トポロジカル量子コンピュータ

トポロジカル量子コンピュータは、 1997年にロシア系アメリカ人の物理学者アレクセイ・キタエフによって提唱された理論上の量子コンピュータの一種です。 ^[1]これは、2次元システムでエニオンと呼ばれる 準粒子を使用します。これらのエニオンの世界線は絡み合って、3次元時空（1つの時間次元と2つの空間次元）に編み紐を形成します。これらの編み紐は、コンピュータの論理ゲートとして機能します。量子編み紐をトラップされた量子粒子よりも使用する主な利点は、安定性が向上することです。小さな累積的な摂動により量子状態がデコヒーレンスされ、従来の量子計算でエラーが発生する可能性がありますが、そのような摂動によって編み紐のトポロジカルな特性が変化することはありません。この安定性は、紐を切って再び取り付けて別の編み紐を作ることと、ボール（4次元時空内の通常の量子粒子を表す）が壁に衝突することの違いに似ています。

トポロジカル量子コンピュータの要素は純粋に数学的な領域に由来するものの、分数量子ホールシステムの実験では、これらの要素は、絶対零度に近い温度で強力な磁場にさらされたガリウムヒ素で作られた半導体を使用して現実世界で作成できることが示されています。

2022年現在、マイクロソフトはトポロジカル量子コンピューティングの研究開発の歴史を持つ唯一の大手テクノロジー企業です。^{[2] [3]}

エニオンは2次元空間の準粒子です。エニオンはフェルミオンでもボソンでもありませんが、フェルミオンのように同じ状態をとることはできません。したがって、 2つのエニオンの世界線は交差したり融合したりすることができず、その経路は時空で安定した編み込みを形成します。エニオンは、非常に強い磁場中の冷たい2次元電子ガスの励起から形成され、磁束の分数単位を運びます。この現象は分数量子ホール効果と呼ばれます。典型的な実験室システムでは、電子ガスはアルミニウムガリウムヒ素の層に挟まれた薄い半導体層を占めています。

エニオンが編組されている場合、システムの量子状態の変換は、エニオンの軌道のトポロジカルクラス（編組群に従って分類される）のみに依存します。したがって、システムの状態に保管されている量子情報は、軌道の小さなエラーの影響を受けません。^[4] 2005年に、Sankar Das Sarma、Michael Freedman、Chetan Nayakは、トポロジカルキュービットを実現する量子ホール素子を提案しました。 2005年に、Vladimir J. Goldman、Fernando E. Camino、Wei Zhou ^[5]は、分数量子ホール効果を使用して実際のエニオンを作成するための最初の実験的証拠を作成し、観測したと主張しましたが、他の人は、その結果がエニオンを含まない現象の産物である可能性があることを示唆しました。トポロジカル量子コンピューターに必要な種である非可換エニオンはまだ実験的に確認されていません。可能性のある実験的証拠は見つかっていますが、^[6]結論は依然として異論があります。^[7] 2018年に、科学者たちは再び必要なマヨラナ粒子を単離したと主張したが、その発見は2021年に撤回された。Quanta Magazineは2021年に「誰も単一の（マヨラナゼロモード）準粒子の存在さえ説得力を持って示していない」と述べたが、^[8] 2023年に同誌の新しい記事^{[9]は、Google [10]}とQuantinuum ^[11]による量子プロセッサ上での非可換エニオンの実現を主張するプレプリントを取り上げており、前者は位相的退化（または位相的欠陥）としてねじれ欠陥のあるトーリックコードを使用し、後者は異なるが関連するプロトコルを使用しており、どちらも量子エラー訂正におけるマヨラナ束縛状態として理解できる。

トポロジカル量子コンピュータは、量子計算の他の標準モデル、特に量子回路モデルや量子チューリングマシンモデルと計算能力が同等です。^[12] つまり、これらのモデルのいずれも、他のモデルを効率的にシミュレートできます。ただし、特定のアルゴリズムは、トポロジカル量子コンピュータモデルに自然に適合する場合があります。たとえば、ジョーンズ多項式を評価するアルゴリズムは、最初はトポロジカルモデルで開発され、後に標準量子回路モデルに変換および拡張されました。

