ラックとクワンドル

数学において、ラックとカンドルは、結び目図を操作するために使用されるライデマイスターの動きに類似した公理を満たす二項演算を持つ集合です。

主に結び目の不変量を得るために使われますが、それ自体が代数的構成として見ることができます。特に、カンドルの定義は、群における共役の性質を公理化します。

1943年、高崎光久は、後に合致的カンドルとして知られるようになる「圭」と名付けた代数構造を導入した。 ^{[1]彼の動機は、}有限幾何学の文脈で反射の概念を捉える非結合的な代数構造を見つけることであった。このアイデアは、当時ケンブリッジ大学の学部生であったジョン・コンウェイとギャビン・レイスの間で1959年に交わされた未発表の書簡の中で再発見され一般化された。ここで、カンドルとラックの現代的な定義が初めて登場する。レイスは学生時代からこれらの構造（彼は当初シーケンシャルと名付けた）に興味を抱いていた。 ^[2] コンウェイは、同僚の名前をもじって、また乗法構造を捨てて活用構造だけを考えたときに、グループの残り（または「wrack and ruin」）として生じることから、これらをwracksと改名した。現在では「rack」という綴りが一般的になっている。

これらの構成は、1980年代に再び登場しました。デイビッド・ジョイスの1982年の論文^[3]（ここで、意味不明な単語であるクワンドルという用語が造られました）^[4]、セルゲイ・マトヴェーエフの1982年の論文（分配 群という名前で）^{[5] 、}エグバート・ブリースコーンの1986年の会議論文（ここでは、保型集合と呼ばれていました）^{[6]です。ラックの詳細な概要と結び目理論への応用については、}コリン・ルークとロジャー・フェン の論文をご覧ください。 ^[7]

ラックは、すべてのに対して自己分配法則が成り立つような二項演算を持つ集合として定義できます。 ${\displaystyle \mathrm {R} }$${\displaystyle \triangleleft}$${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} }$

${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$

そして、任意のに対して、 ${\displaystyle a,b\in \mathrm {R} ,}$${\displaystyle c\in \mathrm {R} }$

${\displaystyle a\triangleleft c=b.}$

この定義は簡潔でよく使われるが、実際には必要のない存在量化子を含んでいるため、特定の目的には最適ではない。これを避けるために、 次の ように一意に書くことができる。${\displaystyle c\in \mathrm {R} }$${\displaystyle a\triangleleft c=b}$${\displaystyle b\triangleright a.}$

${\displaystyle a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a,}$

そしてこうして

${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b,}$

そして

${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b.}$

この考え方を用いると、ラックは2つの二項演算とすべての${\displaystyle \mathrm {R} }$${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle \triangleright }$${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} {\text{:}}}$

1. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$（左自己分配法則）
2. ${\displaystyle (c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)}$（正しい自己分配法則）
3. ${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b}$
4. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b}$

要素は式では左から作用し、式では右から作用すると言えば便利です。3 番目と 4 番目のラック公理は、これらの左と右の作用は互いに逆であると述べています。これを使用して、ラックの定義からこれらの作用のいずれか 1 つを排除できます。右の作用を排除し、左の作用を保持すると、最初に与えられた簡潔な定義が得られます。 ${\displaystyle a\in \mathrm {R} }$${\displaystyle a\triangleleft b,}$${\displaystyle b\triangleright a.}$

ラックとクワンドルに関する文献では、さまざまな慣例が使用されています。たとえば、多くの著者は、右アクションのみを使用することを好みます。さらに、記号との使用は決して普遍的ではありません。多くの著者は指数表記を使用しています。 ${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle \triangleright }$

${\displaystyle a\triangleleft b={}^{a}b}$

そして

${\displaystyle b\triangleright a=b^{a},}$

他の人はこう書いている

${\displaystyle b\triangleright a=b\star a.}$

ラックのもう 1 つの同等の定義は、各要素がラックの左と右に自己同型として作用し、左の作用が右の作用の逆である集合であるというものです。この定義では、各要素が自己同型として作用するという事実は、左と右の自己分配法則と、次の法則をエンコードします。

${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\ \triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}}$

これらは、先に与えられた定義の結果です。

カンドルは冪等ラックとして定義され、すべての${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$${\displaystyle a\in \mathrm {Q} }$

${\displaystyle a\triangleleft a=a,}$

または同等

${\displaystyle a\triangleright a=a.}$

どのグループも、演算が共役から生じる難問を与えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a&=a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{aligned}}}$

実際、群の共役によって満たされるすべての等式法則は、カンドル公理から得られます。したがって、カンドルは、乗算、単位元、逆元を忘れて共役の演算だけを覚えたときに群から残るものと考えることができます。

3 次元ユークリッド空間のすべての扱いやすい結び目には、「基本カンドル」があります。これを定義するには、結び目の補集合の基本群、つまり結び目群には、関係が共役のみを含む表現 ( Wirtinger 表現) があることに注目します。したがって、この表現はカンドルの表現としても使用できます。基本カンドルは、結び目の非常に強力な不変量です。特に、2 つの結び目に同型の基本カンドルがある場合、 3 次元ユークリッド空間の同相写像が存在し、これは向きを反転して、一方の結び目を他方の結び目に持っていく場合があります。

結び目の不変量はそれほど強力ではないが、より簡単に計算できるものは、結び目のカンドルから固定されたカンドルへの準同型を数えることによって得られる。 Wirtinger のプレゼンテーションでは、結び目図 の各ストランドに対して 1 つのジェネレーターがあるため、これらの不変量は、特定の制約に従って、各ストランドを の要素でラベル付けする方法を数えることによって計算できる。 この種のより洗練された不変量は、カンドルコホモロジーの助けを借りて構築できる。 ${\displaystyle \mathrm {Q} .}$${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$

のアレクサンダー・カンドルもまた重要で、結び目のアレクサンダー多項式を計算するのに使える1変数のローラン多項式環上の加群とする。するとアレクサンダー・カンドルは左作用が次の式で表されるカンドルになる 。${\displaystyle \mathrm {A} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$${\displaystyle \mathrm {A} }$

${\displaystyle a\triangleleft b=tb+(1-t)a.}$

ラックは、位相幾何学におけるクワンドルの便利な一般化です。クワンドルは丸い線状の物体 (ロープや糸など) の結び目を表現できるのに対し、ラックはリボン (結び目だけでなくねじれもある場合があります) を表現できるためです。

カンドルは、すべての人にとって、${\displaystyle \mathrm {Q} }$${\displaystyle a,b\in \mathrm {Q} ,}$

${\displaystyle a\triangleleft (a\triangleleft b)=b}$

または同等に、

${\displaystyle (b\triangleright a)\triangleright a=b.}$

任意の対称空間は、逆向きのカンドルを与えます。ここで、 は「を通して反射する」 結果です。${\displaystyle a\triangleleft b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

• ビラックとビクアンドル
• レーバーテーブル

• 結び目の難問はクワンドルによって解決される - クワンドルと結び目の不変量の学部生向け入門
• スコット・カーターによるクワンドルのアイデアの調査
• 鎌田誠一著「クワンドルとラックから導かれる結び目不変量」
• 棚、ラック、スピンドル、クワンドル、アリサ・クランズ著『リー 2 代数』56 ページ
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle