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ウィリアム・トムソン卿の渦理論以来、数学者はすべての可能な結び目を分類し、表にまとめようとしてきた。2008年5月現在、 16交差までのすべての素数結び目が表にまとめられている。[1]このプロセスの主な課題は、多くの一見異なる結び目が、実際には同じ位相実体の異なる幾何学的表現である可能性があり、結び目の同等性を証明または反証することが、最初に思われるよりもはるかに難しいことである。
始まり
19世紀、ウィリアム・トムソン卿は、化学元素はエーテル内の結び目のある渦に基づいているという仮説を立てました。[2]元素周期表を作成する試みとして、PGテイト、CNリトルらは、すべての可能な結び目を数えることを試み始めました。[3]彼らの研究はデジタルコンピュータの発明より前のものであったため、すべての作業は手作業で行われなければなりませんでした。
ペルコペア
1974 年、ケネス・パーコはテイト・リトル表にパーコペアと呼ばれる重複を発見しました。その後の結び目表では、この問題を解決するために 2 つの方法が採用されました。1 つは番号を付け直さずにエントリの 1 つをスキップする方法、もう 1 つは後のエントリの番号を付け直して穴をなくす方法です。この結果生じた曖昧さは現在まで続いており、このことによって引き起こされた誤りを修正しようとする誤った試みによってさらに複雑になっています。この誤りは、それ自体が間違っていました。たとえば、Wolfram Web のパーコペアのページでは、2 つの異なる結び目が誤って比較されています (バードやバーナタンなどの数学者による番号付けのせいです)。
新しい方法
ジム・ホステ、ジェフ・ウィークス、モーウェン・シスルウェイトは、コンピューター検索を使用して、交差が16以下のすべての結び目を数えました。この研究は、異なるコンピューターで2つの異なるアルゴリズムを使用して別々に実行され、結果の正確さを裏付けています。両方のカウントで、交差が最大16の素数結び目（アンクットを含む）が1701936個見つかりました。[1]最近では、2020年にベンジャミン・バートンが交差が最大19の素数結び目（約3億個）をすべて分類しました。[4] [5]
3つの交差（非自明な結び目の最小値）から始めて、交差数ごとの素数結び目の数は
- 1、1、2、3、7、21、49、165、552、2176、9988、46972、253293、1388705、...（OEISの配列A002863）
現代の自動化された方法では、数十億のノットを数日で数えることができます。[3]
参照
参考文献
- ^ ab Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998)、「最初の 1,701,936 ノット」(PDF)、The Mathematical Intelligencer、20 (4): 33–48、doi :10.1007/BF03025227、MR 1646740、S2CID 18027155、2010-07-29のオリジナルから アーカイブ(PDF)。
- ^ トムソン、ウィリアム(1869)、「渦状原子について」、エディンバラ王立協会紀要、6 :94–105、doi :10.1017/s0370164600045430
- ^ ab Hoste, Jim, The Enumeration and Classification of Knots and Links (PDF)、2019-05-30にオリジナルからアーカイブ(PDF) 、2020-06-27に取得
- ^ バートン、ベンジャミン A. (2020). 「次の3億5千万ノット」。セルジオのカベッロにて。チェン、ダニー Z. (編)。第 36 回計算幾何学国際シンポジウム (SoCG 2020)。ライプニッツ国際情報学会議 (LIPIcs)。 Vol. 164. ダグシュトゥール、ドイツ: Schloss Dagstuhl–Leibniz-Zentrum für Informatik。 25:1–25:17。土井：10.4230/LIPIcs.SoCG.2020.25。ISBN 978-3-95977-143-6。
- ^ Richeson, David S. (2022-10-31). 「数学者が結び目を研究する理由」. Quanta Magazine . 2022-11-05閲覧。