その名に恥じないトポロジカル量子コンピュータは、トラップされた量子粒子を使用する従来の量子コンピュータ設計が約束する独自の計算特性を提供する必要がある。2000年に、マイケル・H・フリードマン、アレクセイ・キタエフ、マイケル・J・ラーセン、およびジェンハン・ワンは、トポロジカル量子コンピュータは原理的には従来の量子コンピュータが実行できるあらゆる計算を実行でき、その逆も成り立つことを証明した。^{[12] [13] [14]}

研究者らは、従来の量子コンピュータデバイスは、論理回路がエラーなく動作すれば絶対的な精度の解を出すが、トポロジカル量子コンピューティングデバイスは完璧な動作をすれば有限レベルの精度の解しか出さないことを発見した。しかし、単純な線形関係で、トポロジカル量子コンピュータに編組ツイスト（論理回路）をさらに追加することで、任意のレベルの精度の答えを得ることができる。言い換えれば、要素（編組ツイスト）を適度に増やすことで、高い精度の答えを得ることができる。実際の計算（ゲート）は、分数量子ホール効果のエッジ状態によって行われる。このため、1次元エニオンのモデルが重要になる。1つの空間次元では、エニオンは代数的に定義される。

量子編組は本質的には閉じ込められた量子粒子よりも安定しているが、それでもエラーを誘発する熱変動を制御する必要がある。熱変動は、隣接する編組に干渉するランダムな浮遊エニオンのペアを生成する。これらのエラーを制御するには、干渉する浮遊粒子の率がほぼゼロに低下する距離にエニオンを分離するだけでよい。トポロジカル量子コンピュータのダイナミクスをシミュレートすることは、標準的な量子情報処理スキームでもフォールトトレラントな量子計算を実装する有望な方法である可能性がある。ラウセンドルフ、ハリントン、ゴヤルは1つのモデルを研究し、有望なシミュレーション結果を得た。^[15]

トポロジカル量子コンピューティングの顕著な例の 1 つは、フィボナッチ エニオンのシステムです。フィボナッチ エニオンは、「システムに粒子を追加すると、量子状態の数がフィボナッチ数列のように 1、2、3、5、8 などと増加するという特性を持つ創発粒子」と説明されています。^[16]共形場理論の文脈では、フィボナッチ エニオンは、ヤン-リー モデル、チャーン-サイモンズ理論の SU(2) 特殊ケース、およびウェス-ズミノ-ウィッテン モデルによって説明されます。^[17]これらのエニオンは、トポロジカル量子コンピューティングの汎用ゲートを作成するために使用できます。モデルを作成するための主な手順は 3 つあります。

• 基底を選択し、ヒルベルト空間を制限する
• アニオンを編み合わせる
• 最後にエニオンを融合し、どのように融合するかを検出してシステムの出力を読み取ります。

フィボナッチ・エニオンは、次の 3 つの特性によって定義されます。

1. これらは という位相電荷を持ちます。この議論では、 と呼ばれる別の電荷、つまりエニオンが互いに消滅する場合の「真空」電荷について考えます。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle 1}$
2. これらのエニオンはそれぞれ独自の反粒子です。${\displaystyle \tau =\tau ^{*}}$${\displaystyle 1=1^{*}}$
3. 互いに近づけると、それらは自明ではない方法で「融合」します。具体的には、「融合」のルールは次のとおりです。
   1. ${\displaystyle 1\otimes 1=1}$
   2. ${\displaystyle 1\otimes \tau =\tau \otimes 1=\tau }$
   3. ${\displaystyle \tau \otimes \tau =1\oplus \tau }$
4. このシステムの特性の多くは、2 つのスピン 1/2 粒子の特性と同様に説明できます。特に、同じテンソル積 と直和演算子を使用します。${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus}$

最後の「融合」ルールは、3 つのエニオンのシステムに拡張できます。

${\displaystyle \tau \otimes \tau \otimes \tau =\tau \otimes (1\oplus \tau )=\tau \otimes 1\oplus \tau \otimes \tau =\tau \oplus 1\oplus \tau = 1\oplus 2\cdot \tau }$

したがって、3 つのエニオンを融合すると、2 通りの方法で総電荷が最終状態になるか、正確に 1 通りの方法で電荷が最終状態になります。基底を定義するために 3 つの状態を使用します。^[18]ただし、これらの 3 つのエニオン状態を 0 と 1 の重ね合わせとしてエンコードしたいため、基底を 2 次元ヒルベルト空間に制限する必要があります。したがって、総電荷が の状態を 2 つだけ考慮します。この選択は純粋に現象論的です。これらの状態では、左端の 2 つのエニオンを「コントロール グループ」にグループ化し、右端を「非計算エニオン」のままにします。コントロール グループの総「融合」電荷が の状態を と分類し、状態の総「融合」電荷が の制御グループを持つ状態を と分類します。より完全な説明については、Nayak を参照してください。^[18]${\displaystyle \tau}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \tau}$

