを作成するという生成的な意味で考えることも理にかなっています (パッチが互換性のある方向で適用される限り)。

結び目（リンク）多項式を再帰的に定義するには、関数Fを固定し、上記のようにラベル付けされた任意の3つの図とその多項式に対して、

${\displaystyle F{\Big (}L_{-},L_{0},L_{+}{\Big )}=0}$

あるいはもっと衒学的に言えば

${\displaystyle F{\Big (}L_{-}(x),L_{0}(x),L_{+}(x),x{\Big )}=0}$全ての${\displaystyle x}$

(再帰で使用される交差のシーケンスに依存しない多項式を生成する F を見つけることは簡単な作業ではありません。)

より正式には、かせ関係は、タングルの平面代数からの商写像の核を定義するものと考えることができます。このような写像は、すべての閉図が空の図の像の何らかの（多項式）倍数に取られた場合、結び目多項式に対応します。

1960 年代初頭、コンウェイは、かせ関係を使用してアレクサンダー多項式を計算する方法を示しました。これは再帰的であるため、アレクサンダーの元の行列法ほど直接的ではありません。その一方で、1 つの結び目に対して行われた作業の一部は、他の結び目にも適用されます。特に、図のネットワークは、かせ関係のすべての多項式で同じです。

のリンク図からローラン級数への関数Pが、次の式を満たすものとする。また、かせ関係図の3つ組が次の式を満たすものとする。 ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle P({\rm {unknot}})=1}$${\displaystyle (L_{-},L_{0},L_{+})}$

${\displaystyle P(L_{-})=(x^{-1/2}-x^{1/2})P(L_{0})+P(L_{+})}$

次に、P は結び目をそのアレクサンダー多項式の 1 つにマッピングします。

この例では、五つ葉結び目( )のアレクサンダー多項式を計算します。五つ葉結び目は、最小の図に 5 つの交差がある交互結び目です。各段階で、より複雑なリンクと 2 つのより単純な図の関係を示します。最後のステップを除く以下の各ステップでは、より複雑なリンクが右側にあることに注意してください。便宜上、A = x ^−1/2 −x ^1/2とします。

まず、五葉の交差点の1つ（黄色で強調表示）をパッチして2つの新しい図を作成します。

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

2番目の図は実際には三つ葉です。最初の図は4つの交差を持つ2つの結び目です。後者をパッチすると

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

再び三つ葉と、2つの交差を持つ2つの結び目（ホップリンク[1]）が得られる。三つ葉をパッチする

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

は結び目がなくなり、ホップリンクも得られる。ホップリンクをパッチすると

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

交差が 0 のリンク (unlink) とアンノットを生成します。unlink には少し工夫が必要です。

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

これで、遭遇したすべてのリンクの多項式を計算するのに十分な関係が得られました。上記の方程式を逆の順序で使用して、五つ葉結び目自体を計算できます。計算は以下の表に示されています。ここで、? は各関係で解く未知の量を示します。

したがって、五葉草のアレクサンダー多項式はP(x) = x ⁻² -x ⁻¹ +1 -x +x ²です。

• アメリカ数学会、結び目とその多項式、特集コラム。
• ワイスタイン、エリック・W.「かせの関係」。マスワールド。
• モートン、ヒュー R.;ルカック、サシャ G. ( 2003)、「装飾ホップリンクの HOMFLY 多項式」、結び目理論とその影響に関するジャーナル、12 : 395–416 、arXiv : math.GT/0108011、doi:10.1142/s0218216503002536。