交互結び

結び目理論では、結び目またはリンク図は、リンクの各構成要素に沿って進むにつれて交差が下、上、下、上と交互になる場合、交代的であるとされます。交代図がある場合、リンクは交代的です。

交差数が10 未満の結び目の多くは交代結び目です。この事実と、 Tait 予想などの交代結び目の便利な特性により、Tait などの初期の結び目集計者は、間違いや漏れが比較的少ない表を作成することができました。最も単純な非交代素数結び目には8 つの交差があります (そのような結び目は 3 つあります: 8 ₁₉、8 ₂₀、8 ₂₁ )。

交差数が増加するにつれて、交互になっている結び目の割合が指数関数的に急速に 0 に近づくと推測されます。

交互リンクは、その補完が有用で興味深い幾何学的および位相的特性を持つため、結び目理論と3 次元多様体理論において重要な役割を果たすことになります。これにより、ラルフフォックスは「交互結び目とは何か?」と問いました。これにより、彼は結び目の補完のどのような非図式的特性が交互結び目を特徴付けるのかを尋ねました。^[1]

2015年11月、ジョシュア・エヴァン・グリーンは、リンク図の概念を使わずに、定常スパニング面の観点から交互リンクの特徴付け、すなわち交互リンク（交互ノットはその特殊なケース）の定義を確立したプレプリントを発表しました。^[2]

交代図には、さまざまな幾何学的および位相的な情報が示されています。リンクの素数と分割可能性は、図から簡単にわかります。縮小された交代図の交差数は、結び目の交差数です。この最後のものは、有名なテイト予想の 1 つです。

交代結び目図は平面グラフと 1 対 1 で対応しています。各交差点は辺と関連付けられ、図の補集合の接続成分の半分はチェッカーボード方式で頂点と関連付けられています。

テイト予想

テイトの予想は以下のとおりです。

交互リンクの縮小図では、交差が最小限に抑えられます。
同じ交互結び目の任意の 2 つの簡約図は、同じねじれを持ちます。
有向の素交リンクの任意の2つの簡約交代図D ₁と D _{2 が与えられたとき、D}_{1 は}フライピングと呼ばれる一連の単純な動きによってD ₂に変換できます。これはテイトフライピング予想としても知られています。^[3]

モーウェン・シスルウェイト、ルイス・カウフマン、K・ムラスギは1987年に最初の2つのテイト予想を証明し、モーウェン・シスルウェイトとウィリアム・メナスコは1991年にテイト・フライピング予想を証明した。

双曲体積

メナスコは、サーストンの双曲化定理をハーケン多様体に適用して、リンクがトーラスリンクでない限り、任意の素数の非分割交代リンクは双曲的であること、つまりリンク補集合は双曲形状を持つことを示しました。

したがって、双曲体積は、多数の交互リンクの不変量です。Marc Lackenby は、体積には、縮小された交互図の ねじれ領域の数の関数として、上限と下限の線形境界があることを示しました。

参考文献

^ Lickorish, WB Raymond (1997)、「交互リンクの幾何学」、結び目理論入門、Graduate Texts in Mathematics、vol. 175、Springer-Verlag、ニューヨーク、pp. 32–40、doi :10.1007/978-1-4612-0691-0_4、ISBN 0-387-98254-X、MR 1472978特に32ページを参照
^ Greene, Joshua (2017). 「交互リンクと明確な表面」. Duke Mathematical Journal . 166 (11). arXiv : 1511.06329 . doi :10.1215/00127094-2017-0004. S2CID 59023367.
^ Weisstein, Eric W.「Tait の結び目予想」。MathWorld。アクセス日: 2013 年 5 月 5 日。

さらに読む

カウフマン、ルイス H. (1987)。結び目について。数学研究年報。第 115 巻。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08435-1.ZBL0627.57002 .
アダムス、コリン C. (2004)。『結び目の本: 結び目の数学理論への初歩的入門』アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-3678-1。
Menasco, William (1984). 「交互の結び目とリンクの補完における閉じた非圧縮面」(PDF) .トポロジー. 23 (1): 37–44. doi : 10.1016/0040-9383(84)90023-5 .
Lackenby, Marc (2004). 「双曲交互リンク補数の体積」Proc. London Math. Soc . 88 (1): 204–224. arXiv : math/0012185 . doi :10.1112/S0024611503014291. S2CID 56284382.

外部リンク

Weisstein、Eric W.「交互結び目」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「Tait の結び目予想」。MathWorld。
平面グラフから交互の結び目を構築するケルトの結び目

[1] Lickorish, WB Raymond (1997)、「交互リンクの幾何学」、結び目理論入門、Graduate Texts in Mathematics、vol. 175、Springer-Verlag、ニューヨーク、pp. 32–40、doi :10.1007/978-1-4612-0691-0_4、ISBN 0-387-98254-X、MR 1472978特に32ページを参照

[2] Greene, Joshua (2017). 「交互リンクと明確な表面」. Duke Mathematical Journal . 166 (11). arXiv : 1511.06329 . doi :10.1215/00127094-2017-0004. S2CID 59023367.

[3] Weisstein, Eric W.「Tait の結び目予想」。MathWorld。アクセス日: 2013 年 5 月 5 日。