交差数（結び目理論）

数学の結び目理論の分野では、結び目の交差数とは、結び目の図の交差数が最小となる数です。これは結び目の不変量です。

例

たとえば、アンクノットの交差数は0、三つ葉結び目の交差数は3、8 の字結び目の交差数は 4 です。これほど交差数が低い結び目は他になく、交差数が 5 の結び目は 2 つだけですが、交差数が増加するにつれて、特定の交差数を持つ結び目の数が急速に増加します。

集計

素数結び目の表は、伝統的に交差数で索引付けされ、下付き文字で、この交差数を持つ結び目のうちどの結び目を指すかを示します（この下付き順序は、トーラス結び目、ツイスト結び目の順にリストされていることを除いて、特に何かに基づいていません）。リストは、3 ₁（三つ葉結び目）、4 ₁（8の字結び目）、5 1、5 _2、6₁、などです。この順序は、 PG テイトが1877年に結び目の表を出版して以来、大きく変わっていません。_[^1]

加法性

結び目に対する基本的な操作における交差数の挙動の理解については、ほとんど進展が見られません。結び目の和を取るときに交差数が加算されるかどうかは、大きな未解決の問題です。また、結び目Kの衛星はKよりも大きな交差数を持つはずですが、これは証明されていません。

結び目の和の下での交差数の加法性は、例えば加数が交互結び目^[2]（またはより一般的には適切な結び目）である場合や、加数がトーラス結び目^[3]である場合などの特殊なケースで証明されています。^[4] マーク・ラッケンビーはまた、定数N > 1が存在し、 ⁠1/いいえ⁠ (cr( K ₁ ) + cr( K ₂ )) ≤ cr( K ₁ + K ₂ )であるが、彼の方法は通常の曲面を利用するため、 Nを1に^{改善することはできない。[5]}

バイオインフォマティクスへの応用

結び目の交差数とDNA結び目の物理的挙動には関連がある。プライムDNA結び目の場合、交差数はアガロースゲル電気泳動におけるDNA結び目の相対速度の優れた予測因子である。基本的に、交差数が多いほど相対速度が速くなる。複合結び目の場合、実験条件によって結果が大幅に変わる可能性があるものの、これは当てはまらないようだ。^[6]

参考文献

^ テイト、PG (1898)、「結び目について I、II、III′」、科学論文、第 1 巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 273–347
^ アダムス、コリン C. (2004)、「結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門」、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、p. 69、ISBN 9780821836781、MR 2079925
^ Gruber, H. (2003)、最小交差数の推定、arXiv : math/0303273、Bibcode :2003math......3273G
^ ディアオ、ユアナン（2004）、「交差数の加法性」、結び目理論とその影響に関するジャーナル、13（7）：857–866、doi：10.1142 / S0218216504003524、MR 2101230
^ Lackenby, Marc (2009)、「複合結び目の交差数」(PDF)、Journal of Topology、2 (4): 747–768、arXiv : 0805.4706、doi :10.1112/jtopol/jtp028、MR 2574742
^ Simon, Jonathan (1996)、「結び目のエネルギー関数: 物理的挙動の予測の開始」、Mesirov, Jill P.、Schulten, Klaus、Sumners, De Witt (編)、生体分子構造とダイナミクスへの数学的アプローチ、IMA数学とその応用巻、第82巻、pp. 39–58、doi :10.1007/978-1-4612-4066-2_4

[1] テイト、PG (1898)、「結び目について I、II、III′」、科学論文、第 1 巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 273–347

[2] アダムス、コリン C. (2004)、「結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門」、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、p. 69、ISBN 9780821836781、MR 2079925

[3] Gruber, H. (2003)、最小交差数の推定、arXiv : math/0303273、Bibcode :2003math......3273G

[4] ディアオ、ユアナン（2004）、「交差数の加法性」、結び目理論とその影響に関するジャーナル、13（7）：857–866、doi：10.1142 / S0218216504003524、MR 2101230

[5] Lackenby, Marc (2009)、「複合結び目の交差数」(PDF)、Journal of Topology、2 (4): 747–768、arXiv : 0805.4706、doi :10.1112/jtopol/jtp028、MR 2574742

[6] Simon, Jonathan (1996)、「結び目のエネルギー関数: 物理的挙動の予測の開始」、Mesirov, Jill P.、Schulten, Klaus、Sumners, De Witt (編)、生体分子構造とダイナミクスへの数学的アプローチ、IMA数学とその応用巻、第82巻、pp. 39–58、doi :10.1007/978-1-4612-4066-2_4

例

集計

加法性

バイオインフォマティクスへの応用

関連する不変量

参考文献