渦度

連続体力学において、渦度は擬似ベクトル（または軸ベクトル）場であり、ある点の近くの連続体の局所的な回転運動（何かが回転する傾向^{[1] ）を、その点に位置し}流れに沿って移動する観測者から見た場合のものを記述する。これは流体の力学理論における重要な量であり、渦輪の形成と運動など、さまざまな複雑な流れの現象を理解するための便利な枠組みを提供する。^{[2] [3]}

数学的には、渦度は流速の回転である：^{[4] [3]}${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} \,,}$

ここで、 はナブラ演算子です。概念的には、は、問題の点の小さな近傍の連続体の部分をマークし、流れに沿って移動するときの相対的な変位を観察することによって決定できます。渦度は、右手の法則に従って方向付けられた、それらの粒子の質量中心に対する平均角速度ベクトルの2倍になります。独自の定義により、渦度ベクトルはソレノイド場です。${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}=0.}$

2次元の流れでは、は常に流れの平面に対して垂直なので、スカラー場と見なすことができます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$

数学的には、3次元の流れの渦度は擬似ベクトル場であり、通常 で表され、連続体の動きを記述する速度場の回転として定義されます。直交座標では、次のようになります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\,.\end{aligned}}}$

言葉で言えば、渦度は、速度ベクトルが垂直方向に微小距離移動したときに速度ベクトルがどのように変化するかを示します。

速度が-座標に依存せず、 -成分を持たない2次元の流れでは、渦度ベクトルは常に-軸に平行であるため、定数単位ベクトルを乗じたスカラー場として表すことができます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\,.\end{aligned}}}$

渦度は、 （古典的な）ストークスの定理によって、閉じた経路に沿った流れの循環（速度の線積分）にも関連しています。つまり、法線方向と面積を持つ任意の微小表面要素Cに対して、の周囲に沿った循環はドット積であり、ここで はの中心の渦度です。^[5] ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle dA}$${\displaystyle d\Gamma }$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {n} \,dA)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle C}$

渦度は軸ベクトルなので、2次の反対称テンソル（いわゆる渦度テンソルまたは回転テンソル）と関連付けることができ、これは の双対であると言われています。2つの量の関係は、指数表記で次のように表されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\omega _{k},\qquad \omega _{i}=\varepsilon _{ijk}\Omega _{jk}}$

ここで は3次元のレヴィ・チヴィタテンソルである。渦度テンソルは単にテンソル の反対称部分、すなわち ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {1}{2}}\left[\nabla \mathbf {v} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\right]\quad {\text{or}}\quad \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right).}$

剛体のように回転する連続体の塊では、渦度はその回転の角速度ベクトルの2倍になります。これは、例えばランキン渦の中心核の場合です。^[6]

せん断がある場合（つまり、流速が流線によって異なる場合）、すべての粒子が直線で平行な経路に沿って流れている場合でも、渦度はゼロでないことがあります。たとえば、断面積が一定のパイプ内の層流では、すべての粒子がパイプの軸に平行に移動しますが、軸の近くでは速度が速く、壁の近くでは実質的に静止しています。渦度は軸上ではゼロになり、せん断が最大になる壁の近くで最大になります。

逆に、流れの粒子が曲線軌​​道に沿って移動しているにもかかわらず、流れの渦度がゼロになることがあります。一例として、理想的な非回転渦が挙げられます。この渦では、ほとんどの粒子が直線軸の周りを回転し、速度はその軸からの距離に反比例します。軸をまたがない連続体の小さな塊は、ある方向に回転しますが、反対の方向に剪断され、質量中心の周りの平均角速度がゼロになります。

渦度を視覚化する別の方法は、瞬間的に連続体のごく一部が固体になり、流れの残りが消えることを想像することです。その小さな新しい固体粒子が流れとともに動くのではなく回転している場合、流れに渦度が存在します。下の図では、左側のサブ図は渦度がないことを示しており、右側のサブ図は渦度が存在することを示しています。

渦度場の時間的変化は渦度方程式によって記述され、ナビエ・ストークス方程式から導かれる。^[7]

粘性を無視できる多くの実際の流れ（より正確には、レイノルズ数が高い流れ）では、渦度場は離散的な渦の集合によってモデル化することができ、渦度は渦の軸を囲む空間の小さな領域を除いてどこでも無視できます。これは、2次元ポテンシャル流（つまり、2次元ゼロ粘性流）の場合に当てはまり、その場合、流れ場は複素平面上の複素数値場としてモデル化できます。

渦度は、理想的なポテンシャルフローの解を乱して実際の流れをモデル化する方法を理解するのに役立ちます。一般的に、粘性の存在により、渦度は渦核から一般的な流れ場へと拡散します。この流れは、渦度輸送方程式の拡散項によって説明されます。^[8]

渦線または渦度線は、局所的な渦度ベクトルにどこでも接する線である。渦線は関係式^{[9]によって定義される。}

${\displaystyle {\frac {dx}{\omega _{x}}}={\frac {dy}{\omega _{y}}}={\frac {dz}{\omega _{z}}}\,,}$

ここで、は直交座標における渦度ベクトルです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

渦管は、連続体中の特定の（縮小可能な）閉曲線を通過するすべての渦線によって形成される連続体の表面です。渦管の「強さ」（渦流束とも呼ばれる）^[10]は、管の断面にわたる渦度の積分であり、管に沿ったどこでも同じです（渦度は発散がゼロであるため）。ヘルムホルツの定理（または同等のケルビンの循環定理）の結果、非粘性流体では渦管の「強さ」も時間に対して一定です。粘性効果により、摩擦損失と時間依存性が生じます。^[11]

三次元の流れでは、渦度（大きさの二乗の体積積分で測定）は、渦線が伸びると強くなることがあります。これは渦伸張と呼ばれる現象です。^[12]この現象は、流出水における浴槽渦の形成や、上昇気流による竜巻の発生で発生します。

回転羽根式渦度計は、ロシアの水力技術者A. Ya. ミロヴィッチ（1874-1958）によって発明された。1913年に彼は、渦度の垂直投影の大きさを定性的に表示する装置として、4枚の羽根が付いたコルクを提案し、川の湾曲部を模した水面上のフロートの動きを動画で撮影した。^[13]

回転羽根型渦度計は、連続体力学の教育用映画でよく紹介されています（有名な例としては、NCFMFの「渦度」^{[14]やアイオワ水理研究所の「流れの基本原理」 [15]}などがあります）。

航空力学では、有限の翼上の揚力分布は、翼の各翼幅部分の背後に半無限の後流渦があると仮定することで近似できます。次に、翼の表面を流れる流れがないという基準を使用して、渦の強さを求めることができます。この手順は、数値流体力学の渦パネル法と呼ばれます。次に、渦の強さを合計して、翼の周りの全体の循環を概算します。クッタ・ジュコフスキーの定理によると、翼幅の単位あたりの揚力は、循環、対気速度、および空気密度の積です。

相対渦度は、空気速度場によって誘発される地球に対する相対的な渦度です。この空気速度場は、地面に平行な 2 次元の流れとしてモデル化されることが多く、相対渦度ベクトルは一般に地面に垂直なスカラー回転量です。地球の表面を見下ろして風が反時計回りに回転する場合、渦度は正です。北半球では、正の渦度はサイクロン回転と呼ばれ、負の渦度は高サイクロン回転と呼ばれます。南半球では、命名法は逆になります。

絶対渦度は慣性系に対する空気の速度から計算されるため、地球の自転による項、コリオリのパラメータが含まれます。

潜在渦度は、絶対渦度を一定（潜在）温度（またはエントロピー）のレベル間の垂直間隔で割ったものです。気団が垂直方向に引き伸ばされる（または圧縮される）と気団の絶対渦度は変化しますが、潜在渦度は断熱流では保存されます。大気中では断熱流が優勢であるため、特に一定エントロピーレベルで見ると、潜在渦度は数日間の時間スケールで大気中の気団のおおよそのトレーサーとして役立ちます。

順圧渦度方程式は、限られた時間（数日）におけるロスビー波（つまり、500  hPaジオポテンシャル高度の谷と尾根）の動きを予測する最も簡単な方法です。1950 年代に、数値天気予報の最初の成功したプログラムでこの方程式が利用されました。

現代の数値天気予報モデルや大気大循環モデル（GCM）では、渦度は予測変数の1つである場合があり、その場合、対応する時間依存方程式は予報方程式になります。

渦度の概念に関連して、次のように定義される 螺旋度がある。 ${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle H(t)=\int _{V}\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dV}$

ここで積分は与えられた体積に対して行われます。大気科学では、空気のらせん運動はスーパーセルや竜巻活動の可能性を予測する上で重要です。^[16]${\displaystyle V}$

• 順圧渦度方程式
• ダランベールのパラドックス
• エンストロフィー
• パリンストロフィー
• 速度ポテンシャル
• 渦
• ボルテックスチューブ
• 渦巻きストレッチ
• 馬蹄渦
• 翼端渦

• ビオ・サバールの法則
• 循環
• 渦度方程式
• クッタ・ジューコフスキーの定理

• 予測方程式
• カール・グスタフ・ロスビー
• ハンス・エルテル

• アチソン、DJ (1990)。『初等流体力学』オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-859679-0。
• ランドウ、LD;リフシッツ、EM (1987)。流体力学 (第 2 版)。エルゼビア。ISBN 978-0-08-057073-0。
• ポズリキディス、C. (2011)。理論および計算流体力学入門。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-975207-2。
• ギヨン、エティエンヌ。ジャン・ピエール・フーリン。プティ、リュック。ミテスク、カタリン D. (2001)。物理流体力学。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-851746-7。
• バチェラー、GK（2000）[1967]、流体力学入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-66396-2
• Clancy, LJ (1975)、Aerodynamics、Pitman Publishing Limited、ロンドンISBN 0-273-01120-0 
• 「天気用語集」The Weather Channel Interactive, Inc.、2004 年。
• 「Vorticity」。Integrated Publishing。

• 大木谷 憲一「渦度と関連方程式の基本的説明」ケンブリッジ大学出版局、2005 年 1 月 30 日。ISBN 0-521-81984-9 
• アレクサンドル・J・チョリン、「渦度と乱流」。応用数学科学、第103巻、Springer-Verlag。1994年3月1日。ISBN 0-387-94197-5 
• Majda, Andrew J.、Andrea L. Bertozzi、「渦度と非圧縮性流れ」。ケンブリッジ大学出版局、2002年。ISBN 0-521-63948-4 
• トリットン、DJ、「物理流体力学」。ヴァン・ノストランド・ラインホールド、ニューヨーク。1977年。ISBN 0-19-854493-6 
• Arfken, G.、「物理学者のための数学的手法」、第 3 版。Academic Press、フロリダ州オーランド。1985 年。ISBN 0-12-059820-5 

ウィキメディア・コモンズには、渦度に関連するメディアがあります。

• Weisstein, Eric W.、「渦度」。Scienceworld.wolfram.com。
• Doswell III、Charles A.、「スーパーセルと竜巻への応用のための渦度入門」。メソスケール気象研究協同研究所、オクラホマ州ノーマン。
• Cramer, MS、「ナビエ・ストークス方程式 - 渦度輸送定理: 序論」。流体力学の基礎。
• パーカー、ダグラス、「ENVI 2210 – 大気と海洋のダイナミクス、9: 渦度」。リーズ大学環境学部。2001 年 9 月。
• グラハム、ジェームズ R.、「天文学 202: 天体物理ガスダイナミクス」。カリフォルニア大学バークレー校天文学部。
  • 「渦度方程式：非圧縮性流体と順圧流体」
  • 「渦度方程式の解釈」
  • 「非圧縮性または順圧流に対するケルビンの渦度定理」
• 「Spherepack 3.1 2004-06-22 にWayback Machineでアーカイブされました」 (FORTRAN 渦度プログラムのコレクションが含まれています)
• 「メソスケール圧縮性コミュニティ（MC2）^{[永久リンク切れ‍ ]}リアルタイムモデル予測」。（潜在渦度解析）