上記の考え方に従うと、これらのエニオンを断熱的に互いに編むと、ユニタリ変換が実現します。これらの編組演算子は、演算子の 2 つのサブクラスから生じます。

• F行列​
• Rマトリックス​

R行列は、概念的には、編組中にエニオンに与えられる位相位相と考えることができます。エニオンが互いに巻き付くと、アハラノフ・ボーム効果により位相がいくらか変化します。

F行列は、エニオンの物理的な回転の結果です。エニオンが互いに編み込まれると、下の 2 つのエニオン (コントロール グループ) が依然として量子ビットの状態を区別することを認識することが重要です。したがって、エニオンを編み込むと、コントロール グループ内のエニオンが変わり、したがって基底が変わります。エニオンを評価するときは、常に最初にコントロール グループ (下のエニオン) を融合します。そのため、どのエニオンがどのエニオンであるかを交換すると、システムが回転します。これらのエニオンは非可換であるため、エニオンの順序 (コントロール グループ内のエニオン) が重要になり、システムが変換されます。

完全な組紐演算子は次のように導出できます。

${\displaystyle B=F^{-1}RF}$

F演算子とR演算子を数学的に構築するために、これらの F 演算子と R 演算子の順列を検討することができます。演算する基底を順番に変更すると、最終的には同じ基底に戻ることがわかっています。同様に、エニオンを互いに特定の回数編み込むと、同じ状態に戻ることがわかっています。これらの公理は、演算の実行が状態変換の五角形/六角形で視覚化できるため、それぞれ五角形公理と六角形公理と呼ばれます。数学的には困難ですが、^[19]これらは視覚的にはるかにうまくアプローチできます。

これらの組紐演算子を使用すると、組紐がヒルベルト空間上でどのように作用するかという観点から組紐の概念を最終的に形式化し、任意の普遍量子ゲートを構築することができます。^[20]

2018年、マイクロソフトで働くレオ・コウウェンホーフェンは、マヨラナ準粒子を示す「ゼロバイアスピーク」の確固たる証拠を発見したことを示す論文をネイチャー誌に発表した。2020年、この論文は編集者から懸念の指摘を受けた。2021年、フォローアップ論文では、2018年の論文のデータが不完全であり、結果を誤って表現していることが示された。^[21]

2023年、Microsoft Quantumの研究者はPhysical Reviewに論文を発表し、ハードウェア安定性を備えた論理量子ビットを表現できる新しいデバイスについて説明しました。このデバイスは、トポロジカル超伝導とマヨラナゼロモードの観測と一致する物質の位相を測定します。^[22]科学者は、「このようなデバイスは、トポロジカルギャッププロトコルを通過するのに十分なほど乱れが低いことを実証しており、この技術が実行可能であることを証明しています」と報告しました。 ^[23]この出版物は、以前の論文のようにマヨラナモードの十分な証拠を提供していないとして、他の科学者から批判されています。^[24]

• 位相的秩序
• 対称性が保護された位相的秩序
• ギンツブルグ・ランダウ理論
• フシミQの表現
• ランダム行列

• Collins, Graham P. (2006 年 4 月)。「量子ノットによるコンピューティング」(PDF)。Scientific American。
• Sarma, Sankar Das; Freedman, Michael; Nayak, Chetan (2005). 「トポロジカルに保護された量子ビットから、非アーベル分数量子ホール状態の可能性」. Physical Review Letters . 94 (16): 166802. arXiv : cond-mat/0412343 . Bibcode :2005PhRvL..94p6802D. doi :10.1103/PhysRevLett.94.166802. PMID  15904258. S2CID  8773427.
• Nayak, Chetan; Simon, Steven H. ; Stern, Ady ; Freedman, Michael ; Sarma, Sankar Das (2008). 「非アーベル的エニオンとトポロジカル量子計算」.現代物理学レビュー. 80 (3): 1083–1159. arXiv : 0707.1889 . Bibcode :2008RvMP...80.1083N. doi :10.1103/RevModPhys.80.1083. S2CID  119628297.
• Simon、Steven H.「ひねりを加えた量子コンピューティング」。