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数学において、実代数幾何学は、実代数集合、すなわち実数係数を持つ代数方程式の実数解と、それらの間の写像（特に実多項式写像） を研究する代数幾何学のサブ分野です。
半代数幾何学は、半代数集合、すなわち実数係数を持つ代数不等式の実数解と、それらの間の写像を研究する分野です。半代数集合間の最も自然な写像は半代数写像、すなわちグラフが半代数集合である写像です。
用語
現在では「半代数幾何学」と「実代数幾何学」という言葉は同義語として使われている。なぜなら、実代数集合は半代数集合を使わずには真剣に研究できないからである。例えば、実代数集合の座標軸に沿った射影は実代数集合である必要はないが、常に半代数集合となる。これがタルスキ・ザイデンベルクの定理である。[1] [2]関連分野には、 o-極小理論と実解析幾何学がある。
例:実平面曲線は実代数集合の例であり、多面体は半代数集合の例です。実代数関数とナッシュ関数は半代数マッピングの例です。区分多項式マッピング (ピアス-バーコフ予想を参照) も半代数マッピングです。
計算実代数幾何学は、実代数（および半代数）幾何学のアルゴリズムの側面に関係しています。主なアルゴリズムは円筒代数分解です。これは、半代数集合を適切な部分に分割し、その射影を計算するために使用されます。
実代数学は、代数学のうち実代数（および半代数）幾何学に関連する部分である。主に、順序体と順序環（特に実閉体）の研究と、それらの正の多項式と多項式の平方和の研究への応用に関係している。（ヒルベルトの第17問題とクリヴィンの正定値問題を参照。）実代数学と実代数幾何学の関係は、可換代数学と複素代数幾何学の関係に似ている。関連分野には、モーメント問題理論、凸最適化、二次形式理論、付値理論、モデル理論がある。
実代数学と実代数幾何学のタイムライン
- 1826線形不等式システムに対するフーリエのアルゴリズム。 [3] 1919年にロイド・ダインズ[4]と1936年にセオドア・モツキンによって再発見された。 [5]
- 1835シュトゥルムの実根計算定理[6]
- 1856 実数根の数え方に関するエルミートの定理。[7]
- 1876ハルナックの曲線定理。[8]（この成分数の上限は後に、すべての実代数集合[9] [10] [11]とすべての半代数集合[12]のすべてのベッティ数に拡張された。 ）
- 1888年 3元4次関数に関するヒルベルトの定理。[13]
- 1900ヒルベルトの問題（特に第 16問題と第 17問題）
- 1902ファーカスの補題[14]（線型実証的定理として再定式化できる。）
- 1914年、アンニバレ・コメサッティは、すべての実代数曲面がRP2に対して双有理的ではないことを示した[15]
- 1916 非負三角多項式に関するフェイエルの予想。[16] （フリジェシュ・リースが解決。[17]）
- 1927エミール・アルティンによるヒルベルトの第17問題の解決[18]
- 1927 クルル・ベール定理[19] [20]（順序と評価の関係）
- 1928 ポリアの単体上の正多項式に関する定理[21]
- 1929年、BL・ファン・デル・ワールデンは、実代数集合と半代数集合が三角化可能であるという証明を概説したが[22] 、議論を厳密なものにするために必要なツールはまだ開発されていなかった。
- 1931年アルフレッド・タルスキの実数量化子除去。[23] 1954年にアブラハム・ザイデンベルグによって改良され普及した。 [24]（どちらもシュトゥルムの定理を使用している。）
- 1936年、ヘルベルト・ザイファートは、自明な正規束を持つの任意の閉じた滑らかな部分多様体は、その完全な共通部分である非特異な実代数部分集合の成分に同位できることを証明した[25]（この定理の結論から「成分」という単語を削除することはできません[26]）。
- 1940年マーシャル・ストーンの半順序環に対する表現定理。[27] 1951年にリチャード・カディソン[28]、1967年にドナルド・デュボア[29]によって改良された（カディソン・デュボア表現定理）。1993年にミハイ・プーティナール[30]、2001年にヤコビ[31]によってさらに改良された（プーティナール・ヤコビ表現定理）。
- 1952年ジョン・ナッシュは、すべての閉じた滑らかな多様体は実代数集合の非特異成分に微分同相であることを証明した。[32]
- 1956年ピアス・バーコフ予想が定式化された。[33]（次元≤2で解決された。[34]）
- 1964クリヴィンの零定理と正定理。[35] 1974年にステングルによって再発見され普及した。[36]（クリヴィンは実数量化子除去を使用し、ステングルはラングの準同型定理を使用する。[37]）
- 1964 ロハシェヴィッツの三角半解析集合[38]
- 1964年広中平祐が特異点定理の解決を証明した[39]
- 1964年ハスラー・ホイットニーは、あらゆる解析多様体はホイットニー条件を満たす層化を許容することを証明した。[40]
- 1967年セオドア・モツキンは多項式の平方和ではない正の多項式を発見した。[41]
- 1972年ウラジミール・ロクリンがグドコフの予想を証明した。[42]
- 1973年アルベルト・トニョーリは、すべての閉じた滑らかな多様体は特異でない実代数集合に微分同相であることを証明した。[43]
- 1975年、ジョージ・E・コリンズは円筒代数分解アルゴリズムを発見した。このアルゴリズムはタルスキの実数量化子除去を改良し、コンピュータ上で実装することを可能にした。[44]
- 1973年、ジャン＝ルイ・ヴェルディエは、すべての部分解析集合は条件(w)を満たす成層化を許容することを証明した。[45]
- 1979年、ミシェル・コステとマリー・フランソワーズ・ロイは可換環の実スペクトルを発見した。[46]
- 1980年オレグ・ヴィロは「パッチワーキング」技術を導入し、低次の実代数曲線の分類に使用しました。[47]その後、イリヤ・イテンベルグとヴィロはこれを使用してラグズデール予想の反例を作成し、[48] [49]グリゴリー・ミハルキンはこれを熱帯幾何学の曲線カウントに適用しました。[50]
- 1980年、セルマン・アクブルットとヘンリー・C・キングは、孤立した特異点を持つ実代数集合の位相的特徴付けと、位相的に特徴付けられた非特異実代数集合（必ずしもコンパクトではない）を与えた[51]。
- 1980年、アクブルットとキングは、任意の結び目が孤立した特異点を持つ実代数集合のリンクである ことを証明した[52]。
- 1981年アクブルトとキングは、あらゆるコンパクトPL多様体は実代数集合にPL同相であることを証明した。[53] [54] [55]
- 1983年、アクブルトとキングは実代数集合の位相モデルとして「位相分解タワー」を導入し、これによって実代数集合の新しい位相不変量を得て、すべての3次元代数集合を位相的に特徴付けた。[56]これらの不変量は後にミシェル・コステとクリストフ・クルディカ[57]、クリント・マクロリーとアダム・パルシンスキー[58] によって一般化された。
- 1984 ルートヴィヒ・ブロッカーの基本開半代数集合の最小生成に関する定理[59]（シャイデラーによって改良され、基本閉半代数集合に拡張された。[60]）
- 1984年ベネデッティとデドは、すべての閉じた滑らかな多様体が全代数的非特異実代数集合に微分同相ではないことを証明した（全代数的とは、そのZ/2Zホモロジーサイクルのすべてが実代数部分集合によって表されることを意味する）。[61]
- 1991年アクブルトとキングは、すべての閉じた滑らかな多様体は全代数的な実代数集合に同相であることを証明した。[62]
- 1991 シュミュッゲンのコンパクト半代数集合と関連する厳密な正定理に対する多次元モーメント問題の解。[63]代数的証明はヴェルマンによって発見された。[64]レズニックによるアルティンの定理の均一分母バージョンが示唆される。[65]
- 1992年、アクブルットとキングはナッシュ＝トニョーリ定理のアンビエント版を証明した。R nのすべての閉じた滑らかな部分多様体は、 R nの実代数的部分集合の非特異点（成分）と同位体であり、彼らはこの結果をR nの浸漬部分多様体に拡張した。[66] [67]
- 1992年ベネデッティとマリンは、あらゆるコンパクトな閉じた滑らかな3次元多様体Mは滑らかな中心に沿った一連のブローアップとブローダウンによって得られること、そしてMはおそらく特異なアフィン実代数的有理3次元多様体と同相であることを証明した[68]
- 1997年ビアストーンとミルマンは特異点定理の標準的な解決を証明した[69]
- 1997年ミハルキンは、すべての閉じた滑らかなn次元多様体は、位相的な爆発と爆発の連続によって得られることを証明した[70]
- 1998年ヤノシュ・コラーは、すべての3次元閉多様体がRP3に対して双有理的な射影実3次元多様体ではないことを示した [ 71 ]
- 2000 シャイデラーの局所-大域原理とそれに関連するシュミュッゲンの実証原理の次元≤2における非厳密な拡張。[72] [73] [74]
- 2000年、ヤノシュ・コラーは、すべての閉じた滑らかな3次元多様体は、一連の実ブローアップとブローダウンによって得られるコンパクト複素多様体の実部であることを証明した 。 [75]
- 2003年ウェルシンガーは実有理曲線を数えるための不変量を導入した[76]
- 2005年、アクブルットとキングは、 RP nの非特異実代数部分集合のすべてがCP nの非特異複素代数部分集合の実部と滑らかに同位体となるわけではないことを示した[77] [78]
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外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、実代数幾何学に関連するメディアがあります。
- 実代数幾何学におけるヒルベルト問題の役割 (PostScript)
- 実代数と解析幾何学プレプリントサーバー